Đề bài
Xác định giá trị của tham số \[m\] để hàm số sau không có cực trị: \[y = \dfrac{{{x^2} + 2mx - 3}}{{x - m}}\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Hàm số không có cực trị khi đạo hàm của nó không đổi dấu trên tập xác định.
Lời giải chi tiết
Ta có: \[y = \dfrac{{{x^2} + 2mx - 3}}{{x - m}}\], TXĐ: \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}\].
\[y' = \dfrac{{[2x + 2m][x - m] - [{x^2} + 2mx - 3]}}{{{{\left[ {x - m} \right]}^2}}}\]\[ = \dfrac{{2{x^2} - 2{m^2} - {x^2} - 2mx + 3}}{{{{\left[ {x - m} \right]}^2}}}\]\[ = \dfrac{{{x^2} - 2mx - 2{m^2} + 3}}{{{{\left[ {x - m} \right]}^2}}}\]
Hàm số không có cực trị nếu đạo hàm của nó không đổi dấu trên \[D\].
Xét \[g\left[ x \right] = {x^2}-2mx-2{m^2} + 3\] là tam thức bậc hai hệ số \[a > 0\] nên nếu nó không đổi dấu với mọi \[x \ne m\] thì \[\Delta ' = {m^2} + 2{m^2} - 3 \le 0\]\[ \Leftrightarrow 3{m^2} - 3 \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le m \le 1\].
Khi \[-1 < m < 1\] thì phương trình \[g\left[ x \right] = 0\] vô nghiệm hay \[y' = 0\] vô nghiệm và \[y'\; > 0\] với mọi \[x \ne m\]. Khi đó, hàm số không có cực trị.
Khi \[m = 1\] hoặc \[m = - 1\], hàm số đã cho trở thành \[y = x + 3\] [với \[x \ne 1\]] hoặc \[y = x-3\] [với\[x \ne - 1\]]. Các hàm số này không có cực trị.
Vậy hàm số đã cho không có cực trị khi \[-1 \le m \le 1\].