Bài 1.Tìm:
a]ƯCLN[8, 9]; b]ƯCLN[60, 180]; c]ƯCLN[30, 45]; d]ƯCLN[120,144]
Bài 2.Tìm ƯCLN của:
a]24,84,180. b]16,80,176. c]8, 12, 15. d] 24, 16, 8
Bài 3.Rút gọn phân số sau để được phân số tối giản[ có sử dụng ước chung lớn nhất]:
a] 2428. b] 1636. c] 78102d] 6390
Nếu có số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên b thì ta nói b là ước số của a.
Ví dụ: 18 ÷ 6 thì 6 được xem là ước số của 18.
1.2. Cách tìm ước số
Ta kí hiệu tập hơp các ước của a là Ư [a].
Ví dụ: Tìm tập hợp Ư [8].
Lần lượt chia 8 cho 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ta thấy 8 chỉ chia hết cho 1, 2, 4, 8. Do đó:
Ư [8] = {1, 2, 4, 8}
Ta có thể tìm các ước của a [a > 1] bằng cách lần lượt chia a cho các số tự nhiên từ 1 đến a để xem xét a chia hết cho những số nào, khi đó các số ấy là ước của a.
2. Ước chung là gì ? Cách tìm ước chung
Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.
Ví dụ: Viết tập hợp các ước chung của 4 và các tập hợp ước của 6, ta có:
Ư[4] = { 1 ; 2 ; 4 }
Ư[6] = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 }
Các số 1 và 2 vừa là ước của 4, vừa là ước của 6. Ta nói chúng là các ước chung của 4 và 6.
Ta kí hiệu tập hợp các ước chung của 4 và 6 là ƯC [4, 6]. Ta có:
ƯC [4, 6] = {1 ; 2}
x € ƯC [a, b] nếu a ÷ x và b ÷ x
Tương tự ta cũng có:
x € ƯC [a, b, c] nếu a ÷ x, b ÷ x và c ÷ c
3. Ước chung lớn nhất
3.1. Khái niệm ước chung lớn nhất
Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.
Kí hiệu ước chung lớn nhất của các số a, b, c là ƯCLN [a, b, c].
3.2. Cách tìm ước chung lớn nhất
Muốn tìm ƯCLN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước sau:
Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.
Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là ƯCLN phải tìm.
Ví dụ: Tìm ƯCLN của 12; 20; 30
Ta có: 12 = 2² ×3
20 = 2² × 5
30 = 2 × 3 × 5
Suy ra ƯCLN[12; 20; 30] = 2
Lưu ý:
a] Nếu các số đã cho không có thừa số nào chung thì ƯCLN của chúng bằng 1.
Hai hay nhiều số có ƯCLN bằng 1 được gọi là những số nguyên tố cùng nhau.
b] Trong các số đã cho, nếu có số nhỏ nhất là ước của số còn lại thì ƯCLN của các số đã cho chính là số nhỏ nhất ấy.
3.3. Cách tìm ước chung
Muốn tìm ước chung của các số đã cho ta có thể tìm các ước của ƯCLN của các số đó.
Như vậy, tập hợp các ước chung của các số đã cho là tập hợp các ước của ƯCLN của các số đó.
Ví dụ: Tìm các ước chung của 144 và 192
Ta có:
Suy ra ƯC[144, 192] = Ư[48] = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 24; 48}
4. Bài tập ứng dụng
Câu 1: Tìm các ước của 4, của 6, của 9, của 13 và của 1.
Đáp án:
Ư[4] = {1; 2; 4}
Ư[6] = {1; 2; 3; 6}
Ư[9] = {1; 3; 9}
Ư[13] = {1;13}
Ư[1] = {1}
Câu 2: Tìm ƯCLN của:
a] 56 và 140
b] 24, 84, 180
c] 60 và 180
d] 15 và 19
Lời giải:
a] Phân tích ra thừa số nguyên tố:
56 = 2³ × 7
140 = 2² × 5 × 7
Các thừa số nguyên tố chung là 2; 7.
⇒ ƯCLN [56, 140] = 2² × 7 = 28
b] 84 = 2² × 3 × 7
24 = 2³ × 3
180 = 2² × 3² × 5
⇒ ƯCLN [24; 84; 180] = 2²× 3 = 12.
c] 60 = 2² × 3 × 5
180 = 2² × 3² × 5
⇒ ƯCLN [60, 180] = 2² × 3 × 5 = 60
Câu 3: Lan có một tấm bìa hình chữ nhật kích thước 75cm và 105cm. Lan muốn cắt tấm bia thành các mảnh nhỏ hình vuông bằng nhau sao cho tấm bìa được cắt hết, không còn thừa mảnh nào. Tính độ dài lớn nhất của cạnh hình vuông [số đo cạnh của hình vuông nhỏ là một số tự nhiên với đơn vị xentimét].
Hướng dẫn:
Để tấm bìa được cắt không còn thừa mảnh nào thì cạnh hình vuông phải là ước của chiều rộng và chiều dài tấm bìa.
Chiều rộng bằng 75cm, chiều dài bằng 105cm.
Do đó cạnh hình vuông phải là một trong các ƯC[75; 105].
Độ dài lớn nhất của cạnh hình vuông là ƯCLN[75; 105].
Ta có : 75 = 3 × 5²
105 = 3.5.7
⇒ ƯCLN[75; 105] = 3 × 5 = 15
Vậy cạnh hình vuông lớn nhất là 15cm.
Hy vọng bài viết sẽ giúp ích cho các em học sinh nắm rõ về khái niệm của ước là gì và biết cách tìm ước chung, ước chung lớn nhất để ứng dụng vào giải bài tập thực tế.
Bài 2.33 trang 39 sách bài tập Toán lớp 6 Tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống: Hãy tìm tập hợp Ư[105], Ư[140] và ƯC[105, 140].
cố định
Lời giải:
+] Phân tích 105 ra thừa số nguyên tố: 105 = 3. 5. 7
Vì 105 chia hết cho các số: 1; 3; 5; 7; 15; 21; 35; 105
Do đó: Ư[105] = {1; 3; 5; 7; 15; 21; 35; 105}
+] Phân tích 140 ra thừa số nguyên tố: 105 = . 5. 7
Vì 140 chia hết cho các số: 1; 2; 4; 5; 7; 10; 14; 20; 28; 35; 70; 140
Do đó: Ư[140] = {1; 2; 4; 5; 7; 10; 14; 20; 28; 35; 70; 140}.
Khi đó ƯC[105, 140] = {1; 5; 7; 35}.
cố định
Bài 2.34 trang 39 sách bài tập Toán lớp 6 Tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống:
Tìm ƯCLN của:
a] 35 và 105;
b] 15; 180 và 165.
cố định
Lời giải:
a] Vì 105 35 nên ƯCLN[35, 105] = 35.
Vậy ƯCLN[35, 105] = 35.
b] Vì 180 15; 165 15 nên ƯCLN[15, 180, 165] = 15.
Vậy ƯCLN[15, 180, 165] = 15.
cố định
Bài 2.35 trang 39 sách bài tập Toán lớp 6 Tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống:
Hãy tìm ước chung lớn nhất rồi tìm ước chung của các số sau:
a] 72 và 90;
b] 200; 245 và 125.
cố định
Lời giải:
a]
Phân tích các số 72 và 90 ra thừa số nguyên tố:
72 = 23.32; 90 = 2.32.5;
+] Ta chọn ra các thừa số nguyên tố chung là: 2 và 3.
+] Số mũ nhỏ nhất của 2 là 1, số mũ nhỏ nhất của 3 là 2. Khi đó:
ƯCLN[72; 90] = 2. 32 = 18. Ta được ƯC[72; 90] = Ư[18] = {1; 2; 3; 6; 9; 18}
Vậy ƯCLN[72; 90] = 18 và ƯC[72; 90] = {1; 2; 3; 6; 9; 18}.
b] Phân tích các số 200; 245 và 125 ra thừa số nguyên tố:
;200 = 23.52 245 = 5.72 125 = 53
+] Ta chọn ra thừa số nguyên tố chung là: 5.
+] Số mũ nhỏ nhất của 5 là 1
ƯCLN[200; 245; 125] = 5. Ta được ƯC[200; 245; 125] = Ư[5] = {1; 5}
Vậy ƯCLN[200; 245; 125] = 5 và ƯC[200; 245; 125] = {1; 5}.
cố định
Bài 2.36 trang 39 sách bài tập Toán lớp 6 Tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống:
Điền các từ thích hợp vào chỗ chấm:
a] Nếu a ⁝ 7 và b ⁝ 7 thì 7 là……. của a và b.
b] Nếu 9 là số lớn nhất sao cho a ⁝ 9 và b ⁝ 9 thì 9 là …….. của a và b.
cố định
Lời giải:
a] Nếu a ⁝ 7 và b ⁝ 7 thì 7 là ước chung của a và b.
b] Nếu 9 là số lớn nhất sao cho a ⁝ 9 và b ⁝ 9 thì 9 là ước chung lớn nhất của a và b.
cố định
Bài 2.37 trang 40 sách bài tập Toán lớp 6 Tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống: Tuấn và Hà mỗi người mua một số hộp bút chì màu, trong đó mỗi hộp đều có từ hai chiếc bút trở lên và số bút trong mỗi hộp là như nhau. Tính ra Tuấn mua 25 bút, Hà mua 20 bút. Hỏi mỗi hộp bút chì màu có bao nhiêu chiếc?
cố định
Lời giải:
Gọi x là số chiếc bút trong mỗi hộp bút chì màu [chiếc, x ∈ N*; x > 2]
Theo bài ra ta có: 25 chia hết cho x; 20 chia hết cho x
Suy ra x là ƯC[25; 20]
Ta có: 25 = 52; 20 = 22.5
ƯCLN[25; 20] = 5
ƯC[25; 20] = Ư[5] = {1; 5} nên x ∈ {1;5}
Mà x > 2 nên x = 5.
Vậy mỗi hộp bút chì màu có 5 chiếc.
cố định
Bài 2.38 trang 40 sách bài tập Toán lớp 6 Tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống:
Một số bằng tổng các ước của nó [không kể chính nó] gọi là số hoàn hảo.
Chẳng hạn, các ước của 6 [không kể chính nó] là 1; 2; 3; ta có: 1 + 2 + 3 = 6.
Vậy 6 là số hoàn hảo. Em hãy chỉ ra trong các số 10; 28; 496; số nào là số hoàn hảo.
Cho đến năm 2018, người ta mới tìm được 51 số hoàn hảo. Số hoàn hảo thứ 51 là số có 49 724 095 chữ số.
cố định
Lời giải:
+] Các ước của 10 [không kể chính nó] là 1; 2; 5 và 1 + 2 + 5 = 8 ≠ 10 nên 10 không là số hoàn hảo.
+] Các ước của 28 [không kể chính nó] là: 1; 2; 4; 7; 14 và 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 nên 28 là số hoàn hảo.
+] Các ước của 496 [không kể chính nó] là 1; 2; 4; 8; 16; 31; 62; 124; 248 và 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496 nên 496 là số hoàn hảo.
Vậy trong các số trên có 28 và 496 là số hoàn hảo.
cố định
Bài 2.39 trang 40 sách bài tập Toán lớp 6 Tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống: Tìm số tự nhiên a lớn nhất, biết rằng 480 ⁝ a và 720 ⁝ a.
cố định
Lời giải:
Vì 480 ⁝ a và 720 ⁝ a nên a là ước chung của 480 và 720
Mà a lớn nhất nên a = ƯCLN[480; 720]
Ta có:
480 = 25.3.5
720 = 24.32.5
+] Ta chọn ra các thừa số nguyên tố chung là: 2; 3 và 5.
+] Số mũ nhỏ nhất của 2 là 4, số mũ nhỏ nhất của 3 là 1, số mũ nhỏ nhất của 5 là 1
ƯCLN[480; 720] = 24.3. 5 = 240.
Vậy số tự nhiên a lớn nhất là 240.
cố định
Bài 2.40 trang 40 sách bài tập Toán lớp 6 Tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống:
Các phân số sau có là phân số tối giản hay không? Hãy rút gọn chúng nếu chưa tối giản.
Lời giải:
a] Ta có:
21 = 3.7; 36 = 22.32
+] Thừa số nguyên tố chung là 3 với số mũ nhỏ nhất là 1 nên ƯCLN[21, 36] = 3.
Do đó
b] Ta có:
23 = 23; 73 = 73
+] Không có thừa số nguyên tố chung nên ƯCLN[23, 73] = 1.
Do đó
cố định
Bài 2.41 trang 40 sách bài tập Toán lớp 6 Tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống: Tìm tất cả các cặp số tự nhiên khác 0, không vượt quá 60 sao cho ƯCLN của hai số đó là 17.
cố định
Lời giải:
Giả sử cặp số cần tìm là a và b với a,b ≠ 0 . Vì ƯCLN của hai số đó là 17 ⇒ a và b chia hết cho 17 hay a và b đều là bội của 17.
B[17] = {0; 17; 34; 51; 68; …}
Vì các cặp số tự nhiên khác 0, không vượt quá 60 nên a và b thuộc {17; 34; 51}
Do đó ta có các cặp số [a; b] là [17; 34]; [17; 51]; [34; 51]
Thử lại: ƯCLN[17; 34] = 17 nên [17; 34] thỏa mãn
ƯCLN[17; 51] = 17 nên [17; 51] thỏa mãn
ƯCLN[34; 51] = 17 nên [34; 51] thỏa mãn
Vậy các cặp số cần tìm là [17; 34]; [17; 51]; [34; 51]
cố định
Bài 2.42 trang 40 sách bài tập Toán lớp 6 Tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống: Tìm tất cả các số tự nhiên a khác 0 và b khác 0 sao cho a + b = 96 và ƯCLN[a, b] = 16.
cố định
Lời giải:
Vì ƯCLN[a, b] = 16 ⇒ a và b là bội của 16, ta giả sử a = 16m; b = 16n với
ƯCLN[m, n] = 1 và do các số tự nhiên khác 0 nên m,n ∈ N*
Ta có a + b = 96 nên 16. m + 16. n = 96
16. [m + n] = 96
m + n = 96: 16
m + n = 6
Ta có bảng sau:
|
m |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
n |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
|
ƯCLN[m, n] = 1 |
TM |
KTM |
KTM |
KTM |
TM |
+] Với m = 1; n = 5 ta được a = 1. 16 = 16; b = 5. 16 = 80
+] Với m = 5; n = 1, ta được a = 5. 16 = 80; b = 1. 16 = 16
Vậy các cặp số [a; b] thỏa mãn là [16; 80]; [80; 16]
cố định
Bài 2.43 trang 40 sách bài tập Toán lớp 6 Tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống: Tìm tất cả các cặp số tự nhiên khác 0, sao cho ƯCLN của hai số đó là 8 và tích của hai số là 384.
cố định
Lời giải:
Vì ƯCLN của hai số đó là 8 nên hai số đó là bội của 8, ta giả sử a = 8m; b = 8n với ƯCLN[m, n] = 1 và do cặp số tự nhiên khác 0 nên m,n ∈ N*
Tích của hai số là 384 nên a.b = 384 hay 8m. 8n = 384
64. m. n = 384
m. n = 384: 64
m. n = 6
Ta có 6 = 1. 6 = 2. 3
Do đó [m; n] ∈ {[1;6];[6;1];[2;3];[3;2]}
Ta có bảng sau:
|
m |
1 |
6 |
2 |
3 |
|
n |
6 |
1 |
3 |
2 |
|
a = 8m |
8 |
48 |
16 |
24 |
|
b = 8n |
48 |
8 |
24 |
16 |
Vậy các cặp số tự nhiên thỏa mãn đề bài là [8; 48]; [48; 8]; [16; 24]; [24; 16].
cố định