Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y= x^8

Đáp án A.

Ta có: \( {y}’=8{{x}^{7}}+5\left( m-3 \right){{x}^{4}}-4\left( {{m}^{2}}-9 \right){{x}^{3}} \)

\( {y}’=0\Leftrightarrow {{x}^{3}}\left[ 8{{x}^{4}}+5\left( m-3 \right)x-4\left( {{m}^{2}}-9 \right) \right]=0 \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=0 \\ & g(x)=8{{x}^{4}}+5\left( m-3 \right)x-4\left( {{m}^{2}}-9 \right)=0 \\ \end{align} \right. \)

Xét hàm số \( g(x)=8{{x}^{4}}+5\left( m-3 \right)x-4\left( {{m}^{2}}-9 \right) \) có \( {g}'(x)=32{{x}^{3}}+5\left( m-3 \right) \)

Ta thấy \( {g}'(x)=0 \) có một nghiệm nên \( g(x)=0 \) có tối đa hai nghiệm

+ Trường hợp 1: Nếu g(x) = 0 có nghiệm x = 0 \( \Rightarrow m=3 \) hoặc \( m=-3 \)

Với m = 3 thì x = 0 là nghiệm bội 4 của g(x). Khi đó x = 0 là nghiệm bội 7 của y’ và y’ đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm x = 0 nên x = 0 là điểm cực tiểu của hàm số.

Vậy m = 3 thỏa yêu cầu bài toán.

Với \( m=-3 \) thì \( g(x)=8{{x}^{4}}-30x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=0 \\ & x=\sqrt[3]{\frac{15}{4}} \\ \end{align} \right. \)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên x = 0 không là điểm cực tiểu của hàm số. Vậy m=-3 không thỏa yêu cầu bài toán.

+ Trường hợp 2: \( g(0)\ne 0\Leftrightarrow m\ne \pm 3 \). Để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0

\( \Leftrightarrow g(0)>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-9<0\Leftrightarrow -3

Do \( m\in \mathbb{Z} \) nên \( m\in \left\{ -2;-1;0;1;2 \right\} \).

Vậy cả hai trường hợp ta được 6 giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu bài toán.