Bài tập tĩnh hệ siêu tĩnh bằng phương pháp lực

Tóm tắt nội dung tài liệu

1. Chương 14 TÍNH HỆ SIÊU TĨNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP LỰC 14.1.KHÁI NIỆM VỀ HỆ SIÊU TĨNH Hệ siêu tĩnh là một hệ mà các phương trình cân bằng tĩnh học thông thường chưa thể xác định phản lực của chúng, cũng như nội lực trên các mặt cắt ngang của hệ, cũng có nghĩa là bài toán chưa giải được. Trong kỹ thuật ta thường gặp những hệ như vậy và để tìm các phản lực cũng như nội lực của chúng ngoài những phương trình cân bằng tĩnh học thông thường, còn phải lập thêm các phương trình khác căn cứ vào từng trường hợp tùy theo biến dạng và chuyển vị của hệ thanh ở những vị trí đặc biệt. Ví dụ: Xét 2 thanh chịu lực như nhau trên hình vẽ 14.1, nhưng hệ chịu lực như trên hình 14.1a là tĩnh định và hệ trên hình 14.1c q là siêu tĩnh. Ở hệ chịu lực như hình 14.1c có số phản lực nhiều hơn số phương trình cân bằng tĩnh học ta có thể có được. Trên hình a] 14.1b biểu diễn biểu đồ mô men uốn trong hệ l tĩnh định và trong hình 14.1d biểu diễn biểu ql 2 đồ mô men uốn trong hệ siêu tĩnh. 8 b] Qua đó ta có một số nhận xét sau: 1-Nội lực trong hệ siêu tĩnh phân q bố đều hơn, ứng suất và biến dạng nhỏ hơn so với hệ tĩnh định tương đương. Như vậy hệ c] siêu tĩnh tiết kiệm vật liệu hơn hệ tĩnh định tương đương. ql 2 ql 2 Nhưng hệ siêu tĩnh có thể phát sinh ra d] 12 12 ứng suất khi nhiệt độ thay đổi, khi các gối tựa ql 2 lún không đều và khi các chỗ nối chế tạo không chính xác. 24 Như đã biết trong cơ học lý thuyết đối Hình 14.1: Hệ chịu lực với bài toán phẳng số liên kết đơn cần thiết [a,c -hệ siêu tĩnh; b- hệ đê giữ cho hệ cố định là 3. Số liên kết đó tĩnh định; c- mô men uốn đúng bằng số phương trình cân bằng tĩnh học, trong hệ siêu tĩnh] vì vậy nếu số liên kết đơn [hoặc quy ra liên kết đơn] đặt vào hệ lớn hơn 3, thì với số phương trình cân bằng nói trên, ta chưa có thể xác định được các phản lực liên kết, do đó cũng chưa tính được nội lực trong các thanh, ta nói hệ siêu tĩnh có những liên kết thừa. Các liên kết này là liên kết giữa vật thể nối với mặt đất hoặc nối với các vật thể khác thường gọi là vật thể ngoại. Ngoài ra sự liên kết thừa có thể do sự liên kết giữa các thanh của hệ sinh ra gọi là liên kết nội. Ví dụ một khung kín thì không thể xác định nội lực của nó bằng các phương trình cân bằng tĩnh học thông thường, và ta coi số liên kết nội của hệ là 3. Tổng số các liên kết thừa nội và ngoại chính là số bậc siêu tĩnh của hệ. Ví dụ: Trên hình 14.2a biểu diễn hệ siêu tĩnh có hai bậc siêu tĩnh do thừa hai liên kết ngoại, trên hinh 14.2b biểu diễn hệ siêu tĩnh có 3 bậc siêu tĩnh [liên kết thừa ngoại 53
2. không có nhưng có 3 liên kết nội, hinh 14.2c biểu diễn hệ siêu tĩnh là 4, vì có hai liên kết thừa ngoại và hai liên kết thừa nội [chú ý 1 khớp làm giảm bớt một bậc siêu tĩnh]. a b c Hình 14.2: Các dạng hệ siêu ] ĩnh: a-Hệ siêu ]tĩnh do thừa ] t hai liên kết ngoại;b- Hệ siêu tĩnh do thừa 3 liên kết nội; c-Hệ siêu tính có 2 liên kết thừa nội và 2 liên kết thừa Sau đây chúng ta trình bày một phương pháp để tính các phản lực và xác định nội lực trong các hệ siêu tĩnh gọi là phương pháp lực vì nó lấy lực là ẩn số trong quá trình giải bài toán 14.2 . TÍNH HỆ THANH SIÊU TĨNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP LỰC 14.2.1. Hệ cơ bản: Muốn giải hệ siêu tĩnh phải từ nó chọn một hệ tĩnh định tương ứng bằng cách loại bỏ những liên kết thừa đi. Hệ tĩnh định đó gọi là hệ cơ bản. Cần chú ý rằng hệ cơ bản vẫn phải cố định, không bị biến hình [thay đổi dạng hình học của hệ khi chưa có tải trọng]. Việc bỏ các liên kết thừa có thể thực hiện bằng nhiều cách và từ đó có thể nhận thấy có nhiều hệ cơ bản khác nhau. Cho nên phải chọn hệ cơ bản sao cho việc tính toán đơn giản nhất Ví dụ: Trên hình 14.3a biểu diễn một khung siêu tĩnh, chúng ta có thể chọn nhiều P1 P2 C A B a b c ] ] n. a:Hệ siêu tĩnh; ] Hình 14.3: Chọn hệ cơ bả b,c: Hệ cơ bản từ hệ [a] hệ cơ bản tĩnh định khác nhau. Ở hình 14.3b và 14.3c biểu diễn hai hệ cơ bản rút ra từ hình 14.3a. 14.2.2.Hệ tương đương: Ta dễ dàng thấy rằng hệ cơ bản muốn làm việc như hệ siêu tĩnh thì tại A phải có những lực có trị số và chiều sao cho tại A có chuyển vị bằng không [hình 14.3b], tức là chuyển vị và góc xoay ở ngoài không có hoặc chuyển vị tương đối bằng không tại điểm C [hình 14.3c]. Như vậy muốn hệ tĩnh định làm việc tương tự như hệ đã cho cùng với ngoại lực [P1, P2 chẳng hạn] ta còn phải đặt vào những nơi đã bỏ liên kết những lực chưa biết theo 54
3. phương mà liên kết đã bỏ để đảm bảo cơ cấu hoàn toàn tương đương với hệ siêu tĩnh đã cho [xem hình 14.4a,b]. X3 X3 P1 P2 P1 P2 X2 X2 X1 X1 a] b] X2 X3 X1 Hình 14.4: Hệ tương đương a,b với hệ ở hình 14 3b c Với điều kiện chuyển vị tại A ở hệ tĩnh định cơ bản này giống như chuyển vị cũng tại A trong hệ siêu tĩnh đã cho. Rõ ràng nếu hệ có n bậc siêu tĩnh thì ta có n lực chưa biết, hệ như vậy gọi là hệ tương đương. Để xác định các lực chưa biết X1, X2 ,... Xn đó ta căn cứ vào điều kiện chuyển vị tương đương, tức là: ∆ x1 [X 1 , X 2 ,K X n , P ] = 0 ⎫ ∆ X 2 [X 1 , X 2 ,K X n , P ] = 0⎪⎪ [14-1] ⎬ L ⎪ ∆ Xn [X 1 , X 2 , K X n , P ] = 0 ⎪ ⎭ Các ∆X1, ∆X2,...∆Xn là chuyển vị theo phương X1, X2. ...Xn do lực X1, X2, ...Xn và các tải trọng P gây ra. Trong [14-1] các X1, X2, ...,Xn là những lực cũng là những ẩn số, nên gọi là phương pháp lực. 14.2.3. Hệ phương trình chính tắc. Từ [14-1], áp dụng nguyên lý cộng tác dụng ta có: ∆X1 [X1, X2, ......Xn, P] = ∆X1[X1 ] + ∆X2[X2] + .... + ∆Xn [Xn] + ∆XnP = 0 Có thể viết gọn hơn là: ∆K1 + ∆K2 + .... + ∆Km + .... + ∆Kn + ∆KP = 0 Trong đó ∆Km là chuyển vị theo phương XK gây ra do Xm sinh ra ... ∆KP là chuyển vị theo phương XK gây ra do tất cả tải trọng sinh ra. Nếu gọi δkm là chuyển vị đơn vị theo phương XK, gây ra do lực X m = 1 [đặt tại Xm và có trị số bằng 1]. ∆Km = δKm ⋅ Xm Thì Khi đó phương trình thứ K của [14-1] có dạng: δK1⋅X1 + δK2 ⋅X2 + δKm ⋅ Xm + .... + δKn ⋅Xn + ∆KP = 0 Vậy hệ [14-1] sẽ có dạng: δ11 ⋅ X 1 + δ12 ⋅ X 2 + ..... + δ1n ⋅ X n + ∆ 1P = 0 ⎫ ⎪ [14-2] ..... ⎬ δ n1 ⋅ X 1 + δ n 2 ⋅ X 2 + ..... + δ nn ⋅ X n + ∆ nP = 0⎪ ⎭ Hệ [14-2] gọi là hệ phương trình chính tắc của phương pháp lực giải hệ siêu tĩnh vì nhờ [14-2] ta tìm được các ẩn số X1, X2,...Xn thì ta có thể xem các lực đó cùng với ngoại lực đã cho trong hệ siêu tĩnh là những tải trọng bên ngoài tác dụng lên hệ tĩnh định 55
4. [hệ cơ bản], sau đó xác định nội lực của hệ tĩnh định với các tải trọng không những chỉ là P1, .... Pn mà có cả X1, .... Xn nữa, tức là khi đã biết X1.......Xn thì coi nó là ngoại lực tác dụng lên hệ. δkm [khi K ≠ m] gọi là hệ số phụ, có thể dương hoặc âm. δkk [khi K = m] gọi là hệ số chính, giá trị của nó bao giờ cũng dương. ∆kp là số hạng tự do. Nhờ có định lý chuyển vị đơn vị tương hỗ nên ta có δkm= δmk và nhờ vậy sẽ giảm bớt việc tính các hệ số trong khi giải hệ phương trình chính tắc [14-2]. Nếu bỏ qua ảnh hưởng của các lực cắt, lực dọc đối với chuyển vị của hệ thì theo công thức Mohr chỉ còn lại thành phần mô men và ta có: Mk ⋅ Mn n δ km = ∑ ∫ li dz EJ x 0 i =1 [14 - 3] M2 n li δ KK = ∑ ∫ k dz EJ x 0 i =1 li M k ⋅ M p n ∆ kp = ∑ ∫ dz EJ x 0 i =1 Ví dụ1:Vẽ biểu đồ nội lực của một khung siêu tĩnh hình 14.5. Bài giải: Khung có hai bậc siêu tĩnh. Hệ cơ bản có được bằng cách bỏ liên kết kép tại A và hệ tương đương như trên hình 14.5b. Phương trình chính tắc có dạng: δ 11 ⋅ X 1 + δ 12 ⋅ X 2 + ∆ 1P = 0 ⎫ [14-4] ⎬ δ 21 ⋅ X 1 + δ 22 ⋅ X 2 + ∆ 2 P = 0⎭ Biểu đồ mô men do các lực bằng 1 đơn vị tác dụng theo X1, X2 được biểu diễn trên hình 14.5c và 14 .5d, còn biểu đồ do tải trọng q được biểu diễn ở hình 14.5e. Trên cơ sở các biểu đồ đó, bằng phương pháp Vêrêsaghin ta tìm được: 1 ⎛ a2 2 ⎞ 4 a3 ⎜ ⋅ a + a2 ⋅a⎟ = ⋅ δ11 = EJ ⎜ 21 3 a ⎟ 1 EJ x3 ⎠ 3 ⋅a ⎝ δ12 = δ 21x = a ⋅a ⋅ = − EJ x 2 2EJ x 2 a3 1a 2 δ 22 = ⋅ × a= EJ x 22 3 3EJ x4 − qa a qa ∆ 2P = ⋅a ⋅ = − 2EJ x 2 4EJ x 56
5. ⎛1 2 ⎞ qa 2 1 3 5 ⎜ qa ⋅ a ⋅ a + ⋅a ⋅a⎟ = ∆1P = 4 ⎟ 8EJ qa ⎜3 EJ x 4 2 ⎝ ⎠ x a B C B C B C M1 q q a A b] X1 A X2 A a] c] X = 1 1 qa 2 qa 2 14 2 qa 2 MP 28 M2 3 a f] 7 d] e] X2 = 1 qa 2 98 Hình 14.5: Vẽ biểu đồ nội lực của khung siêu tĩnh Sau khi thay các giá trị δ11, δ12, δ22, ∆1P và ∆2P vào hệ phương trình [14-4] và rút gọn ta được: ⎫ 4 1 5 X 1 − X 2 + qa = 0 ⎪ ⎪ 3 2 8 [14-5] ⎬ 1 1 1 ⎪ − X 1 + X 2 − qa = 0 ⎪ ⎭ 2 3 4 Giải hệ phương trình [14-5], ta sẽ được: 3 13 X 1 = − qa ; X 2 = qa 7 28 Như vậy ở hệ tương đương ta có X1 [đổi chiều] và X2 đã biết giá trị của nó. Từ đó ta vẽ các biểu đồ nội lực của nó, biểu đồ mô men được biểu diễn trên hình 14.5f. Cũng có thể căn cứ vào X1, X2, ta tăng giá trị các biểu đồ M 1 và M 2 đã có ở hinh 14.5c và 14.5d bằng cách nhân mọi giá trị M 1 và M 2 cho X1, X2. Sau đó cộng 3 biểu đồ mô men do tải trọng [hình 14.5e] với M1, M2 [hình 14.5c,d] khi đã nhân X1 và X2, ta cũng có được biểu đồ mô men tổng cộng như hình 14.5f. 14.3. TÍNH HỆ SIÊU TĨNH ĐỐI XỨNG 57
6. Một hệ được coi là đối xứng khi có hình dạng, độ cứng [EJx chẳng hạn], đối xứng qua một trục nào đó. Ví dụ khung biểu diễn trên hình 14.6a, khung đối xứng qua trục v nào đó. Giả sử khung chịu tác dụng bởi hệ lực nào đó. Rõ ràng khung có 6 bậc siêu tĩnh. Nếu chọn hệ cơ bản, rồi hệ tương đương như hình 14.6b, thì ta cần có 6 phương tình để giải hệ siêu tĩnh như sau: δ11X1 + δ12X2 + δ13X3 + δ14X4 + δ15X5 + δ16X6 + ∆1p = 0 .... [14-6] δ61X1 + δ62X2 + δ63X3 + δ64X4 + δ65X5 + δ66X6 + ∆6P = 0 X3 X6 v X5 X2 X2 X1 X2 X6 X4 X5 h X4 h X3 X2 l/2 l/2 X1 a b c ] ] ] Hình 14.6: Hệ siêu tĩnh đối xứng [a]; hệ tương đương không đối xứng [b]; Hệ tương đương đối xứng [c] Giải hệ phương trình này tốn rất nhiều thời gian. Nhưng ta nhận thấy rằng: Nếu ta chọn hệ cơ bản, rồi hệ tương đương như trên hình14.6c [có tính chất đối xứng], thì việc tính toán sẽ đơn giản hơn nhiều. Bởi vì với hệ tương đương đó các biểu đồ mô men M 2 , M 3 , M 5 , M 6 [do các lực X 2 , X 3 , X 5 , X 6 có tính chất đối xứng sinh ra] đều có tính chất đối xứng. Còn M 1 , M 4 có tính chất phản đối xứng [do các lực X 1 = 1 , X 4 = 1 ]. Các biểu đồ đó do các lực bằng 1 từ X1 ,...X 6 được biểu diễn trên hình 14.7.. Dễ dàng thấy rằng kết quả việc thực hiện cách nhân biểu đồ theo Vêrêsaghin giữa các biểu đồ đối xứng và phản đối xứng sẽ bằng không. Một nửa kết quả dương và nửa kia là âm.Vì vậy sẽ có nhiều δkm sẽ bằng 0, nên việc giải hệ phương trình chính tắc sẽ dễ dàng và nhanh chóng hơn. Ví dụ 2: Để tìm δ12 ta nhân biểu đồ M 1 [trên hình 14.7a] và biểu đồ M 2 [hình 14.7b]. Kết quả : 2h 1 2h × ⋅ = h 2l Nửa bên phải là: 22 2h 1 − 2h × ⋅ = −h 2 l Nửa bên trái là: 22 [ ] 1 δ 12 = h 2 l − h 2 l = 0 = δ 21 Do đó: EJ x Tương tự, ta có thể tính cho các hệ số phu khác, kết quả là: δ13 = δ31 = 0; δ15 = δ51 = 0; δ16 = δ61 = 0 58
7. δ24 = δ42 = 0 ; δ34 = δ43 = 0 ; δ45 = δ54 = 0 ; δ46 = δ64 = 0 Như vậy hệ phương trình [14-6], khi tính đến một số hệ số phụ bằng không nhờ các biểu đồ ở hình 14.7, sau khi đã thay các hệ số có giá trị bằng 0 vào [14-6], ta có: X1 = 1 X2 = 1 X3 = 1 l 1⋅ 2 1 M3 M1 M2 1×2h a b c ] ] ] X4 =1 X6 = 1 l X5 = 1 1× 2 l 1× 2 M4 M5 M6 1×h 1×h d e f ] ]0 ] δ11 ⋅X1 + δ14 ⋅X4 + ∆1p = δ22 ⋅X2 + δ2314.7: 25 ⋅X5u δ26⋅X6ô ∆2P =để tính các hệ số δ Hình ⋅X3 + δ Biể + đồ m + men 0 δ32 ⋅X2 + δ33 ⋅X3 + δ35 ⋅X5 + δ36 ⋅X6 + ∆3P = 0 δ41 ⋅X1 + δ44 ⋅X4 + ∆4P = 0 [14-7] δ52 ⋅X2 + δ53 ⋅X3 + δ56 ⋅X6 + ∆5P = 0 δ62 ⋅X2 + δ63 ⋅X3 + δ65 ⋅X5 + δ66 ⋅X6 + ∆6P = 0 Hệ phương trình [14 - 7] có thể tách ra hai hệ: δ 11 ⋅ X 1 + δ 14 ⋅ X 4 + ∆ 1P = 0 ⎫ [14-8] ⎬ δ 41 ⋅ X 1 + δ 44 ⋅ X 4 + ∆ 4 P = 0⎭ Và δ22 ⋅X2 + δ23 ⋅X3 + δ25 ⋅X5 + δ26 ⋅X6 + ∆2P = 0 δ32 ⋅X2 + δ33 ⋅X3 + δ35 ⋅X5 + δ36 ⋅X6 + ∆3P = 0 [14- 9] δ52 ⋅X2 + δ53 ⋅X3 + δ55 ⋅X5 + δ56 ⋅X6 + ∆5P = 0 δ62 ⋅X2 + δ63 ⋅X3 + δ65 ⋅X5 + δ66 ⋅X6 + ∆6P = 0 Việc giải hai hệ phương trình [14-8] và [14-9] tuy còn phức tạp nhưng dù sao nó cũng dễ hơn nhiều so với việc giải hệ phương trình [14-6]. Sau đây chúng ta xét hai trường hợp cụ thể. 14.3.1.Hệ siêu tĩnh đối xứng chịu tải trọng đối xứng: Ví dụ 3: Hệ lực như trên hình 14.8a là hệ đối xứng, chịu tải trọng cũng đối xứng. Chúng ta cũng chọn hệ cơ bản, rồi hệ tương đương như trên hình 14.6c và có các biểu đồ mô men đơn vị như trên hình 14.7. Bây giờ ta vẽ các biểu đồ mô men do tải trọng gây nên như trên hình 14.8b . 59
8. P P P P h/ 2 1,5Ph 1,5Ph MP h a b ] ] Hình 14.8:a-Hệ siêu tĩnh đối xứng chịu tải Với những điều kiện bài toánọng tĩnhi xứng.chúng ta tiến hành tính các hệ số tr siêu đố như vậy, tự do do tải trọng gây ra ở các phương ∆ểu, ∆2P, ∆3P, ∆4P, ∆5P và ∆6P . b-Bi 1P đồ mô men - Trước tiên chúng ta xét hệ phương trình [14-8], ta xét các hệ số ∆1P và ∆4P. Để có ∆1P ta tiến hành nhân biểu đồ của MP và M 1 . Như vậy, nếu ta nhân biểu đồ M 1 [phản đối xứng] với MP [đối xứng] thì kết quả sẽ bằng không. Cho nên trong ví dụ này ∆1P = 0, tương tự ta có ∆4P = 0. Do đó hệ phương trình [14-8] sẽ trở thành: δ11 ⋅ X1 + δ14 ⋅ X 4 = 0 ⎫ [14-10] ⎬ δ 41 ⋅ X1 + δ 44 ⋅ X 4 = 0⎭ Có thể giải hệ phương trình [14-10] này như sau: Ta nhân phương trình 1 của nó với δ41 và nhân phương trình 2 của nó với [-δ11]. Ta sẽ được: δ11 ⋅ δ 41 ⋅ X 1 + δ11 ⋅ δ 41 ⋅ X 4 = 0 ⎫ [14-10a] ⎬ − δ11 ⋅ δ 41 ⋅ X 1 − δ11 ⋅ δ 44 ⋅ X 4 = 0⎭ Thực hiện phép cộng, cuối cùng ta được: 0 + [δ11⋅δ41−δ11⋅δ44] ⋅X4= 0 Vậy X4=0 và X1 =0, có nghĩa là các lực cắt X1=X4=0. Tóm lại cách giải một hệ siêu tĩnh đối xứng có lợi nhất là chọn hệ cơ bản bằng cách cắt hệ bằng 1 mặt đối xứng và xét các ẩn số tại đó. Như vậy ta có nhận xét: Nếu tải trọng là đối xứng thì các lực chưa biết phản đối xứng sẽ bằng không. 14.3.2. Hệ siêu tĩnh đối xứng, chịu tải trọng phản đối xứng. Nếu tải trọng là phản đối xứng như trên hình 14.9a thì các lực chưa biết đối xứng cũng sẽ bằng không. 60
9. P P P P h/ 2 1,5Ph 1,5Ph h MP a b Hình 14.9: a-Hệ đối xứng chịu tải] trọng ] phản đối xứng. b- Biểu đồ mô men Cũng tương tự cách làm ở trên, việc nhân biểu đồ của MP phản đối xứng với các biểu đồ M 2 , M 3 , M 5 và M 6 đối xứng sẽ đưa đến kết quả: ∆2P=∆3P=∆5P=∆6P=0 Vậy thực chất chỉ còn X1 và X4 là các lực phản đối xứng khác không. Cuối cùng sẽ dẫn ta từ hệ phương trình [14-9] thành hệ phương trình sau đây: δ22 ⋅X2 + δ23 ⋅X3 + δ25 ⋅X5 + δ26 ⋅X6 = 0 δ32 ⋅X2 + δ33 ⋅X3 + δ35 ⋅X5 + δ36 ⋅X6 = 0 δ52 ⋅X2 + δ53 ⋅X3 + δ55 ⋅X5 + δ56 ⋅X6 = 0 [14-11] δ62⋅X2 + δ63 ⋅X3 + δ65 ⋅X5 + δ66 ⋅X6 = 0 Chúng ta cũng có thể thực hiện phép giải như đã giải hệ phương trình [14-10] và hiển nhiên vì các hệ số δ22 ...δ66 đều khác 0, nên chỉ có thể X2 = X3 = X5 =X6 = 0. Vậy ta có kết luận: Nếu một hệ đối xứng chịu tải trọng phản đối xứng thì các ẩn số đối xứng đều bằng không. Trong ví dụ trên X2 = X3 = X5 = X6 = 0, có nghĩa là các mô men uốn và lực dọc tại mặt cắt trên trục đối xứng của khung bằng không. 14.3.3. Hệ siêu tĩnh đối xứng tải trọng bất kì. Ví dụ 4: Giả sử cho một hệ đối xứng chịu tải trọng P như hình 14.10a. Ở đây không giống ở hai trường hợp trên, tức là tải trọng không đối xứng mà cũng không phải phản đối xứng. Trong trường hợp này, ta phân tích hệ này là tổng hợp của hệ đối xứng [hình 14.10b] và một hệ phản đối xứng [như trên hình 14.10c]. Tưc là khi tải trọng bất kì thì tạo nên một hệ tải trọng đối xứng và một hệ tải trọng bất đối xứng Tương tự như giải ở ví dụ trên, ta có hai nhóm phương trình, một hệ hai phương P P/2 P/2 P/2 P/2 = + a b c ] ] ] Hình 14.10: a]-Hệ đối xứng tải trọng bất kì. b-c]: Hệ đối xứng và phản đối xứng phân 61
10. trình và một hệ bốn phương trình. Dĩ nhiên tổng cộng vẫn có 6 phương trình nhưng dễ giải hơn nếu ta không sử dụng những tính chất nêu ở trên. 14.4.TÍNH HỆ SIÊU TĨNH KHI CHỊU TÁC DỤNG CỦA NHIỆT ĐỘ THAY ĐỔI Về nguyên tắc tính siêu tĩnh chịu tác dụng của nhiệt độ thay đổi cũng giống như tính đối với tải trọng, chỉ khác ở chỗ nguyên nhân gây ra nội lực trong hệ là do nhiệt độ mà thôi. Phương trình chính tắc thứ K của phương pháp lực có dạng: δ K1 X1+ δ K2 X2 + ....+ δ KK XK + ... + δ Kn Xn + ∆K1 = 0 [14- 12] Trong đó ∆K1 là chuyển vị theo phương của lực Xk do sự thay đổi nhiệt độ gây ra trong hệ cơ bản. Theo công thức trong chương chuyển vị, ta có: t 2 − t1 l l ∫ ∫ ∆ kt = α ⋅ t c N k dz + α⋅ ⋅M k dz h 0 0 Trong đó: N k và M k - Giá trị lực dọc và mô men nội lực do lực Pk = 1 tại nơi và phương tính chuyển vị ; tc - Nhiệt độ trung bình trong thanh chịu kéo [nén]; t2- Nhiệt độ ở mặt trên của dầm ;t1 - Nhiệt độ ở mặt dưới của dầm; α- Hệ số giãn nhiệt của vật liệu; h - Chiều cao của dầm. Nếu hệ gồm nhiều thanh thẳng có mặt cắt ngang không đổi trong từng thanh và nhiệt độ thay đổi như nhau theo suốt chiều dài của nó thì theo cách tính chuyển vị ta có: t 2 − t1 n n ∆ kt = ∑ ∫ α ⋅ t c ⋅ N dz + ∑ ∫ α ⋅ li li ⋅ M K dz h 0 0 K i =1 i =1 Ví dụ 5: Giải hệ siêu tĩnh được cho như hình 14.11a và vẽ biểu đồ nội lực của nó Bài giải: Hệ siêu tĩnh này có bậc siêu tĩnh là 1. Hệ cơ bản được chọn bằng cách gỡ bỏ gối tưạ A và thay vào đó một phản lực X1, ta sẽ có hệ tương đương như trên hình q vẽ 14.11b. Phương trình chính tắc của hệ siêu tĩnh này là: δ11 X1 + ∆ 1P = 0 a A B ] Bây giờ ta vẽ biểu đồ mô l men nội lực do tải trọng bên ngoài gây ra [do q sinh ra] q gọi là MP như trên hình 14.11c và biểu đồ X 1 = 1 đặt tại A sinh b ra là biểu đồ M 1 [hình 14.11d]. ] X1 Ta tính: ql 2 l3 11 2 δ11 = M 1 × M 1 = ⋅ l×l× l = c 2 3EJ x M P EJ x 2 3 ] 3 d − ql 4 1 1 ql 2 ⋅ l ⋅ ⋅ l = M1 ∆ 1P = M1 × M P = − ⋅⋅ 4 ] 8EJ x EJ x 3 2 l 3ql e 8 Ta đưa các số liệu này − 5ql 3 ] l vào phương trình 14-12, ta 8 8 l được: − ql 2 2 f 8 ] ql 2 9ql 2 8 128 62 Hình 14.11: Vẽ biểu đồ hệ
11. ∆ 1P 3 X1 = − = ql δ11 8 Khi có X1 rồi, ta xem dầm chịu tác dụng lực phân bố q và lực tập trung tại A là X1. Với hệ lực này, ta vẽ được biểu đồ lực cắt Q và biểu đồ mô men nội lực M của dầm siêu tĩnh này [xem hình 14.11e và 14.11f]. Để có biểu đồ mô men nội lực như hình 14.11f, ta có thể thực hiện cộng hai biểu đồ MP [hình 14.11c] và biểu đồ M1 [hình 14.11d] với điều kiện các gía trị mô men tại biểu đồ này được nhân lên X1 lần [ví dụ ở ngàm trên hình 14.11d là giá trị mô men không phải là l mà là: 3 l × X1 = ql 2 8 Ví dụ 6: Tìm chuyển vị thẳng đứng tại điểm giữa D của thanh BC như hình vẽ 14.12. Cho biết EJx= const. Bài giải: Đây là bài toán tính chuyển vị ở hệ siêu tĩnh. Trước tiên phải giải hệ siêu tĩnh và khi đã giải được hệ siêu tĩnh thì các lực tác dụng lên hệ gồm có tải trọng và các phản lực liên kết điều đã biết, có nghĩa là trên hệ cơ bản tĩnh định mọi lực tác dụng đều đã rõ và bài toán tính chuyển vị của hệ siêu tĩnh cũng là bài toán tính chuyển vị trong hệ cơ bản tĩnh định đó. Với cách làm đó chúng ta giải bài toán siêu tĩnh trước. - Chọn hệ cơ bản: Hệ có hai bậc siêu tĩnh, có thể đưa ra nhiều hệ cơ bản, nhưng ở đây ta chọn hệ cơ bản như hình 14.13a [bỏ khớp ở B]. D B C - Hệ tương đương: Trên hệ cơ bản ta đặt tải l trọng q và các phản lực chưa biết tại B là X1 và X2 [như hình 14.13b]. Với hệ tương đương như vậy, ta sẽ có hệ phương q trình chính tắc là: l δ 11 ⋅ X 1 + δ 12 ⋅ X 2 + ∆ 1P = 0 ⎫ [14-13] ⎬ δ 21 ⋅ X 1 + δ 22 ⋅ X 2 + ∆ 2 P = 0⎭ A Hình 14.12: Tính chuyển vị của hệ siêu tĩnh tại D 63
12. Để giải hệ [14-13], ta phải xác định δ11, δ12 = δ21 , δ22, ∆1P và ∆2P. Muốn vậy ta phải xây dựng các biểu đồ mô men do X1 = 1 , do X 2 = 1 , do tải trọng q sinh ra. Các biểu đồ ấy được lần lượt giới thiệu ở các hình 14.13c;14.13d;14.13e. Với các biểu đồ này ta dễ dàng tính được các hệ số trên: X1 = 1 X1 X2 q M1 1× a b c ql 2 1 1× 28 1× C D B 2 X2 =1 MP Mtổng M2 “m” 34 A ql 2 3ql 2 d f e 2 28 Hình 14.13: a- Hệ cơ bản; b-Hệ tương đương; c , d, e- các biểu đồ mô men để tính các hệ số δni à∆ f Biể đồ ô ủ hệ iê tĩ3 h ] 1 ⎛1 ⎞ 4l 2 δ 22 = M 2 × M 2 = ⎜ × l × l × l + l ⋅ l ⋅ l⎟ = EJ x ⎝ 2 3 ⎠ 3 EJ x l3 l3 1 1 2 δ11 = M 1 × M 1 = = × ⋅l×l⋅ l = EJ x EJ x 2 3 3EJ x l3 l3 1 δ12 = δ 21 = M1 × M 2 = × ⋅l⋅l⋅l = EJ x 2 2EJ x −1 − ql 4 l 3 1 ql 2 3 ∆ 1P = M1M P = = ⋅⋅ ⋅l⋅ ⋅l = EJ x EJ x 3 2 4 8EJ x −1 − ql 4 l 3 1 ql 2 ∆ 2P = M 2 M P = = ⋅⋅ ⋅l⋅l = EJ x EJ x 3 2 6EJ x Đưa các hệ số này vào hệ phương trình [14-13], ta được: 64
13. X 1 X 2 ql + − =0 3 2 8 [14-14] X1 4 ql + X2 − = 0 23 6 Giải hệ phương trình này ta có : 3ql ql X1 = ;X2 = − 7 28 Vì X2 mang dấu -, nên thực tế hệ tương đương sẽ được biểu diễn lại trên hình14.14a [thay X2 với chiều ngược lại] và biểu đồ mô men trong hệ siêu tĩnh cũng được vẽ với tải trọng q, X1 và X2 [xem hình 14.13 f]. - Tính chuyển vị tại D của hệ siêu tĩnh cũng là tính chuyển vị tại D ở hệ tĩnh l 3 1× X1 = PK = 1 ql 2 7 C D B ql X2 = 28 q a b A Hình 14.14: a- Hệ tương đương thực tế b- Biểu đồ trạng thái “k” để tính chuyển vị tại D định khi đã giải được X1 và X2. Như vậy chúng ta xem Mtổng là biểu đồ nội lực của trạng thái “m”. Bây giờ chúng ta thiết lập trạng thái “K” bằng cách trên hệ cơ bản tại D ta tác dụng một lực Pk = 1 theo phương tính chuyển vị là phương thẳng đứng và xây dựng biểu đồ cho trạng thái “K” là M K như trên hình 14.14b. Ta thực hiện việc nhân hai biểu đồ Mtổng và M K thì ta có chuyển vị yD tai D. yD = Mtổng M K Vậy: Tức là ta thực hiện nhân biểu đồ trên [hình 14.13f và 14.14b]. Ta chú ý đến biểu đồ M K [hình 14.14 b] giá trị mô men chỉ có từ ACD, còn đoạn DB mô men bằng không và trong đoạn CD trên hình 14.13f biểu đồ là hình thang. Để dễ làm phép nhân Vêrêsaghin, ta chia hình thang này làm thành hai hình: hình [1] là hình tam giác, hình [2] là hình chữ nhật [xem hình 14.13f]. Cũng tương tự ở đoạn AC của Mtổng [xem hình 14.13f] là một đường cong bậc 2, để tính diện tích của nó ta chia ra làm hai hình [3] và [4]. Như vậy để có yD ta nhân diện tích 4 hình đó với tung độ ở biểu đồ M K [hình 14.14b] ứng với trọng tâm 4 hình đã chia. Vậy : 1 ⎡ 1 ⎛ ql 2 1 ql 2 ⎞ l 2 l ql 2 l 1 l 1 2 2 l⎤ l ql 2 ⎜ ⎟⋅ ⋅ yD = − + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ql ⋅ l ⋅ + ⋅l⋅ ⎥ ⎢⎜ EJ x ⎣ 2 ⎝ 28 2 28 ⎟ 2 3 2 56 2 2 2 3 28 2 28 2⎦ ⎠ 15l 4 yD = 448EJ 65
14. Tóm lại khi thực hiện nhân biểu đồ Vêrêsaghin giữa hai biểu đồ nào đó thì để dễ xác định diện tích và tung độ tương ứng ta nên chia các biểu đồ ra thành những hình đơn giản như tam giác, hình vuông , hình chữ nhật, hình tròn, những đường cong đã biết được diện tích và vị trí trọng tâm của nó. Ví dụ 7: Vẽ biểu đồ mô men nội lực đối với khung chịu lực như hình vẽ 14.15a. Cho P=12kN, a=60cm, E J=2.107kNcm2. Bài giải : Hệ siêu tĩnh đã cho là một hệ siêu tĩnh bất kì, ta có thể xem tương đương với hai hệ chịu tải trọng đối xứng [hình14.15b] cộng với hệ phản đối xứng [hình 14.15c].Vậy việc giải hệ phương trình 14.15a tức là giải hai hệ 14.15b và 14.15c.Vệc giải này đơn giản hơn nhiều vì ta sử dụng được các tính chất ở phần trên đã nói. a a P P P P P 2 2 2 2 = + a a b c ] ] ] Hình 14.15: Vẽ biểu đồ nội lực đối 1.Ta giải hệ siêu tĩnh đốiiêu tĩnhịua];trọng đối xệng ương chọn hệ cơ bản với hệ s xứng và ch tải b, c-H ứ t P/2. Khi và xây dựng hệ tương đương nhưđtrên g vớ14.16a, a] thành phần lực cắt tại mặt đối ươn hình i hệ thì xứng không còn [theo tính chất đã biết].Vậy trên hệ tương đương chỉ còn X1, X2 đối xứng. Từ đó ta có thể viết hệ phương trình chính tắc như sau: δ 11 ⋅ X 1 + δ 12 ⋅ X 2 + ∆ 1P = 0 ⎫ [14-15] ⎬ δ 21 ⋅ X 1 + δ 22 ⋅ X 2 + ∆ 2 P = 0⎭ 66
15. Để giải hệ phương trình này, ta tính các hệ số nhờ các biểu đồ X 1 = 1 ; X 2 = 2 trên hình 14.16b, c, d. a X2 X1 =1 X1 a X 2 =1 M1 P P 2 2 M2 1⋅2a 1 a a b c ] ] ] Pa Pa 16 16 11 Pa 32 P P 2 2 P 15 a Pa 2 32 d e ] ] Hình 14.16: Sơ đồ để tính các hệ số δin và ∆iP cho hệ đối xứng chịu tải trọng đối xứng của hình 12 15b 16 a 3 1 1 2 δ11 = M 1 M 1 = ⋅ 2 ⋅ ⋅ 2a ⋅ 2a ⋅ ⋅ 2a = EJ x 2 3 3 EJ x 4a 2 1 1 δ12 = δ 21 = M 1 M 2 = ⋅ 2 ⋅ ⋅ 2a ⋅ 2a ⋅ 1 = EJ x 2 EJ x ⎛a ⎞ 5a 1 δ 22 = M 2 M 2 = ⋅ 2⎜1 ⋅ ⋅ 1 + 1 ⋅ 2a ⋅ 1⎟ = EJ x ⎝ 2 ⎠ EJ x −1 1 P 5 5 ∆1P = 2 ⋅ ⋅ a ⋅ a ⋅ 2a = − Pa 3 EJ x 2 2 6 6EJ x −1 1 P Pa 2 ∆ 2P = 2 ⋅ ⋅ a ⋅ a ⋅1 = − EJ x 2 2 2EJ x Thay các hệ sô này vào hệ [14-15] và giải nó, ta được: 13P Pa X1 = + , X2 = − 64 16 67
16. Khi có được X1 và X2 chúng ta dựng được biểu đồ mô men tổng như trên hình 14.16e 2. Bây giờ ta tiếp tục giải hệ siêu tĩnh đối xứng, chịu tải trọng phản đối xứng biểu diễn ở hình 14.15c. Cũng tương tự như trên, trước hết ta chọn hệ cơ bản là cắt ở một mặt đối xứng thì các thành phần đối xứng của nó bằng 0, chỉ có lực cắt X3 phản đối xứng khác không và ta có được hệ tương đương như trên hình 14.17a a a 1⋅ 1⋅ 2 2 X3 P P P P 2 2 2 2 MP M3 P ⋅a 2 a b c ] ] ] 3 Pa 26 M2tổng 5 Pa 13 d ] Hình 14.17: Sơ đồ để tính các hệ số δin và ∆iP cho hệ đối xứng chịu tải trọng phản đối xứng của hình 14.15c Trên cơ sở hệ này chỉ có một phương trình chính tắc là: δ 33 X 3 + ∆ 3P = 0 [14-16] Để giải phương trình này, ta tính δ33 thông qua biểu đồ mô men do X 3 = 1 gây ra [trên hình 14.17b] và ∆3P là sự nhân biểu đồ M 3 và MP [trên hình 14.17c]. Vậy: a ⎞ 13a 3 2 ⎛1 a a 2 a a δ 33 = M 3 M 3 = ⋅⎜ ×× + × 2a × ⎟ = EJ x ⎝ 2 2 2 3 2 2 2 ⎠ 12EJ x Pa 3 21 P a ∆ 3P = M 2 M P = − ⋅ ⋅a ⋅ a × = − EJ x 2 2 2 4EJ x Thay các hệ số đó vào [14-16] và giải, ta có: 68
17. 13 a 3 Pa 3 ⋅ X3 − =0 12 EJ x 4EJ x 3P X3 = Vậy : 13 Cũng làm như trên, nhân biểu đồ M 3 với giá trị X3 rồi cộng với MP ta sẽ được Mtổng của hệ siêu tĩnh này như trên hình 14.17d. 3.Cuối cùng để có biểu đồ mô men trong hệ siêu tĩnh đã cho [hình 14.15a], ta lại phải thực hiện phép cộng của hai biểu đồ mô men tổng của hệ đối xứng, tải trọng đối xứng M1tổng [trên hình 14.16c] và M2tổng ở hệ đối xứng, tải trọng phản đối xứng [hình 14.17d]. Trên hình 14.18, ta vẽ lại hai biểu đồ M1tổng và M2tổng [xem hình 14.18a,b], sau đó ta cộng các giá trị lại, ta được biểu đồ mô men M [xem hình 14.18c] trong hệ siêu tĩnh đã cho ban đầu . 3 37 Pa Pa Pa 26 208 16 11 pa 208 191 11 P Pa a 416 32 2 + = 95 Pa 416 5 Pa 32 15 Pa 355 35 32 Pa Pa 416 416 1 2 M M M tổng tổng a b c ] ] ] Hình 14.18: Biểu đồ mô men a-Biểu đồ mô men tổng của hệ tải trọng đối xứng [xem hình 14.16c]. b-Biểu đồ mô men tổng của hệ tải trọng phản đối xứng [xem hình14.17d]. Biể đồ ô tổ ủ hệ iê tĩ h đã h [ Chú ý: - Trong những ví dụ trên, khi giải các khung siêu tĩnh ta mới chỉ để ý đến thành phần mô men uốn, còn các thành phần lực dọc, mô men xoắn, lực cắt ta chưa tính đến. Nếu có tính đến các đại lượng này thì bài toán dài hơn, nhưng nguyên tắc giải không có gì mới. Mặt khác cũng lưu ý rằng chúng ta mới trình bày bài toán phẳng, nếu mở rộng cho các bài toán không gian thì cách giải cũng tương tự như vậy. - Khi sử dụng tính chất đối xứng của hệ thì ta sẽ có các hệ phương trình chính tắc có số phương trình ít hơn và dĩ nhiên dễ giải hơn khi không lợi dụng tính chất này. 14.5.TÍNH DẦM LIÊN TỤC. 69
18. Tính toán dầm liên tục thực chất là giải bài toán siêu tĩnh với đặc tính là dầm thẳng, đặt trên nhiều gối tựa [hình 14.19]. Các đầu mút của dầm có thể là tự do, có thể đặt trên gối tựa [hình 14.19a], cũng có thể là ngàm [hình 14.19b]. Để tiện tính toán, các gối tựa của dầm được đánh số từ trái sang phải theo thứ tự 0,1, 2,...i...n. Gọi l1, l2,...ln là các chiều dài các nhịp và cũng được tính từ trái sang phải. Như vậy chỉ số của chiều dài tại mỗi nhịp trùng với chỉ số của gối tựa bên phải của nhịp. a b ] ] Hình 14.19: Dầm liên tục. a-Dầm có đầu mút tự do; b-Dầm có đầu mút bị ngàm Để tổng quát hoá bài toán, ta giả thiết mô men quán tính trong từng nhịp không đổi còn giữa các nhịp sẽ khác nhau. Chúng ta hãy xét một dầm liên tục như trên hình vẽ 14.20a. Hệ cơ bản của dầm có thể chọn bằng cách bỏ các gối tựa trung gian và thay vào đó những phản lực X1, X2, Xi [hình 14.20b]. Cách chọn hệ cơ bản này 0 1 2 3 4 không có lơi lắm, vì khi xác định a các hệ số chính và phụ trong hệ ] l1 l2 l3 l4 phương trình chính tắc ta phải vẽ các biểu đồ mô men sinh ra do các lực X 1 = 1 , X 2 = 1 ,.... X i = 1 và chắc b X1 X2 X3 chắn các biểu đồ này có suốt chiều ] dài của dầm. Cho nên việc thực M2 M1 M3 hiện cách nhân biểu đồ Vêrêsaghin c có khó khăn. ] Vì lý do đó chúng ta hãy chọn lại hệ cơ bản khác bằng cách Hình 14.20 thay những gối tựa trung gian bằng a-Dầm liên tục; b và c- Hệ cơ bản những khớp [xem hình 14.20c]. Dĩ của dầm nhiên ở đây phải thay vào những mô men M1, M2, Mi ... chống lại sự quay do các khớp sinh ra để hệ có thể làm việc tương đương. Đối với hệ cơ bản này ta thấy việc tính toán các hệ số đơn giản hơn. Và rõ ràng mỗi mô men nội lực M1, M2, Mi chỉ ảnh hưởng đến hai nhịp lân cận nó mà thôi. Nên các biểu đồ sinh ra do M 1 = 1, M 2 = 1,.....M n = 1 cũng chỉ có ở hai nhịp lân cận chúng. Đây cũng chính là điểm khác cách giải chung cho một hệ siêu tĩnh thông thường. Để giải dầm liên tục chúng ta hãy xét điều kiện cụ thể tương đương tại gối tựa thứ i [hình 14.21a]. Rõ ràng điều kiện tương đương là góc xoay tương đối của hai mặt cắt tại i [bên trái và bên phải] phải bằng không. Phương trình chính tắc thứ i có dạng: δi[i-1] Mi-1 + δii Mi + δi[i+1] Mi+1 + ∆ip + ∆it + ∆i∆ = 0 [14-17] Trong đó: 70
19. - ∆ip, ∆it, ∆i∆: là góc xoay tương đối giữa hai mặt i i- i+ cắt ngang ở hai gối tựa thứ i, a 1 1 do tải trọng, nhiệt độ thay đổi ] và độ lún không đều gây ra li li trong hệ cơ bản. Thường ta ít gặp các đại lượng ∆it và ∆i∆ . 1 M i −1 = 1 - δi[i-1] ,δii , δi[i + 1]: là b góc xoay tương đối giữa hai ] mặt cắt thứ i do các mô men đơn vị: 1 M i =1 M i [ i −1] = 1, M ii = 1, c ..., M i [ i +1] = 1 ] gây ra . Trên hình 14.21 b, c, d 1 M i +1 = 1 biểu diễn các biểu đồ mô men đơn vị M i −1 = 1 M i = 1 và d ] M i +1 = 1 [quanh gối tựa i] . 1 Căn cứ vào biểu đồ này ta tính được các hệ số δi[i-1], δii Hình 14.21: Phương pháp giải dầm , δi[i + 1] theo phương pháp liên tục nhân biểu đồ Vêrêsaghin : a- Xét gối tựa tương đương thứ i b, c, d- Mô men đơn vị thứ li 11 1 δ i [i −1] = M i M i −1 = ⋅ ⋅ l ⋅ li ⋅ ⋅ l = EJ i 2 3 6EJ i l [i +1] l 11 2 11 2 δ ii = M i M i = ⋅ ⋅ l ⋅ li ⋅ ⋅ l + ⋅ ⋅ l ⋅ l [i +1] ⋅ ⋅ l = i + EJ i 2 3 EJ i +1 2 3 3EJ i 3EJ [i +1] l [i +1] 11 1 δ i [i +1] = M i M i +1 = ⋅ ⋅ l [i +1] ⋅ l ⋅ ⋅ l = EJ i +1 2 3 6EJ i +1 Đưa các hệ số vừa tính vào [14-17], ta được: ⎛l l[i+1] ⎞ l li M[i−1] + ⎜ i + ⎟Mi + [i+1] M[i+1] = −[∆iP + ∆it + ∆i∆ ] [14-18] ⎜ 3EJ 3EJ ⎟ 6EJi 6EJ[i+1] ⎝i [i+1] ⎠ Phương trình chính tắc [14-18] gọi là phương trình ba mô men vì nó biểu thị sự liên hệ giữa các mô men chưa biết tại 3 gối tựa liền nhau i-1, i và i+1. Rõ ràng có bao nhiêu gối tựa trung gian thì sẽ có bấy nhiêu phương trình 3 mô men. Các phương trình này lập nên một hệ gọi là hệ phương trình ba mô men. Giải hệ phương trình đó ta sẽ tìm được tất cả các mô men uốn nội lực tại gối tựa [mô men này gọi là mô men tựa]. Bây giờ trong phương trình [14.18] cần phải xác định ∆ip, ∆it, ∆i∆ thì mới giải được. Dưới đây chúng ta hãy tính ∆ip trong từng nhịp i và i+1 chịu tác dụng của tải trọng như trên hình vẽ 14.22a. 71
20. Chúng ta giả sử tại các nhip li và li+1 chịu tải trọng bên ngoài như trên hình 14.22a và nhiệt độ không gây ra sự khác biệt về góc xoay tại gốc i, cũng như độ lún không gây ra góc xoay tương đối ở hai mặt cắt trái, phải ở gối tựa thư i.Và như vậy ta chỉ cần tính ∆iP Căn cứ vào sơ đồ tải trọng ở hình 14.22a, với hệ này ta tiến hành vẽ biểu đồ mô men do tải trọng gây ra ở nhịp thứ i và thứ i+1. Việc vẽ biểu đồ mô men do tải trọng gây ra ở hai nhịp này là rất đơn giản, vì với cách q P1 P2 chọn hệ cơ bản đã nói, thì xem ở nhịp Mi+1 Mi-1 Mi i là một đoạn dầm đơn giản đặt trên a hai gối tựa chịu tác dụng của các lực ] phân bố. Tương tự như vậy ở nhịp i+1 li li cũng là một đoạn dầm đặt trên hai gối 1 tựa chịu tác dụng của P1 và P2 và ta có được các biểu đồ đó [như trên hình MP b Oi Oi+1 vẽ14.22b]. Để dễ tính toán, chúng ta ] ai+ bi+ vẽ lại biểu đồ mô men uốn do M i = 1 ai bi tại gối thứ i [xem hình 14.22c, d]. 1 1 c Để có ∆iP ta thực hiện phép nhân M i =1 ] biểu đồ MP [hình 14.22b] và M i = 1 [hình14.22d]. Giả sử trọng tâm của biểu đồ MP ở nhịp li là tại Oi và trọng yi yi+1 d tâm của biểu đồ MP ở nhịp li+1 là Oi+1. ] Ứng với các trọng tâm này ở biểu M i =1 li đồ M i = 1 [hình 14.22d] có các tung li độ là yi và yi+1, thì kết quả sẽ là: 1 Hinh 14.22: Sơ đồ tính góc 1 1 ∆ip = Ωi ⋅ yi + Ωi+1 ⋅ y xoay tương đối ∆iP do tải EJi EJi+1 Trong đó: trọng gây ra. - Ωi và Ωi+1: là diện tích biểu đồ mô men uốn do tải trọng sinh ra trong hệ cơ bản tại nhịp thứ i và i+1. - yi , yi+1: là tung độ của biểu đồ mô men gây ra do M i = 1 tại nhịp i và i+1 tương ứng với trọng tâm Oi và Oi+1 trên biểu đồ mô men do tải trọng sinh ra. Dễ dàng thấy rằng : b i +1 ai y i +1 = yi = ; l i +1 li Do đó: a b 1 1 ∆ iP = Ωi ⋅ i + Ωi+1 ⋅ i+1 EJi l i EJ +1 l Thay ∆iP vào trong phương trình [14-18] ivà cho ∆i+1t = ∆ = 0 [không xét như đã i∆ i nói ở trên], ta có: ⎛l ⎞ l l 1 M i −1 + ⎜ i + i +1 ⎟ M i + i +1 M i +1 ⎜ 3EJ 3EJ i +1 ⎟ 6 EJ i 6 EJ i +1 ai ⎝ 1 i bi+1 ⎞ ⎠ ⎛1 [14-19] = ⎜ Ωi + ⎟ Ωi+1 ⋅ ⎜ EJ li+1 ⎟ li EJi+1 ⎝i ⎠ Nếu dầm có độ cứng không đổi thì phương tình này có dạng đơn giản hơn: ⎛ Ω ⋅a Ω ⋅b ⎞ l i ⋅ M i −1 + 2[l i + l i +1 ]M i + l i +1 ⋅ M i +1 = −6⎜ i i + i +1 i +1 ⎟ ⎜l l i +1 ⎟ ⎝i ⎠ 72

Page 2

YOMEDIA

Hệ siêu tĩnh là một hệ mà các phương trình cân bằng tĩnh học thông thường chưa thể xác định phản lực của chúng, cũng như nội lực trên các mặt cắt ngang của hệ, cũng có nghĩa là bài toán chưa giải được. Trong kỹ thuật ta thường gặp những hệ như vậy và để tìm các phản lực cũng như nội lực của chúng ngoài những phương trình cân bằng tĩnh học thông thường, còn phải lập thêm các phương trình khác căn cứ vào từng trường hợp tùy theo biến dạng và chuyển vị của hệ thanh...

31-12-2011 1395 125

Download

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2009-2019 TaiLieu.VN. All rights reserved.