Công thức tổng quát tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp

Bài toán mặt cầu của hình chóp có các cạnh bên bằng nhau

Phương pháp giải bài toán mặt cầu của hình chóp

Xét khối chóp $S.ABC$ có $SA=SB=SC.$ Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $S.ABC$ [Hình chóp đều là một trường hợp đặc biệt của dạng toán này].

Dựng tâm.GọiOlà tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácABCthì ta có $SO\bot \left[ ABC \right].$ Trong mặt phẳng $\left[ SAO \right]$ dựng đường trung trực củaSAcắtSOtạiIthìIlà tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $S.ABC$.

Tính bán kính $R$ của mặt cầu.

GọiElà trung điểm củaAB.

Hai tam giác vuông SOAvàSEIđồng dạng.

Suy ra $\frac{SO}{SE}=\frac{SA}{SI}\Leftrightarrow R=SI=\frac{SE.SA}{SO}=\frac{S{{A}^{2}}}{2SO}.$

Vậy $R=\frac{S{{A}^{2}}}{2SH}.$

Tổng quát:Cho khối chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}$ có $S.{{A}_{1}}=S{{A}_{2}}...S{{A}_{n}}=\ell $ và có chiều cao $SO=h$ thì bán kính mặt cầu ngoại tiếpRcủa khối chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}$ được tính theo công thức: $R=\frac{{{\ell }^{2}}}{2SO}=\frac{{{\ell }^{2}}}{2h}.$

Bài tập trắc nghiệm của mặt cầu của hình chóp có đáp án chi tiết

Lời giải

Gọi Olà tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC\xrightarrow{{}}SO\bot \left[ ABC \right]$

GọiMlà trung điểm của $BC\Rightarrow OA=\frac{2}{3}AM=\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Tam giácSAOvuông tại $O\Rightarrow SO=\sqrt{S{{A}^{2}}-O{{A}^{2}}}=\frac{a\sqrt{15}}{3}$

Vậy $SA=a\sqrt{2};SO=\frac{a\sqrt{15}}{3}\xrightarrow{{}}R=\frac{a\sqrt{15}}{5}\Rightarrow V=\frac{4\sqrt{15}\pi {{a}^{3}}}{25}.$

Chọn B.

Mở rộng với bài toán hình chóp tam giác đều.Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng a, với giả thiết

Lời giải

GọiOlà trung điểm $BC\Rightarrow O$là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$

\[\Rightarrow SO\bot \left[ ABC \right]\Rightarrow \left[ \widehat{SA;\left[ ABC \right]} \right]=\widehat{\left[ SA;OA \right]}=\widehat{SAO}={{45}^{0}}\]

Tam giácABCvuông cân tại $A\xrightarrow{{}}BC=AB\sqrt{2}=2a$

Tam giácSAOvuông cân tại $O\xrightarrow{{}}SO=OA=\frac{BC}{2}=a$

Vậy $SO=a;SA=OA\sqrt{2}=a\sqrt{2}\xrightarrow{{}}R=a.$

Chọn D.

Lời giải

Gọi Olà tâm tam giác $ABC,M$ là trung điểmBC

\[\Rightarrow SO\bot \left[ ABC \right];OA=\frac{2}{3}AM=\frac{2}{3}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3};OM=\frac{1}{2}OA=\frac{\sqrt{3}}{6}\]

Kẻ $OH\bot SM\left[ H\in SM \right]\xrightarrow{{}}OH\bot \left[ SBC \right]$

Ta có $d\left[ A;\left[ ABC \right] \right]=3.OH\Rightarrow OH=\frac{\sqrt{6}}{4}:3=\frac{\sqrt{6}}{12}$

Tam giácSMOvuông tạiMcó $\frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{S{{O}^{2}}}+\frac{1}{O{{M}^{2}}}\Rightarrow SO=\frac{\sqrt{3}}{6}$

Vậy \[SO=\frac{\sqrt{3}}{6};SA=\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{A}^{2}}}=\frac{\sqrt{15}}{6}\xrightarrow{{}}R=\frac{5\sqrt{3}}{12}\]

Diện tích mặt cầu cần tính là $S=4\pi {{R}^{2}}=\frac{25\pi }{12}.$Chọn A.

Lời giải

Tam giácSABcó $Ab=\sqrt{S{{A}^{2}}+S{{B}^{2}}-2SA.SB.\cos \widehat{ASB}}=a\sqrt{3}$

Tam giácSACvuông cân tại $S\xrightarrow{{}}AC=SA\sqrt{2}=a\sqrt{2}$

Suy ra $A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}\xrightarrow{{}}\Delta ABC$ vuông tạiC

GọiOlà trung điểm của $AB\xrightarrow{{}}SO\bot \left[ ABC \right]$

Tam giácSAOvuông tại $O\Rightarrow SO=\sqrt{S{{A}^{2}}-O{{A}^{2}}}=\frac{a}{2}$

Vậy $SO=\frac{a}{2};SA=a\xrightarrow{{}}R=\frac{S{{A}^{2}}}{2SO}=a.$Chọn B.

Lời giải

GọiOlà tâm hình vuông $ABCD\xrightarrow{{}}SO\bot \left[ ABCD \right]$.

Do đó $\widehat{SB;\left[ ABCD \right]}=\widehat{\left[ SB;OB \right]}=\widehat{SBO}={{60}^{0}}.$

Tam giácSBOvuông tạiO, có \[\left\{ \begin{matrix}SB=\frac{OB}{\cos \widehat{SBO}}\text{}\\SO=OB.\tan \widehat{SBO}\\\end{matrix} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}SB=a\sqrt{2}\text{ }\\SO=\frac{a\sqrt{6}}{2}\\\end{matrix} \right..\]

Suy ra bán kính mặt cầu cần tính là $R=\frac{S{{B}^{2}}}{2SO}={{\left[ a\sqrt{2} \right]}^{2}}:\left[ 2.\frac{a\sqrt{6}}{3} \right]=\frac{a\sqrt{6}}{3}.$

Vậy diện tích khối cầu cần tính là $V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{4}{3}\pi .{{\left[ \frac{a\sqrt{6}}{3} \right]}^{2}}=\frac{8\pi {{a}^{3}}\sqrt{6}}{27}.$Chọn D.

Lời giải

Gọi Mlà trung điểm $BC\Rightarrow OM\bot BC\Rightarrow BC\bot \left[ SMO \right]$.

Do đó $\widehat{\left[ SBC \right];\left[ ABCD \right]}=\widehat{\left[ SM;MO \right]}=\widehat{SMO}={{45}^{0}}.$

VìABCDlà hình vuông có $AC=2a\xrightarrow{{}}AB=a\sqrt{2}$

Tam giácSMOvuông cân tại $O\Rightarrow SO=OM=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Tam giácSAOvuông tại $O\Rightarrow SA=\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{A}^{2}}}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$

Vậy $SA=\frac{a\sqrt{6}}{2};SO=\frac{a\sqrt{2}}{2}\xrightarrow{{}}R=\frac{3\sqrt{2}}{4}a.$Chọn C.

Lời giải

Ta có $AD//BC\Rightarrow AD//\left[ SBC \right]\Rightarrow d\left[ SB;AD \right]=d\left[ A;\left[ SBC \right] \right]$

GọiOlà tâm hình vuông $ABCD\xrightarrow{{}}SO\bot \left[ ABCD \right]$.

GọiMlà trung điểm $BC;$ kẻ $OH\bot SM\left[ H\in SM \right]$

$\Rightarrow OH\bot \left[ SBC \right]\Rightarrow d\left[ A;\left[ SBC \right] \right]=2.OH\Rightarrow OH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Tam giácSMOvuông, có $\frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{S{{O}^{2}}}+\frac{1}{O{{M}^{2}}}\Rightarrow SO=a\sqrt{3}$

Vậy $SO=a\sqrt{3};SA=\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{A}^{2}}}=a\sqrt{5}\xrightarrow[{}]{}R=R=\frac{5\sqrt{6}}{3}a.$

Chọn D.

Lời giải

Xét mặt cầu $\left[ S \right]$ ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$

GọiOlà tâm hình vuông $ABCD\xrightarrow{{}}SO\bot \left[ ABCD \right]$

Bán kính mặt cầu $\left[ S \right]$ là $R=\frac{S{{A}^{2}}}{2h}\Leftrightarrow S{{A}^{2}}=18h\text{[*]}$

Đặt $AB=x\xrightarrow{{}}{{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}.SO.{{S}_{ABCD}}=\frac{h.{{x}^{2}}}{3}$

Tam giácSAOvuông tại $O\Rightarrow S{{A}^{2}}=S{{O}^{2}}+O{{A}^{2}}={{h}^{2}}+\frac{{{x}^{2}}}{2}$

Thay vào [*], ta được ${{h}^{2}}+\frac{{{x}^{2}}}{2}=18h\xrightarrow{{}}{{x}^{2}}=36h-2{{h}^{2}}$

Do đó $V=\frac{h}{3}.\left[ 36h-2{{h}^{2}} \right]=12{{h}^{2}}-\frac{2}{3}{{h}^{3}}\xrightarrow{casio}{{V}_{\max }}=576.$Chọn B.