DẠNG TOÁN 42 TÌM SỐ PHỨC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Có bao nhiêu số phức \[z\] có phần thực và phần ảo là số nguyên thỏa mãn \[\left| {2z + \overline z – 2i} \right| \le \left| {z + 2i} \right|\] và \[z + 2\overline z + 4i\] có phần ảo không âm?
A.\[25\].
B. \[12\].
C. \[13\].
D. \[15\].
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Đặt \[z = x + yi\] với \[x,y \in \mathbb{R}\]. Ta có
+ \[\left| {2z + \overline z – 2i} \right| \le \left| {z + 2i} \right| \Leftrightarrow \left| {2\left[ {x + yi} \right] + \left[ {x – yi} \right] – 2i} \right| \le \left| {\left[ {x + yi} \right] + 2i} \right|\]
\[ \Leftrightarrow \left| {3x + \left[ {y – 2} \right]i} \right| \le \left| {x + \left[ {y + 2} \right]i} \right| \Leftrightarrow \sqrt {9{x^2} + {{\left[ {y – 2} \right]}^2}} \le \sqrt {{x^2} + {{\left[ {y + 2} \right]}^2}} \]
\[ \Leftrightarrow 9{x^2} + {y^2} – 4y + 4 \le {x^2} + {y^2} + 4y + 4 \Leftrightarrow y \ge {x^2}\] \[\left[ 1 \right]\].
+ \[z + 2\overline z + 4i = \left[ {x + yi} \right] + 2\left[ {x – yi} \right] + 4i = 3x + \left[ {4 – y} \right]i\].
\[z + 2\overline z + 4i\] có phần ảo không âm khi và chỉ khi \[4 – y \ge 0 \Leftrightarrow y \le 4\] \[\left[ 2 \right]\].
Cách 1:
Từ \[\left[ 1 \right]\] và \[\left[ 2 \right]\] suy ra \[0 \le {x^2} \le y \le 4 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 2 \le x \le 2\\{x^2} \le y \le 4\end{array} \right.\]
Với \[x \in \left\{ { – 2\,;\,2} \right\}\] ta có \[y = 4\]\[ \Rightarrow \] có 2 số phức thỏa.
Với mỗi \[x \in \left\{ { – 1\,;\,1} \right\}\] ta có \[y \in \left\{ {1\,;\,2\,;\,3\,;\,4} \right\}\]\[ \Rightarrow \] có 8 số phức thỏa.
Với \[x = 0\] ta có \[y \in \left\{ {0\,;\,1\,;\,2\,;\,3\,;\,4} \right\}\]\[ \Rightarrow \] có 5 điểm số phức thỏa.
Vậy có 15 số phức thỏa yêu cầu bài toán.
Cách 2:
Gọi \[M\left[ {x;y} \right]\] là điểm biểu diễn của \[z\]
Theo hình vẽ ta thấy, có 15 điểm \[M\]có tọa độ nguyên.
Vậy có 15 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn A.
Gọi z = a + bi.
Ta có
Yêu cầu của bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi
Vậy có 4 số phức thỏa mãn điều kiện bài toán.
...Xem thêmTìm điểm $M$ biểu diễn số phức \[z = i - 2\]
Cho số phức $z = 2 + 5i$. Tìm số phức \[w = iz + \overline z \].
Số phức $z$ thỏa mãn $\left| z \right| + z = 0$. Khi đó:
Tập điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn ${\left| z \right|^2} = {z^2}$ là:
Xét các số phức z thỏa mãn \[ \left[ { \overline z + 2i} \right] \left[ {z - 2} \right] \] là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn có bán kính bằng
A.
B.
C.
D.
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \[|z+2-i|=2\sqrt{2}\] và \[{{[z-1]}^{2}}\] là số thuần ảo?
VietJack
Bằng cách đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách Bảo mật của chúng tôi.