- LG a
- LG b
- LG c
Câu 2.Trong không gian tọa độ Oxyz cho các điểm A[2; 0; 0], A[6; 0; 0], B[0; 3; 0], B[0 ;4; 0], C[0; 0; 4], C[0; 0; 3].
LG a
Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A, A, B, C. Chứng minh rằng B và C cũng nằm trên mặt cầu đó.
Lời giải chi tiết:
Gọi phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A, A, B, C là\[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\]
\[\left[ {{a^2} + {b^2} + {c^2} > 0,{a^2} + {b^2} + {c^2} > d} \right]\]
Khi đó tọa độ các điểm A, A, B, C phải thỏa mãn phương trình mặt cầu nên ta có hệ:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4 - 4a + d = 0}\\{36 - 12a + d = 0}\\{9 - 6b + d = 0}\\{16 - 8c + d = 0}\end{array}} \right.}\\{ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = \dfrac{7}{2}\\c = \dfrac{7}{2}\\d = 12\end{array} \right.\left[ {tm} \right]}\end{array}\]
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:\[\left[ S \right]:{x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x - 7y - 7z + 12 = 0\,\,\left[ * \right].\]
Thay tọa độ của điểm B vào [*] ta có: \[16 - 7.4 + 12 = 0 \Rightarrow B' \in \left[ S \right]\]
Thay tọa độ của điểm C vào [*] ta có: \[9 - 7.3 + 12 = 0 \Rightarrow C' \in \left[ S \right].\]
LG b
Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác ABC, trọng tâm G của tam giác ABC cùng nằm trên một đường thẳng đi qua O. Viết phương trình đường thẳng đó.
Lời giải chi tiết:
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC ta có: \[G\left[ {2,{4 \over 3},1} \right].\]
\[ \Rightarrow \overrightarrow {OG} = \left[ {2,{4 \over 3},1} \right] = {1 \over 3}\left[ {6,4,3} \right].\]
Đường thẳng d đi qua O, G nhận \[\overrightarrow u = \left[ {6;4;3} \right]\] là 1 vectơ chỉ phương.
Phương trình tham số của d là
\[\left\{ \matrix{
x = 6t \hfill \cr
y = 4t \hfill \cr
z = 3t \hfill \cr} \right.\]
Gọi H[x, y, z] là trực tâm của tam giác ABC ta có:
\[\left\{ \matrix{
\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0 \hfill \cr
\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\left[ {x - 2,y,z} \right].\left[ {0, - 3,4} \right] = 0 \hfill \cr
\left[ {x,y - 3,z} \right].\left[ { - 2,0,4} \right] = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
- 3y + 4z = 0 \hfill \cr
- 2x + 4z = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow 2x = 3y = 4z.\]
Đặt \[2x = 3y = 4z = 12a \Rightarrow x = 6a,y = 4a,z = 3a \Rightarrow H\left[ {6a,4a,3a} \right]\]
Rõ ràng khi t = a thì \[H \in \left[ d \right] \Rightarrow \]O, H, G cùng nằm trên đường thẳng có phương trình
\[\left\{ \matrix{
x = 6t \hfill \cr
y = 4t \hfill \cr
z = 3t \hfill \cr} \right.\]
LG c
Tính khoảng cách từ điểm O tới giao tuyến của mp[ABC] và mp[ABC].
Lời giải chi tiết:
Ta có :
\[\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left[ { - 2;3;0} \right],\overrightarrow {AC} = \left[ { - 2;0;3} \right]\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left[ {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&0\\0&3\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 2}\\3&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&3\\{ - 2}&0\end{array}} \right|} \right]\\ = \left[ {9;6;6} \right] = 3\left[ {3;2;2} \right]\end{array}\]
Mặt phẳng \[\left[ {ABC'} \right]\] đi qua A và nhận \[\overrightarrow n \left[ {3;2;2} \right]\] làm vectơ pháp tuyến nên [ABC] có phương trình
\[\begin{array}{l}2\left[ {x - 6} \right] + 3\left[ {y - 0} \right] + 3\left[ {z - 0} \right] = 0\\ \Leftrightarrow 2x + 3y + 3z - 12 = 0\end{array}\]
Giao tuyến của hai mặt phẳng [ABC] và [ABC] ;à tập hợp tất cả các điểm thỏa mãn hệ phương trình:
\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y + 2z - 6 = 0\\2x + 3y + 3z - 12 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \dfrac{6}{5}\\y = t\\z = \dfrac{{24}}{5} - t\end{array} \right.\end{array}\]
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng [ABC] và [ABC] có phương trình \[\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = - \dfrac{6}{5}\\y = t\\x = \dfrac{{24}}{5} - t\end{array} \right.\]
\[\Delta \] đi qua điểm \[M\left[ { - \dfrac{6}{5};0;\dfrac{{24}}{5}} \right]\] và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left[ {0;1; - 1} \right]\].
\[\begin{array}{l}d\left[ {O;\Delta } \right] = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|}}\\ = \dfrac{{\sqrt {{{\left[ { - \dfrac{{24}}{5}} \right]}^2} + {{\left[ { - \dfrac{6}{5}} \right]}^2} + {{\left[ { - \dfrac{6}{5}} \right]}^2}} }}{{\sqrt {{0^2} + {1^2} + {{\left[ { - 1} \right]}^2}} }} = \dfrac{{18}}{5}\end{array}\]