Định giá quyền chọn và chứng khoán phái sinh từ lâu đã là lĩnh vực của những người được gọi là nhà khoa học tên lửa ở Phố Wall—i. e. , người có bằng Ph. D. trong vật lý hoặc một môn học đòi hỏi tương tự khi nói đến toán học liên quan. Tuy nhiên, việc áp dụng các mô hình bằng các phương pháp số như mô phỏng Monte Carlo thường ít liên quan hơn một chút so với bản thân các mô hình lý thuyết
Điều này đặc biệt đúng đối với việc định giá các quyền chọn và các công cụ phái sinh với bài tập châu Âu—i. e. , nơi tập thể dục chỉ có thể vào một ngày nhất định, được xác định trước. Điều này ít đúng hơn một chút đối với các quyền chọn và sản phẩm phái sinh với việc thực hiện quyền chọn kiểu Mỹ, khi việc thực hiện quyền chọn được cho phép tại bất kỳ thời điểm nào trong một khoảng thời gian xác định trước. Chương này giới thiệu và sử dụng thuật toán Monte Carlo Bình phương nhỏ nhất [LSM], thuật toán đã trở thành thuật toán chuẩn khi nói đến định giá quyền chọn kiểu Mỹ dựa trên mô phỏng Monte Carlo
Chương hiện tại có cấu trúc tương tự như Chương 16 ở chỗ trước tiên nó giới thiệu một loại định giá chung, sau đó cung cấp hai loại định giá chuyên biệt, một dành cho hoạt động của Châu Âu và một dành cho hoạt động của Mỹ
Lớp định giá chung chứa các phương pháp để ước tính bằng số những Hy Lạp quan trọng nhất của một lựa chọn. đồng bằng và Vega. Do đó, các lớp định giá rất quan trọng không chỉ cho mục đích định giá mà còn cho mục đích quản lý rủi ro
Mô hình Black-Scholes-Merton là một trong những mô hình định giá quyền chọn sớm nhất được phát triển vào cuối những năm 1960 và được xuất bản vào năm 1973 [1,2]. Khái niệm quan trọng nhất đằng sau mô hình là phòng ngừa rủi ro động của danh mục đầu tư quyền chọn nhằm loại bỏ rủi ro thị trường. Đầu tiên, một danh mục đầu tư trung lập với đồng bằng được xây dựng, sau đó nó được điều chỉnh để duy trì đồng bằng trung lập khi thị trường biến động. Cuối cùng, chúng ta đi đến Phương trình vi phân từng phần cho giá trị của quyền chọn
ở đâu
- V biểu thị giá trị tùy chọn tại thời điểm t,
- S là giá cổ phiếu,
- r là lãi suất phi rủi ro và,
- σ là biến động cổ phiếu
Phương trình này còn được gọi là phương trình khuếch tán và nó có nghiệm dạng đóng cho quyền chọn mua và quyền chọn mua kiểu Châu Âu. Để biết công thức phân tích và dẫn xuất chi tiết, xem Tài liệu tham khảo [3]
Trong bài đăng này, chúng tôi tập trung vào việc triển khai mô hình định giá tùy chọn Black-Scholes-Merton trong Python. Công thức dạng đóng cho lệnh gọi và lệnh đặt kiểu Châu Âu được triển khai trong mã Python. Hình dưới đây cho thấy giá của quyền chọn mua và quyền chọn bán đối với các tham số thị trường sau
- Giá cổ phiếu. $45
- giá đình công. $45
- Thời gian để trưởng thành. 1 năm
- Lãi suất phi rủi ro. 2%
- biến động. 25%
Chúng tôi so sánh các kết quả trên với kết quả thu được bằng cách sử dụng phần mềm của bên thứ ba và nhận thấy rằng chúng rất phù hợp
Trong phần tiếp theo, chúng tôi sẽ định giá các tùy chọn này bằng cách sử dụng mô phỏng Monte Carlo
Người giới thiệu
[1] Đen, Fischer; . Việc định giá các lựa chọn và các khoản nợ của công ty. Tạp chí Kinh tế chính trị. 81 [3]. 637–654
[2] Merton, Robert C. [1973]. Lý thuyết về định giá quyền chọn hợp lý. Bell Tạp chí Khoa học Kinh tế và Quản lý
Danh sách các bảng xi
Danh sách các Hình xiii
Lời nói đầu xvii
Chương 1 Chuyến tham quan nhanh 1
1. 1 Định giá dựa trên thị trường 1
1. 2 Cấu trúc của cuốn sách 2
1. 3 Tại sao lại là Python?
1. 4 Đọc thêm 4
Phần thứ nhất Thị trường
Chương 2 Định giá dựa trên thị trường là gì?
2. 1 Tùy chọn và Giá trị của chúng 9
2. 2 vani vs. Nhạc Cụ Kỳ Lạ 13
2. 3 Rủi ro ảnh hưởng đến chứng khoán phái sinh 14
2. 3. 1 Rủi ro thị trường 14
2. 3. 2 Rủi ro khác 15
2. 4 Bảo hiểm rủi ro 16
2. 5 Quy trình định giá dựa trên thị trường 17
Chương 3 Sự thật cách điệu về thị trường 19
3. 1 Giới thiệu 19
3. 2 Biến động, Tương quan và Đồng. 19
3. 3 Lợi nhuận bình thường làm tiêu chuẩn Trường hợp 21
3. 4 Chỉ số và Cổ phiếu 25
3. 4. 1 Sự Kiện Cách Điệu 25
3. 4. 2 Chỉ số DAX Trả về 26
3. 5 Thị trường quyền chọn 30
3. 5. 1 Chênh lệch giá mua/bán 31
3. 5. 2 Bề mặt Biến động Ngụ ý 31
3. 6 Lãi suất ngắn hạn 33
3. 7 Kết luận 36
3. 8 Tập lệnh Python 37
3. 8. Phân tích 1 GBM 37
3. 8. Phân tích 2 DAX 40
3. 8. 3 Biến động ngụ ý BSM 41
3. 8. 4 EURO STOXX 50 Biến động ngụ ý 43
3. 8. 5 Phân tích Euribor 45
Phần thứ hai Định giá lý thuyết
Chương 4 Định giá trung hòa rủi ro 49
4. 1 Giới thiệu 49
4. 2 Độ bất định của thời gian rời rạc 50
4. 3 Mô hình thị trường rời rạc 54
4. 3. 1 Nguyên thủy 54
4. 3. 2 Định nghĩa Cơ bản 55
4. 4 Kết quả trung tâm trong thời gian rời rạc 57
4. 5 Trường hợp thời gian liên tục 61
4. 6 Kết luận 66
4. 7 Bằng chứng 66
4. 7. 1 Chứng minh bổ đề 1 66
4. 7. 2 Chứng minh Mệnh đề 1 67
4. 7. 3 Chứng minh Định lý 1 68
Chương 5 Các mô hình thị trường hoàn chỉnh 71
5. 1 Giới thiệu 71
5. 2 Black-Scholes-Merton Mẫu 72
5. 2. 1 Mô hình thị trường 72
5. 2. 2 PDE 72 cơ bản
5. 2. 3 Quyền Chọn Châu Âu 74
5. 3 người Hy Lạp trong BSM Model 76
5. 4 Mô hình Cox-Ross-Rubinstein 81
5. 5 Kết luận 84
5. 6 Bằng chứng và Tập lệnh Python 84
5. 6. 1 Bổ đề Itô 84
5. 6. 2 Script cho Định giá quyền chọn BSM 85
5. 6. 3 Script cho BSM Call Greeks 88
5. 6. 4 Tập lệnh Định giá Tùy chọn CRR 92
Chương 6 Định giá quyền chọn dựa trên Fourier 95
6. 1 Giới thiệu 95
6. 2 Vấn đề định giá 96
6. 3 Phép Biến Đổi Fourier 97
6. 4 Định giá quyền chọn dựa trên Fourier 98
6. 4. 1 Lewis [2001] Cách tiếp cận 98
6. 4. 2 Carr-Madan [1999] Cách tiếp cận 101
6. 5 Đánh giá số 103
6. 5. 1 Chuỗi Fourier 103
6. 5. 2 Biến đổi Fourier nhanh 105
6. 6 Ứng dụng 107
6. 6. 1 Black-Scholes-Merton [1973] Mẫu 107
6. 6. 2 Merton [1976] Mẫu 108
6. 6. 3 Mô hình thị trường rời rạc 110
6. 7 Kết luận 114
6. 8 Tập lệnh Python 114
6. 8. 1 Định giá cuộc gọi BSM qua phương pháp tiếp cận Fourier 114
6. 8. 2 Chuỗi Fourier 119
6. 8. 3 Cội rễ của Đoàn kết 120
6. 8. 4 tích chập 121
6. 8. 5 Mô-đun với Thông số 122
6. 8. 6 Giá trị cuộc gọi bằng tích chập 123
6. 8. 7 Định giá quyền chọn theo Convolution 123
6. 8. 8 Định giá quyền chọn theo DFT 124
6. 8. 9 Kiểm tra tốc độ của DFT 125
Chương 7 Định giá Quyền chọn kiểu Mỹ bằng Mô phỏng 127
7. 1 Giới thiệu 127
7. 2 Mô hình tài chính 128
7. 3 Định giá quyền chọn kiểu Mỹ 128
7. 3. 1 Công Thức Bài Toán 128
7. 3. 2 thuật toán định giá 130
7. 4 Kết quả số 132
7. 4. 1 quyền chọn bán kiểu Mỹ 132
7. 4. 2 American Short Condor Spread 135
7. 5 Kết luận 136
7. 6 Tập lệnh Python 137
7. 6. 1 Định giá nhị thức 137
7. 6. 2 Định giá Monte Carlo với LSM 139
7. 6. 3 thuật toán LSM cơ bản và kép 140
Phần thứ ba Định giá dựa trên thị trường
Chương 8 Ví dụ đầu tiên về định giá dựa trên thị trường 147
8. 1 Giới thiệu 147
8. 2 Chợ Mẫu 147
8. 3 Định giá 148
8. 4 Hiệu chuẩn 149
8. 5 Mô phỏng 149
8. 6 Kết luận 155
8. 7 Tập lệnh Python 155
8. 7. 1 Định giá bằng tích phân số 155
8. 7. 2 Định giá bởi FFT 157
8. 7. 3 Hiệu chuẩn đến Ba kỳ hạn 160
8. 7. 4 Hiệu chỉnh đến độ chín ngắn 163
8. 7. 5 Định giá theo MCS 165
Chương 9 Khung mô hình chung 169
9. 1 Giới thiệu 169
9. 2 Khung 169
9. 3 Tính năng của Framework 170
9. 4 Định giá trái phiếu không lãi suất 172
9. 5 Định giá Quyền chọn Châu Âu 173
9. 5. 1 Phương pháp tiếp cận PDE 173
9. 5. 2 Phương pháp biến đổi 175
9. 5. 3 Mô phỏng Monte Carlo 176
9. 6 Kết luận 177
9. 7 Bằng chứng và Tập lệnh Python 177
9. 7. 1 Bổ đề Itô 177
9. 7. 2 Tập lệnh Python để định giá trái phiếu 178
9. 7. 3 Tập lệnh Python để Định giá Cuộc gọi Châu Âu 180
Chương 10 Mô phỏng Monte Carlo 187
10. 1 Giới thiệu 187
10. 2 Định giá trái phiếu không lãi suất 188
10. 3 Định giá Quyền chọn Châu Âu 192
10. 4 Định giá Quyền chọn kiểu Mỹ 196
10. 4. 1 Kết quả số 198
10. 4. 2 Độ chính xác cao hơn so với. Tốc độ thấp hơn 201
10. 5 Kết luận 203
10. 6 Tập lệnh Python 204
10. 6. 1 Định giá trái phiếu không lãi suất chung 204
10. 6. 2 Mô phỏng và Định giá CIR85 205
10. 6. 3 Định giá Tự động Quyền chọn Châu Âu bằng Mô phỏng Monte Carlo 209
10. 6. 4 Định giá tự động quyền chọn bán kiểu Mỹ bằng mô phỏng Monte Carlo 215
Chương 11 Hiệu chuẩn mô hình 223
11. 1 Giới thiệu 223
11. 2 Cân nhắc chung 223
11. 2. 1 Tại sao phải hiệu chuẩn?
11. 2. 2 Các thành phần mô hình khác nhau đóng vai trò gì?
11. 2. 3 Chức năng mục tiêu gì?
11. 2. 4 Dữ liệu thị trường nào?
11. 2. 5 Thuật toán tối ưu hóa gì?
11. 3 Hiệu chỉnh Thành phần Tốc độ Ngắn 230
11. 3. 1 Cơ sở lý thuyết 230
11. 3. 2 Hiệu chuẩn theo Tỷ giá Euribor 231
11. 4 Hiệu chỉnh Thành phần Vốn chủ sở hữu 233
11. 4. 1 Định giá qua Phương pháp biến đổi Fourier 235
11. 4. 2 Hiệu chuẩn theo EURO STOXX 50 Báo giá tùy chọn 236
11. 4. 3 Hiệu chuẩn H93 Model 236
11. 4. 4 Hiệu chỉnh Bộ phận Nhảy 237
11. 4. 5 Hiệu chuẩn hoàn chỉnh BCC97 Model 239
11. 4. 6 Hiệu chuẩn cho Biến động ngụ ý 240
11. 5 Kết luận 243
11. 6 Tập lệnh Python cho Cox-Ingersoll-Ross Model 243
11. 6. 1 Hiệu chuẩn CIR85 243
11. 6. 2 Hiệu chỉnh Mô hình Biến động Ngẫu nhiên H93 248
11. 6. 3 So sánh các biến động ngụ ý 251
11. 6. 4 Hiệu chỉnh Phần khuếch tán nhảy của BCC97 252
11. 6. 5 Hiệu chuẩn Mẫu hoàn chỉnh của BCC97 256
11. 6. 6 Hiệu chỉnh Mô hình BCC97 theo Độ biến động ngụ ý 258
Chương 12 Mô phỏng và Định giá trong Khung mô hình chung 263
12. 1 Giới thiệu 263
12. 2 Mô phỏng BCC97 Model 263
12. 3 Định giá Quyền chọn Vốn chủ sở hữu 266
12. 3. 1 Quyền Chọn Châu Âu 266
12. 3. 2 Tùy chọn kiểu Mỹ 268
12. 4 Kết luận 268
12. 5 Tập lệnh Python 269
12. 5. 1 Mô phỏng BCC97 Model 269
12. 5. 2 Định giá Quyền chọn Mua Châu Âu theo MCS 274
12. 5. 3 Định giá quyền chọn mua kiểu Mỹ theo MCS 275
Chương 13 Dynamic Hedging 279
13. 1 Giới thiệu 279
13. 2 Nghiên cứu bảo hiểm rủi ro cho Mô hình BSM 280
13. 3 Nghiên cứu bảo hiểm rủi ro cho mô hình BCC97 285
13. 4 Kết luận 289
13. 5 Tập lệnh Python 289
13. 5. 1 LSM Delta Hedging trong BSM [Single Path] 289
13. 5. 2 LSM Delta Hedging trong BSM [Nhiều đường dẫn] 293
13. 5. 3 Thuật toán LSM cho Quyền chọn bán kiểu Mỹ BCC97 295
13. 5. 4 LSM Delta Hedging trong BCC97 [Single Path] 300
Chương 14 Tóm tắt điều hành 303
Phụ lục A Python in a Nutshell 305
A. 1 Nguyên tắc cơ bản về Python 305
A. 1. 1 Cài đặt Gói Python 305
A. 1. 2 bước đầu tiên với Python 306
A. 1. 3 Phép toán mảng 310
A. 1. 4 số ngẫu nhiên 313
A. 1. 5 Âm mưu 314
A. 2 Định giá Quyền chọn Châu Âu 316
A. 2. 1 Phương pháp Black-Scholes-Merton 316
A. 2. 2 Phương pháp Cox-Ross-Rubinstein 318
A. 2. 3 Cách tiếp cận Monte Carlo 323
A. 3 Chuyên Đề Tài Chính Chọn Lọc 325
A. 3. 1 Xấp xỉ 325
A. 3. 2 Tối ưu hóa 328
A. 3. 3 Tích phân số 329
A. 4 Chủ đề Python nâng cao 330
A. 4. 1 Lớp và Đối tượng 330
A. 4. 2 Các thao tác vào-ra cơ bản 332
A. 4. 3 Tương tác với Bảng tính 334
A. 5 Kỹ thuật tài chính nhanh 336
Thư mục 341
Chỉ số 347