Bài tập về hàm số chứa tham số m
|
Đối với bài toán chứa tham số, để biện luận số tiệm cận hay tìm điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận thỏa mãn điều kiện nào đó, ta thường thực hiện theo các bước sau: + Bước 1: Tìm điều kiện của tham số để hàm số không suy biến. + Bước 2: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số. + Bước 3: Giải điều kiện của bài toán để tìm tham số. + Bước 4: Kết luận. 2. Ví dụ minh họaVí dụ 1. (THPT Chuyên Bảo Lộc – Lâm Đồng 2017). Cho hàm số . Đồ thị hàm số nhận trục hoành và trục tung làm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng. Tính giá trị biểu thức P = m + n. Hướng dẫn Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = m + 1 và tiệm cận đứng x = n - 1. Do đó đồ thị hàm số nhận trục tung x = 0 và trục hoành y = 0 làm tiệm cận khi và chỉ khi Ví dụ 2 (THPT chuyên Thái Nguyên 2017 L2). Tìm m để đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng. Hướng dẫn Ta có x2 - 3x + 2 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 2 Để hai đường thẳng x = 1 và x = 2 là đường tiệm cận của đồ thị hàm số thì x = 1 và x = 2 không là nghiệm của tử số mx3 - 2. Tức là: Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang mà không có tiệm cận đứng. Hướng dẫn Ta có nên y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Do đó để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang mà không có tiệm cận đứng thì phương trình x2 - 4x + m = 0 vô nghiệm ⇔ Δ' < 0 ⇔ 4 - m < 0 ⇔ m > 4 3. Bài tập vận dụng (có đáp án)Câu 1: Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số nhận đường thẳng y = 1 làm tiệm cận ngang. Lời giải: Nghiệm của mẫu thức x = 2. Để đồ thị hàm số có tiệm cận thì x = 2 không là nghiệm của phương trình mx + 1 = 0 hay 2m + 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ -1/2 Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là y = -m/2 Để đồ thị hàm số nhận y = 1 làm tiệm cận ngang thì -m/2 = 1 ⇔ m = -2 (thỏa mãn) Vậy giá trị tham số m cần tìm là m = -2 Câu 2: Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = 1 làm tiệm cận đứng. Lời giải: Nghiệm của tử thức x = -1/3. Để đồ thị hàm số có tiệm cận thì x = -1/3 không là nghiệm của phương trình m - 2x = 0 hay m - 2.(-1/3) ≠ 0 ⇔ m ≠ -2/3 Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là x = m/2 Để đồ thị hàm số nhận x = 1 làm tiệm cận đứng thì m/2 = 1 ⇔ m = 2 Vậy giá trị tham số m cần tìm là m = 2 Câu 3: Cho hàm số . Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = 2; y = 2 lần lượt là tiệm cận đứng và tiệm cận ngang. Biểu thức 9m2 + 6mn + 36n2 có giá trị là bao nhiêu? Lời giải: Để x = 2 làm tiệm đứng của đồ thị hàm số thì x = 2 là nghiệm của mẫu nhưng không là nghiệm của tử hay Để y = 2 làm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số thì m/n = 2 ⇔ m = 2n Giải hệ Biểu thức 9m2 + 6mn + 36n2 = 9.(1/3)2 + 6. 1/3.1/6 + 36.(1/6)2 = 7/3 Câu 4:Tìm giá trị của m và n để đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = 2 làm tiệm cận đứng và đường thẳng y = 2 làm tiệm cận ngang. Lời giải: Để x = 2 làm tiệm đứng của đồ thị hàm số thì x = 2 là nghiệm của mẫu nhưng không là nghiệm của tử hay Để y = 2 làm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số thì m = 2 Vậy m = 2; n = -2 Câu 5: (Sở GD Bắc Giang 2017 L2). Tìm tập hợp các giá trị m để đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận. Lời giải: Ta có nghiệm của tử thức x = 1/2 Vì ⇒ y = 0 là tiệm cận ngang. Để đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận thì phương trình 4x^2+4mx+1=0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép và nghiệm đó bằng 1/2 Nếu phương trình 4x2 + 4mx + 1 = 0 vô nghiệm ⇔ Δ' < 0 ⇔ 4m2 - 4 < 0 ⇔ -1 < m < 1 Nếu phương trình 4x2 + 4mx + 1 = 0 có nghiệm kép bằng -1/2 Vậy giá trị của tham số m cần tìm là -1 ≤ m < 1 Câu 6: (THPT Hai Bà Trưng – Huế 2017). Cho hàm số . Tìm tất cả các giá trị tham số m để đồ thị hàm số chỉ có một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang. Lời giải: Ta có ⇒ y = 0 là tiệm cận ngang. Nghiệm của tử thức x = -3 Để đồ thị hàm số chỉ có một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang thì x2 - 6x + m = 0 chỉ có một nghiệm khác -3 hoặc có hai nghiệm phân biệt và một nghiệm bằng -3. Trường hợp 1: Phương trình x2 - 6x + m = 0 chỉ có một nghiệm khác -3 Trường hợp 2: Phương trình x2 - 6x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt và một nghiệm bằng -3. Vậy giá trị của tham số m cần tìm là m = 9; m = -9. Câu 7: (THPT Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An 2017 L3). Tìm các giá trị của tham số m sao cho đồ thị hàm số có tiệm cận ngang. Lời giải: Nếu m = 0 thì y = x + 1. Suy ra đồ thị của nó không có tiệm cận ngang. Nếu m < 0 thì hàm số xác định, ⇔ mx2 + 1 ≥ 0 ⇔ (-1)/√(-m) ≤ x ≤ 1/√(-m) Do đó, không tồn tại nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. Với 0 < m < 1 thì nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. Với m = 1 thì Suy ra đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số khi x → -∞ Với m>1 thì nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. Vậy giá trị của tham số m cần tìm là m = 1 Câu 8: (THPT Chuyên ĐHSPHN 2017) Tìm tập hợp các giá trị thực của m để đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận. Lời giải: Do nên đồ thị hàm số luôn có tiệm cận ngang y = 0. Để đây là tiệm cận duy nhất của đồ thị thì có hai trường hợp xảy ra m = 0:) chỉ có tiệm cận ngang là y = 0 m ≠ 0, hai phương trình mx2 - 2x + 1 = 0; 4x2 + 4mx + 1 vô nghiệm. Tức là 1 - m < 0 và 4m2 - 4 < 0 (Vô lí) Vậy không có giá trị m thỏa mãn 4. Bài tập trắc nghiệm (có đáp án)Câu 1: Biết đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 1 và tiệm cận ngang là y = 0. Tính a + 2b
Lời giải: Đáp án : C Giải thích : Vì đồ thị hàm số nhận x = 1 làm tiệm cận đứng nên x = 1 là nghiệm của mẫu nhưng không là nghiệm của tử hay Vì đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 0 nên a - 2b = 0 ⇔ a = 2b = 4 Vậy a + 2b = 4 + 2.2 = 8. Câu 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số nhận đường thẳng y = 8 làm tiệm cận ngang
Lời giải: Đáp án : C Giải thích : Do nên đồ thị hàm số luôn có tiệm cận ngang y = 2m2 Cho 2m2 = 8 ⇔ m = ±2. Câu 3: Biết rằng đồ thị hàm số nhận hai trục tọa độ làm hai đường tiệm cận. Tính tổng S = m2 + n2 - 2
Lời giải: Đáp án : B Giải thích : Ta có hàm số là hàm phân thức nên nhận y = m - 2n - 3 là tiệm cận ngang và x = m + n là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Vì đồ thị hàm số nhận x = 0; y = 0 làm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang nên ta có: Khi đó S = m2 + n2 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0. Câu 4: (THPT Lý Thái Tổ - Hà Nội 2017 L4). Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng y = 1
Lời giải: Đáp án : D Giải thích : Ta có hàm số là hàm phân thức nên nhận y = (m + 1)/2 là tiệm cận ngang. Cho (m + 1)/2 = 1 ⇒ m = 1. Câu 5: (THPT Triệu Sơn – Thanh Hóa 2017 L3). Biết đồ thị hàm số nhận trục hoành và trục tung làm hai tiệm cận thì giá trị của a + b là:
Lời giải: Đáp án : C Giải thích : Vì đồ thị hàm số nhận x = 0 làm tiệm cận đứng nên x = 0 là nghiệm của mẫu nhưng không là nghiệm của tử hay Vì đồ thị hàm số nhận y = 0 làm tiệm cận ngang nên ta có 4a - b = 0 ⇒ a = b/4 = 3 Khi đó a + b = 15. Câu 6: (Sở GD Hải Dương 2017). Biết đồ thị hàm số nhận trục hoành và trục tung làm hai đường tiệm cận. Tính m + n
Lời giải: Đáp án : D Giải thích : Ta có: \= 2m - n, đồ thị hàm số nhận trục hoành làm tiệm cận khi và chỉ khi 2m - n = 0 Do đồ thị hàm số nhận trục tung x = 0 làm tiệm cận nên x = 0 là nghiệm của x2 + mx + n - 6 = 0. Suy ra n - 6 = 0 Do đó m = 3, n = 6 ⇒ m + n = 9. Câu 7: Giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng là:
Lời giải: Đáp án : C Giải thích : Nghiệm của mẫu thức x = m. Để hàm số không có tiệm cận đứng thì: Câu 8: Giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận là:
Lời giải: Đáp án : C Giải thích : Ta có ⇒ y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số Do đó yêu cầu bài toán phương trình x2 - 2mx + 4 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác -1. Câu 9: Tất cả các giá trị thực của tham số a để đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận đứng.
Lời giải: Đáp án : B Giải thích : Yêu cầu bài toán 3x2 - 2ax + a = 0 có nghiệm duy nhất Δ' = a2 - 3a = 0 Câu 10: Tất cả các giá trị thực của tham số a để đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận ngang và đúng một tiệm cận đứng.
Lời giải: Đáp án : C Giải thích : Ta có nên y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số Yêu cầu bài toán phương trình x2 - 4x + m = 0 có nghiệm kép hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng -2 Nếu x2 - 4x + m = 0 có nghiệm kép thì Δ' = 4 - m = 0 ⇔ m = 4 Nếu x2 - 4x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng -2 thì Vậy giá trị của tham số m cần tìm là m = 4; m = -12. Câu 11: (THPT Sào Nam – Quảng Nam 2017). Cho hàm số . Giá trị của m để đồ thị hàm số có đúng 3 tiệm cận là:
Lời giải: Đáp án : C Giải thích : Ta có nên y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số Để đồ thị hàm số có đúng 3 tiệm cận thì phương trình x2 - m = 0 ⇔ x2 = m có hai nghiệm phân biệt khác 0 ⇔ m >0. Câu 12: Giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
Lời giải: Đáp án : D Giải thích : Nghiệm của mẫu thức x = 2 Để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng thì x = 2 không phải là nghiệm của phương trình x2 - mx - 2m2 = 0 Khi đó ta có 22 - 2m - 2m2 ≠ 0 ⇔ 2m2 + 2m - 4 ≠ 0 Câu 13: Xác định giá trị của tham số m để đồ thị hàm số có đúng hai tiệm cận đứng
Lời giải: Đáp án : A Giải thích : Để đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng thì phương trình x2 + 2(m - 1)x + m2 - 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1. |
