CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TIẾP TUYẾN
Bài toán chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn là một bài toán rất quen thuộc và quan trọng trong chương trình hình học lớp 9. Các học sinh thường không gặp nhiều khó khăn khi giải các bài toán này. Tuy nhiên không phải bài toán chứng minh tiếp tuyến nào cũng dễ xơi. Vì thế tôi xin được trình bày Các phương pháp chứng minh tiếp tuyến để học sinh có định hướng tốt hơn khi giải các bài toán này.
Để chứng minh một đường thẳng [d] là tiếp tuyến của đường tròn [O; R] ta thường dùng các phương pháp sau:
I. PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH
1. Phương pháp 1:
Chứng minh khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng [d] bằng bán kính R.
[ Phương pháp này thường được dung khi chưa biết giao điểm của [d] và [O] ]
Ví dụ 1: Cho đường tròn [O] đường kính AB. Ax, By là 2 tia tiếp tuyến của [O] [Ax, By cùng nửa mặt phẳng bờ là đt AB]. Trên Ax lấy điểm C, trên By lấy điểm D sao cho . Chứng minh rằng: CD tiếp xúc với đường tròn [O].
Hướng dẩn giải
Vẽ . Ta chứng minh OH = RO = OB.
Tia CO cắt tia đối của tia By tại E.
Ta có:
Tam giác DEC có DO vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên là tam giác cân. Khi đó DO cũng là đường phân giác. .
Ta có nên CD là tiếp xúc với [O] tại H. @
2. Phương pháp 2:
Nếu biết đường thẳng [d] và [O] có một giao điểm A. Ta chỉ cần chứng minh minh .
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Đường tròn đường kính BH cắt AB tại D, đường tròn đường kính CH cắt AC tại E. Chứng minh rằng DE là tiếp tuyến chung của [I] và [J].
Hướng dẩn giải
Để chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn tâm I đường kính BH ta chứng minh hay
Vì D, E lần lượt thuộc đường tròn đường kính BH và HC nên ta có: .
Suy ra tứ giác ADHE là hình chữ nhật.
Gọi O là giao điểm của AH và DE, khi đó ta có OD = OH = OE = OA.
Suy ra tam giác ODH cân tại O
Ta cũng có tam giác IDH cân tại I nên .
Từ đó ta có:
Ta có nên DE tiếp xúc với [I] tại D.
Chứng minh tương tự ta cũng có DE tiếp xúc với [J] tại E. @
Vì dụ 3: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ID, IE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE.
Hướng dẩn giải
Gọi O là trung điểm của AH.
Tam giác ADH vuông tại D có DO là trung tuyến nên ta có:
Tam giác AEH vuông tại E có EO là trung tuyến nên ta có: .
Suy ra OA = OD = OE, do đó O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE.
Ta có [1] [ tam giác OAD cân tại O]
Tam giác BDC vuông tại D có DI là trung tuyến nên , suy ra tam giác ICD cân tại I, do đó [2]
H là giao điểm hai đường cao BD và CE nên là trực tâm của tam giác ABC, suy ra tại F. Khi đó [2]
Từ [1] , [2] và [3] ta có
Ta có nên ID tiếp xúc với [O] tại D.
Chứng minh tương tự ta cũng có IE tiếp xúc với [O] tại E.
3. Phương pháp 3: Phương pháp trùng khít
Để chứng minh một đường thẳng [d] là tiếp tuyến của [O] ta dựng đường thẳng [d] là tiếp tuyến của [O] sau đó chứng minh [d] và [d] trùng nhau. Do đó [d] là tiếp tuyến của [O].
Ví dụ 4: Ta chứng minh ví dụ 1 với phương pháp này.
Hướng dẩn giải
Từ C vẽ tiếp tuyến CD của đường tròn [O] [D thuộc By] tiếp xúc với [O] tại tiếp điểm H.
Ta có OC là phân giác của góc AOH [t/c hai tiếp tuyến cắt nhau]
Và OD là phân giác của góc BOH.
Mà hai góc AOH và BOH là hai góc kề bù nên .
Từ đó ta có mà D, D đều thuộc By nên suy ra .
Vì CD là tiếp tuyến của [O] nên CD cũng là tiếp tuyến của [O] .
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC. Tia Ax khác phía với AC đối với đường thẳng AB thỏa . Chứng minh Ax là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Hướng dẩn giải
Vẽ tia tiếp tuyến Ay của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC [Ay cùng phía với Ax đối với đường thẳng AB]
Khi đó ta có [góc giữa tia tiếp tuyến và dây cùng bằng góc nội tiếp chắn cung đó]
Mà [gt] nên ta có
Và Ax, Ay cùng phía đối với đường thẳng AB nên suy ra . Mà Ay là tiếp tuyến của [ABC] nên Ax cũng là tiếp tuyến của [ABC].
NHẬN XÉT:
1. Phương pháp 1, 2 là tương đối quen thuộc và hầu hết các bài toán chứng minh tiếp tuyến đều dung hai phương pháp này vì nó được suy ra trực tiếp từ định nghĩa tiếp tuyến. Tuy nhiên hạn chế của hai phương pháp này là ta phải biết được tâm cũng như bán kính của đường tròn.
2. Phương pháp 3 là một phương pháp khá hay và hiệu quả, giúp ta giải được bài toán nhanh chóng và gọn nhẹ. Tuy nhiên không nhiều học sinh có thể vận dụng thành thạo để chứng minh các bài toán.
3. Ví dụ 5 cho ta ý tưởng chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp một tam giác hoặc tiếp xúc với đường tròn mà tâm hoặc bán kính của nó xác định một cách khó khăn. Hạn chế của phương pháp này chính là khi chúng ta dựng tiếp tuyến, phải dựng thật hợp lí để chúng ta có thể chứng minh sự trùng khít dễ dàng hơn.
4. Tóm lại không có phương pháp nào là hoàn hảo và áp dụng dễ dàng cho mọi bài toán, chúng ta cần phải vận dụng linh hoạt 3 phương pháp trên trong việc chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn.
II.BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Ax, By là hai tiếp tuyến của [O] [Ax, By cùng phía đối với đường thẳng AB]. Trên Ax lấy điểm C, trên By lấy điểm D sao cho . Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn [O].
Bài 2: Cho nửa đường tròn đường kính AB. Trên đoạn AB lấy điểm M, gọi H là trung điểm AM. Đường thẳng qua H vuông góc với AB cắt [O] tại C. Đường tròn đường kính MB cắt CB tại I. Chứng minh HI là tiếp tuyến của đường tròn đường kính MI.
Bài 3: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. C thuộc nửa đường tròn. Vẽ . M là trung điểm CH, BM cắt tiếp tuyến Ax của [O] tại P. Chứng minh PC là tiếp tuyến của đường tròn [O].
Bài 4: Cho đường tròn [O] đường kính AB. M là một điểm trên đoạn OB. Đường thẳng qua M vuông góc AB tại M cắt [O] tại C và D. AC cắt BD tại P, AD cắt BC tại Q. AB cắt PQ tại I. Chứng IC và ID là tiếp tuyến của [O].
Bài 5. Cho tam giác đều AB cạnh a ngoại tiếp đường tròn [O]. Trên các cạnh AB và AC lấy các điểm M, N sao cho chu vi tam giác AMN bằng a. Chứng minh NM tiếp xúc với [O].
Bài 6: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn đường kính BC [AB < AC]. T là một điểm thuộc đoạn OC. Đường thẳng qua T vuông góc với BC cắt AC tại H và cắt tiếp tuyến tại A của [O] tại P. BH cắt [O] tại D. Chứng minh PD là tiếp tuyến của [O].
Bài 7: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn [O]. Phân giác góc BAC cắt BC tại D và cắt [O] tại M. Chứng minh BM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.
Bài 8: Cho đường tròn [O] và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến [O] [B, C là hai tiếp điểm]. Gọi D là điểm đối xứng của B qua O. AD cắt [O] tại E. Chứng minh OA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACE.