- M
Ở
Đ
Ầ
U
Trong m
ộ
t vài năm tr
ở
l
ạ
i đây thì trong các đ
ề
thi vào l
ớ
p 10 trung h
ọ
c ph
ổ
thông , các bài toán v
ề
ph
ươ
ng trình b
ậ
c hai có s
ử
d
ụ
ng t
ớ
i h
ệ
th
ứ
c Vi- Et xu
ấ
t hi
ệ
n khá ph
ổ
bi
ế
n . Trong khi
đ
ó n
ộ
i dung và th
ờ
i l
ượ
ng v
ề
ph
ầ
n này trong sách giáo khoa l
ạ
i r
ấ
t ít, l
ượ
ng bài t
ậ
p ch
ư
a
đ
a d
ạ
ng . Ta c
ũ
ng th
ấ
y
đ
ể
gi
ả
i
đ
ượ
c các bài toán có liên qua
đ
ế
n h
ệ
th
ứ
c Vi – Et, h
ọ
c sinh c
ầ
n tích h
ợ
p nhi
ề
u ki
ế
n th
ứ
c v
ề
đ
ạ
i s
ố
, thông qua
đ
ó h
ọ
c sinh có cách nhìn t
ổ
ng quát h
ơ
n v
ề
hai nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình b
ậ
c hai v
ớ
i các h
ệ
s
ố
. V
ậ
y nên nhóm toán chúng tôi xây d
ự
ng chuyên
đ
ề
này ngoài m
ụ
c
đ
ích giúp h
ọ
c sinh nâng cao ki
ế
n th
ứ
c còn giúp các em làm quen v
ớ
i m
ộ
t s
ố
d
ạ
ng toán có trong
đ
ề
thi vào l
ớ
p 10 trung h
ọ
c ph
ổ
thông N
ộ
i dung chính c
ủ
a chuyên
đ
ề
g
ồ
m :
I.
Ứ
ng d
ụ
ng 1 II.
Ứ
ng d
ụ
ng 2 III.
Ứ
ng d
ụ
ng 3 IV.
Ứ
ng d
ụ
ng 4 V.
Ứ
ng d
ụ
ng 5 VI.
Ứ
ng d
ụ
ng 6 VII.
Ứ
ng d
ụ
ng 7
VIII.
Ứ
ng d
ụ
ng 8
Nh
ẩ
m nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình b
ậ
c hai m
ộ
t
ẩ
n L
ậ
p ph
ươ
ng trình b
ậ
c hai Tìm hai s
ố
bi
ế
t t
ổ
ng và tích c
ủ
a chúng Tính giá tr
ị
c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình Tìm h
ệ
th
ứ
c liên h
ệ
gi
ữ
a hai nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình sao cho hai nghi
ệ
m này không ph
ụ
thu
ộ
c vào tham s
ố
Tìm giá tr
ị
tham s
ố
c
ủ
a ph
ươ
ng trình th
ỏ
a mãn bi
ể
u th
ứ
c ch
ứ
a nghi
ệ
m Xác
đ
ị
nh d
ấ
u các nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình b
ậ
c hai Tìm giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t, giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c nghi
ệ
m
- N
Ộ
I DUNG CHUYÊN Đ
Ề
:
Ứ
NG D
Ụ
NG C
Ủ
A H
Ệ
TH
Ứ
C VI-
ÉT TRONG GI
Ả
I TOÁN
Cho ph
ươ
ng trình b
ậ
c hai: ax
2
+ bx + c = 0
[a
≠
0]
[*] Có hai nghi
ệ
m
1
2
b xa
− − ∆\=
;
2
2
b xa
− + ∆\=
Suy ra:
12
222
b b b b x xa a a
− − ∆ − + ∆ − −+ \= \= \=
212222
[][]4444
b b b ac c x xa a a a
− − ∆ − + ∆ −∆\= \= \= \=
V
ậ
y
đ
ặ
t : - T
ổ
ng nghi
ệ
m là S : S \=
12
b x xa
−+ \=
- Tích nghi
ệ
m là P : P \=
12
c x xa
\=
Nh
ư
v
ậ
y ta th
ấ
y gi
ữ
a hai nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình [*] có liên quan ch
ặ
t ch
ẽ
v
ớ
i các h
ệ
s
ố
a, b, c
.
Đ
ây chính là n
ộ
i dung c
ủ
a
Đ
ị
nh lí VI-ÉT, sau
đ
ây ta tìm hi
ể
u m
ộ
t s
ố
ứ
ng d
ụ
ng c
ủ
a
đ
ị
nh lí này trong gi
ả
i toán.
- NH
Ẩ
M NGHI
Ệ
M C
Ủ
A PH
ƯƠ
NG TRÌNH :
1. D
ạ
ng đ
ặ
c bi
ệ
t:
Xét ph
ươ
ng trình [*] ta th
ấ
y : a] N
ế
u cho
x
\= 1 thì ta có [*] a.1
2
+ b.1 + c \= 0 a + b + c \= 0 Nh
ư
vây ph
ươ
ng trình có m
ộ
t nghi
ệ
m
1
1
x
\=
và nghi
ệ
m còn l
ạ
i là
2
c xa
\=
- N
ế
u cho
x
\=
−
1 thì ta có [*] a.[
−
1]
2
+ b[
−
- + c \= 0 a
−
b + c = 0 Nh
ư
v
ậ
y ph
ươ
ng trình có m
ộ
t nghi
ệ
m là
1
1
x
\= −
và nghi
ệ
m còn l
ạ
i là
2
c xa
−\=
Ví d
ụ
:
Dùng h
ệ
th
ứ
c VI-ÉT
đ
ể
nh
ẩ
m nghi
ệ
m c
ủ
a các ph
ươ
ng trình sau: 1]
2
2530
x x
+ + \=
[1] 2]
2
38110
x x
+ − \=
[2] Ta th
ấ
y : Ph
ươ
ng trình [1] có d
ạ
ng a
−
b + c \= 0 nên có nghi
ệ
m
1
1
x
\= −
và
2
32
x
−\=
Ph
ươ
ng trình [2] có d
ạ
ng a + b + c = 0 nên có nghi
ệ
m
1
1
x
\=
và
2
113
x
−\=
Bài t
ậ
p áp d
ụ
ng:
Hãy tìm nhanh nghi
ệ
m c
ủ
a các ph
ươ
ng trình sau: 1.
2
353720
x x
− + \=
2.
2
75005070
x x
+ − \=
3.
2
49500
x x
− − \=
4.
2
43212143000
x x
+ − \=
2. Cho ph
ươ
ng trình , có m
ộ
t h
ệ
s
ố
ch
ư
a bi
ế
t, cho tr
ướ
c m
ộ
t nghi
ệ
m
tìm nghi
ệ
m còn l
ạ
i và ch
ỉ
ra h
ệ
s
ố
c
ủ
a ph
ươ
ng trình :
Víd
ụ
:
- Ph
ươ
ng trình
2
250
x px
− + \=
. Có m
ộ
t nghi
ệ
m b
ằ
ng 2, tìm
p
và nghi
ệ
m th
ứ
hai. b] Ph
ươ
ng trình
2
50
x x q
+ + \=
có m
ộ
t nghi
ệ
m b
ằ
ng 5, tìm
q
và nghi
ệ
m th
ứ
hai. c] Cho ph
ươ
ng trình :
2
70
x x q
− + \=
, bi
ế
t hi
ệ
u 2 nghi
ệ
m b
ằ
ng 11. Tìm
q
và hai nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình. d] Tìm
q
và hai nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình :
2
500
x qx
− + \=
, bi
ế
t ph
ươ
ng trình có 2 nghi
ệ
m và có m
ộ
t nghi
ệ
m b
ằ
ng 2 l
ầ
n nghi
ệ
m kia.
Bài gi
ả
i:
- Thay
1
2
x
\=
v à ph
ươ
ng trình ban
đ
ầ
u ta
đ
ư
ợ
c : 144504
p p
− + \=
⇒
\=
T
ừ
12
5
x x
\=
suy ra
21
552
x x
\= \=
- Thay
1
5
x
\=
v à ph
ươ
ng trình ban
đ
ầ
u ta
đ
ư
ợ
c 2525050
q q
+ + \=
⇒
\= −
T
ừ
12
50
x x
\= −
suy ra
21
5050105
x x
− −\= \= \= −
- Vì vai trò c
ủ
a
x
1
và
x
2
bình
đ
ẳ
ng nên theo
đ
ề
bài gi
ả
s
ử
12
11
x x
− \=
và theo VI-ÉT ta có
12
7
x x
+ \=
, ta gi
ả
i h
ệ
sau:
121122
11972
x x x x x x
− \= \=
⇔
+ \= \= −
Suy ra
12
18
q x x
\= \= −
- Vì vai trò c
ủ
a
x
1
và
x
2
bình
đ
ẳ
ng nên theo
đ
ề
bài gi
ả
s
ử
12
2
x x
\=
và theo VI-ÉT ta có
12
50
x x
\=
. Suy ra
2222222
525055
x x x x
\= −
\= ⇔ \= ⇔
\=
V
ớ
i
2
5
x
\= −
th ì
1
10
x
\= −
V
ớ
i
2
5
x
\=
th ì
1
10
x
\=
II. L
Ậ
P PH
ƯƠ
NG TRÌNH B
Ậ
C HAI
1. L
ậ
p ph
ươ
ng trình b
ậ
c hai khi bi
ế
t hai nghi
ệ
m
12
;
x x
Ví d
ụ
:
Cho
1
3
x
\=
;
2
2
x
\=
l
ậ
p m
ộ
t ph
ươ
ng trình b
ậ
c hai ch
ứ
a hai nghi
ệ
m trên Theo h
ệ
th
ứ
c VI-ÉT ta có
1212
56
S x xP x x
\= + \=
\= \=
v
ậ
y
12
;
x x
là nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình có d
ạ
ng:
22
0560
x Sx P x x
− + \= ⇔ − + \=
Bài t
ậ
p áp d
ụ
ng:
1. x
1
\= 8
vµ
x
2
\= -3 2. x
1
\= 3a
vµ
x
2
\= a 3. x
1
\= 36
vµ
x
2
\= -104 4. x
1
\=
12
+
vµ
x
2
\=
12
−
2. L
ậ
p ph
ươ
ng trình b
ậ
c hai có hai nghi
ệ
m tho
ả
mãn bi
ể
u th
ứ
c ch
ứ
a hai nghi
ệ
m c
ủ
a m
ộ
t ph
ươ
ng trình cho tr
ướ
c:
V í d
ụ
:
Cho ph
ươ
ng trình :
2
320
x x
− + \=
có 2 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
12
;
x x
. Không gi
ả
i ph
ươ
ng trình trên, hãy l
ậ
p ph
ươ
ng trình b
ậ
c 2 có
ẩ
n là
y
tho
ả
mãn :
121
1
y x x
\= +
và
212
1
y x x
\= +
Theo h
ệ
th
ứ
c VI- ÉT ta c ó:
1212211212121212
111139[][]322
x xS y y x x x x x x x x x x x x
+\= + \= + + + = + + + \= + + \= + \=
1221121212
11119[][]1121122
P y y x x x x x x x x
\= \= + + \= + + + \= + + + \=
V
ậ
y ph
ươ
ng trình c
ầ
n l
ậ
p có d
ạ
ng:
2
0
y Sy P
− + \=
hay
22
990299022
y y y y
− + \= ⇔ − + \=
Bài t
ậ
p áp d
ụ
ng:
1/ Cho ph
ươ
ng trình
2
3560
x x
+ − \=
có 2 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
12
;
x x
. Không gi
ả
i ph
ươ
ng trình, Hãy l
ậ
p ph
ươ
ng trình b
ậ
c hai có các nghi
ệ
m
112
1
y x x
\= +
và
221
1
y x x
\= +
[
Đ
áp s
ố
:
2
51062
y y
+ − \=
hay
2
6530
y y
+ − \=
]