Đề bài
Cho hình chóp \[S. ABCD\] có \[AB\] và \[CD\] không song song. Gọi \[M\] là một điểm thuộc miền trong của tam giác \[SCD\].
a] Tìm giao điểm \[N\] của đường thẳng \[CD\] và mặt phẳng \[[SBM]\].
b] Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \[[SBM]\] và \[[SAC]\].
c] Tìm giao điểm \[I\] của đường thẳng \[BM\] và mặt phẳng \[[SAC]\].
d] Tìm giao điểm \[P\] của \[SC\] và mặt phẳng \[[ABM]\], từ đó suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng \[[SCD]\] và \[[ABM]\].
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Kéo dài \[SM\] cắt \[CD\] tại \[N\].
b] Tìm hai điểm chung củahai mặt phẳng \[[SBM]\] và \[[SAC]\].
c] Tìm một đường thẳng nằm trong\[\left[ {SAC} \right]\;\]cắt \[BM\] tại \[I\].
d]Tìm một đường thẳng nằm trong \[[ABM]\] cắt \[SC\] tại \[P\]. Xác định hai điểm chung củahai mặt phẳng \[[SCD]\] và \[[ABM]\].
Lời giải chi tiết
a] Trong \[[SCD]\] kéo dài \[SM\] cắt \[CD\] tại \[N\].
\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
N \in CD\\
N \in SM \subset \left[ {SMB} \right]
\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow N = CD \cap \left[ {SBM} \right]\]
b] \[[SBM] [SBN]\].
Dễ thấy \[S \in \left[ {SAC} \right] \cap \left[ {SBM} \right]\].
Trong \[[ABCD]\] gọi \[O=AC\cap BN\]
\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
O \in AC \subset \left[ {SAC} \right]\\
O \in BN \subset \left[ {SBN} \right]
\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow O \in \left[ {SAC} \right] \cap \left[ {SBN} \right]\]
Do đó: \[SO=[SAC]\cap[SBM]\].
c] Trong \[[SBN]\] gọi \[I\] là giao của \[MB\] và \[SO\]. Mà\[SO \subset \left[ {SAC} \right]\]
Do đó: \[I=BM\cap [SAC]\]
d] Trong \[[SAC]\], gọi\[P = AI \cap SC\]
\[\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
P \in AI \subset \left[ {ABM} \right]\\
P \in SC
\end{array} \right. \] \[\Rightarrow P = SC \cap \left[ {ABM} \right]\]
Lại có\[P \in SC\], mà\[SC \subset \left[ {SCD} \right] \Rightarrow P \in \left[ {SCD} \right].\]
\[ \Rightarrow {\rm{ }}P \in \left[ {AMB} \right] \cap \left[ {SCD} \right].\]
Lại có: \[M [SCD]\] [gt]
\[ \Rightarrow M \in \left[ {MAB} \right] \cap \left[ {SCD} \right]\]
Vậy giao tuyến của \[[MAB]\] và \[[SCD]\] là đường thẳng \[MP\].
Cách khác:
Câu d có thể dựng hình bằng cách khác như sau:
Trong \[[ABCD]\] , gọi\[K = AB \cap CD\]. Khi đó \[\left[ {ABM} \right] \equiv \left[ {AKM} \right]\]
Trong \[[SCD]\], gọi \[P= MK\cap SC\]. Lại có \[MK \subset \left[ {ABM} \right]\].
Do đó: \[P=SC\cap [ABM]\]
Trong \[[SDC]\] gọi \[Q=MK\cap SD\], \[MK \subset \left[ {ABM} \right] \Rightarrow Q = SD \cap \left[ {ABM} \right]\].
\[ \Rightarrow PQ \subset \left[ {ABM} \right],\,\,PQ \subset \left[ {SCD} \right] \]\[\Rightarrow PQ = \left[ {SCD} \right] \cap \left[ {ABM} \right]\].