Cách tìm vecto chỉ phương của đường thẳng
A. Phương pháp giải
+ Cho đường thẳng d, một vectouđược gọi là VTCP của đường thẳng d nếuucó giá song song hoặc trùng với đường thẳng d.
+ Nếu vectou[ a; b] là VTCP của đường thẳng d thì vecto k.u[ với k 0] cũng là VTCP của đường thẳng d.
+ Nếu đường thẳng d có VTPTn[ a; b] thì đường thẳng d nhận vecton[ b; -a] vàn'[ - b;a] làm VTPT.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1.Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương làu= [3; -4]. Đường thẳng song song với d có một vectơ pháp tuyến là:
A.n1= [4; 3] B.n2= [- 4; 3] C.n3= [3; 4] D.n4= [3; - 4]
Lời giải
Khi hai đường thẳng song song với nhau thì VTCP [ VTPT] của đường thẳng này cũng là VTCP [VTPT] của đường thẳng kia nên:
Chọn A
Ví dụ 2:Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm A[-3; 2] và B[ 1; 4] ?
A.u1= [-1; 2] B.u2= [2; 1] C.u3= [- 2; 6] D.u4= [1; 1]
Lời giải
+ Đường thẳng AB đi qua hai điểm A và B nên đường thẳng này nhận vectoAB[ 4; 2] làm vecto chỉ phương .
+ Lại có vectoABvàu[ 2;1] là hai vecto cùng phương nên đường thẳng AB nhận vectou[ 2;1] là VTCP.
Chọn B.
Ví dụ 3:Vectơ chỉ phương của đường thẳng= 1 là:
A.u4= [-2; 3] B.u2= [3; -2] C.u3= [3; 2] D.u1= [2; 3]
Hướng dẫn giải:
Ta đưa phương trình đường thẳng đã cho về dạng tổng quát:
= 1 2x + 3y - 6 = 0 nên đường thẳng có VTPT làn= [2; 3]
Suy ra VTCP làu= [3; - 2] .
Chọn B.
Ví dụ 4:Vectơ chỉ phương của đường thẳng d: 2x - 5y - 100 = 0 là :
A.u= [2; -5] B.u= [2; 5] C.u= [5; 2] D.u=[ -5; 2]
Lời giải
Đường thẳng d có VTPT làn[ 2 ;- 5] .
đường thẳng có VTCP làu[ 5 ; 2].
Chọn C.
Ví dụ 5 :Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua hai điểm A[2 ; 3] và B[ 4 ;1]
A.n= [2; -2] B.n= [2; -1] C.n= [1; 1] D.n= [1; -2]
Lời giải
Đường thẳng AB nhận vectoAB[ 2; -2] làm VTCP nên đường thẳng d nhận vecto
n[ 1; 1] làm VTPT.
Chọn C.
Ví dụ 6.Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng song song với trục Ox
A.u1= [1; 0]. B.u2= [0; -1] C.u3= [1; 1] D.u4= [1; - 1]
Lời giải
Trục Ox có phương trình là y= 0; đường thẳng này có VTPTn[ 0;1]
đường thẳng này nhận vectou[ 1; 0] làm VTCP.
một đường thẳng song song với Ox cũng có VTCP làu1=[1; 0].
Chọn A.
Ví dụ 7:Cho đường thẳng d đi qua A[ 1; 2] và điểm B[2; m] . Tìm m để đường thẳng d nhậnu[ 1; 3] làm VTCP?
A.m = - 2 B.m = -1 C.m = 5 D.m = 2
Lời giải
Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B nên đường thẳng d nhận vectoAB[ 1; m - 2] làm VTCP.
Lại có vectou[ 1; 2] làm VTCP của đường thẳng d. Suy ra hai vectouvàABcùng phương nên tồn tại số k sao cho:u= kAB
Vậy m= 5 là giá trị cần tìm .
Chọn C.
Ví dụ 8:Cho đường thẳng d đi qua A[- 2; 3] và điểm B[2; m + 1] . Tìm m để đường thẳng d nhậnu[ 2; 4] làm VTCP?
A.m = - 2 B.m = -8 C.m = 5 D.m = 10
Lời giải
Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B nên đường thẳng d nhận vectoAB[ 4; m - 2] làm VTCP.
Lại có vectou[2; 4] làm VTCP của đường thẳng d. Suy ra hai vectouvàabcùng phương nên tồn tại số k sao cho:u= kAB
Vậy m = 10 là giá trị cần tìm .
Chọn D.
Ví dụ 9.Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm A[ a; 0] và B[ 0; b]
A.u[ -a; b] B.u[ a; b] C.u[ a + b; 0] D.u[ - a; - b]
Lời giải
Đường thẳng AB đi qua điểm A và B nên đường thẳng này nhậnAB[-a;b] làm vecto chỉ phương.
Chọn A.
Ví dụ 10 .Đường thẳng d có một vectơ pháp tuyến làu= [-2; -5] . Đường thẳng vuông góc với d có một vectơ chỉ phương là:
A.u1= [5; -2] B.u2= [-5; 2] C.u3= [2; 5] D.u4= [2; -5]
Lời giải
Khi hai đường thẳng vuông góc với nhau thì VTCP của đường thẳng này là VTPT của đường thẳng kia nên :
Lại có hai vectou[ -2; -5] vàu[ 2;5] cùng phương nên đường thẳng nhận vectou[ 2; 5] làm VTCP.
Chọn C.
Ví dụ 11:Vectơ chỉ phương của đường thẳng dlà:
A.u1= [2; -3] B.u2= [3; -1] C.u3= [3; 1] D.u4= [3; -3]
Lời giải
Một VTCP của đường thẳng d làu[ 3; -1]
Chọn B