Chứng minh các dấu hiệu nhận biết của hình vuông
|
Bạn có bài tập chứng minh tứ giác là hình vuông nhưng bạn không biết cách chứng minh như thế nào? Bởi bạn không nhớ được dấu hiệu nhận biết và tính chất hình vuông. Sau đây, điện máy Ebest sẽ chia sẻ lý thuyết định nghĩa hình vuông là gì? Dấu hiệu nhận biết, tính chất hình vuông và cách chứng minh hình vuông chi tiết trong bài viết dưới đây để các bạn cùng tham khảo Hình vuông là hình tứ giác đều có 4 cạnh bằng nhau và 4 góc bằng nhau (4 góc vuông). Có thể coi hình vuông là hình chữ nhật có các cạnh bằng nhau hoặc là hình thoi có 2 đường chéo bằng nhau.  Tính chất hình vuôngTrong một hình vuông có:
Dấu hiệu nhận biết hình vuôngMột hình tứ giác là một hình vuông nếu như và chỉ nếu như nó là một trong những hình sau:
Tham khảo thêm: Bài tập chứng minh hình vuôngVí dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Phân giác trong AD của góc A (D ∈ BC ). Vẽ DF ⊥ AC, DE ⊥ AB. Chứng minh tứ giác AEDF là hình vuông. Lời giải + Xét tứ giác AEDF có A∧ = E∧ = F∧ = 900 ⇒ AEDF là hình chữ nhật . (1) Theo giả thiết ta có AD là đường phân giác của góc Aˆ ⇒ EAD∧ = DAF∧ = 450. + Xét Δ AED có AED∧ = 900; DAE∧ = 450 ⇒ EDA∧ = 450 ⇒ Δ AED vuông cân tại E nên AE = ED (2) Từ ( 1 ),( 2 ) ⇒ AEDF là hình vuông Ví dụ 2: Tìm các hình vuông trên hình 105. Lời giải – ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường ⇒ ABCD là hình bình hành Hình bình hành ABCD có hai đường chéo bằng nhau ⇒ ABCD là hình chữ nhật Hình chữ nhật ABCD có AB = BC ⇒ ABCD là hình vuông – MNPQ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường ⇒ MNPQ là hình bình hành Hình bình hành MNPQ có hai đường chéo bằng nhau ⇒ MNPQ là hình chữ nhật Hình chữ nhật MNPQ có MP ⊥ NQ tại O ⇒ MNPQ là hình vuông – RSTU có 4 cạnh bằng nhau ⇒ RSTU là hình thoi Hình thoi RSTU có một góc vuông ⇒ RSTU là hình vuông Ví dụ 3: Cho hình 107, trong đó ABCD là hình vuông. Chứng minh rằng tứ giác EFGH là hình vuông. Lời giải: Do ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA. Theo giả thiết ta có: AE = BF = CG = DH nên ta có: AB – AE = BC – BF = CD – CG = DA – DH ⇔ BE = CF= DG = HA Xét các tam giác vuông AEH, BFE, CGF, DHG có: AE= BF = CG = DH (giả thiết) HA= BE = CF = DG (chứng minh trên) ⇒ ΔAEH = ΔBFE = ΔCGF = ΔDHG ( c.g.c) Suy ra: HE = EF = FG = GH (các cạnh tương ứng) Tứ giác EFGH là hình thoi có 1 góc bằng 90o nên EFGH là hình vuông Ví dụ 4: Cho hình vuông ABCD. Gọi I,K lần lượt là trung điểm của AD và DC. a) Chứng minh rằng BI ⊥ AK. b) Gọi E là giao điểm của BI và AK. Chứng minh rằng CE = AB. Lời giải Xét Δ BAI và Δ ADK có: ⇒ Δ BAI = Δ ADK (c – g – c) ⇒ ABIˆ = DAKˆ (góc tương ứng bằng nhau) Mà IAEˆ + EABˆ = 900 ⇒ ABIˆ + EABˆ = 900 + Xét Δ ABE có EABˆ + ABEˆ + AEBˆ = 1800 ⇒ AEBˆ = 1800 – (ABEˆ + BAEˆ) = 1800 – 900 = 900 hay AK ⊥ BI (đpcm) + Xét tứ giác EBCK có KEBˆ + EBCˆ + BCKˆ+ CKEˆ = 3600 ⇒ EBCˆ + EKCˆ = 1800. Mà AKDˆ + AKCˆ = 1800 nên EBCˆ = EKDˆ + Tứ giác EBCK nội tiếp nên BECˆ = BKCˆ Mà BKCˆ = AKDˆ nên EBCˆ = BECˆ hay tam giác BEC cân tại C ⇒ CE = BC = AB (đpcm) Ví dụ 5: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD. Gọi E, F theo thứ tự là trung diểm của AB, CD. Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF và CE. a) Tứ giác ADFE là hình gì? Vì sao? b) Tứ giác EMFN là hình gì? Vì sao? a) E, F là trung điểm AB, CD ⇒ AE = EB = AB/2, DF = FC = CD/2. Ta có: AB = CD = 2AD = 2BC ⇒ AE = EB = BC = CF = FD = DA. + Tứ giác ADFE có AE // DF, AE = DF ⇒ ADFE là hình bình hành. Hình bình hành ADFE có Â = 90º ⇒ ADFE là hình chữ nhật. Hình chữ nhật ADFE là hình chữ nhật có AE= AD ⇒ ADFE là hình vuông. b) Tứ giác DEBF có EB // DF, EB = DF nên là hình bình hành Do đó DE // BF Tương tự: AF // EC Suy ra EMFN là hình bình hành Theo câu a, ADFE là hình vuông nên ME = MF, ME ⊥ MF. Hình bình hành EMFN có M̂ = 90º nên là hình chữ nhật. Lại có ME = MF nên EMFN là hình vuông. Bên trên chính là toàn bộ lý thuyết về định nghĩa, dấu hiệu nhận biết và tính chất hình vuông có thể giúp các bạn vận dụng vào làm bài tập đơn giản nhé Bài viết này cần thêm chú thích nguồn gốc để kiểm chứng thông tin. Trong hình học Euclid, hình vuông là hình tứ giác đều, tức có 4 cạnh bằng nhau và 4 góc bằng nhau (4 góc vuông). Có thể coi hình vuông là hình chữ nhật có các cạnh bằng nhau, hoặc là hình thoi có 2 đường chéo bằng nhau.
Tọa độ Descartes của các đỉnh của một hình vuông có tâm ở gốc hệ tọa độ và mỗi cạnh dài 2 đơn vị, song song với các trục tọa độ là (±1, ±1). Phần trong của hình vuông đó bao gồm tất cả các điểm (x0, x1) với -1 < xi < 1. Một hình vuông có bốn đỉnh A, B, C, D được kí hiệu là
◻
A
B
C
D
{\displaystyle \Box ABCD}
( 24 + 6 ) ÷ 3 = 15 ( m ) Chiều dài của mảnh vườn hình chữ nhật là: 24 − 15 = 9 ( m ) Diện tích của mảnh vườn hình Đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của hình vuông
Một hình tứ giác là một hình vuông nếu như và chỉ nếu như nó là một trong những hình sau:
Diện tích hình vuông bằng bình phương độ dài của cạnh: S = a 2 {\displaystyle S=a^{2}\,}Hình vuông là hình có diện tích lớn nhất so với các hình chữ nhật khác có cùng chu vi. Chu vi hình vuông bằng tổng độ dài 4 cạnh của nó, hay bằng 4 lần độ dài một cạnh: P = 4 a {\displaystyle P=4a}Hình vuông là hình có chu vi nhỏ nhất so với các hình chữ nhật khác có cùng diện tích. Trong hình học phi Euclid, hình vuông nói chung là hình có 4 cạnh bằng nhau và 4 góc bằng nhau. Trong hình học Hyperbolic, không tồn tại hình vuông có góc vuông. Mặt khác, hình vuông trong bộ môn hình học này lại có các góc nhọn (bé hơn 90°). Hình vuông có diện tích càng lớn thì các góc của nó càng nhỏ. Từ vuông trong tiếng Việt bắt nguồn từ từ tiếng Hán thượng cổ 方 (có nghĩa là vuông, hình vuông).[1] William H. Baxter và Laurent Sagart phục nguyên âm tiếng Hán thượng cổ của từ 方 là /*C-paŋ/.[2] Chữ Hán 方 có âm Hán Việt là phương.[3]
|
