Đề bài
So sánh hai biểu thức \[A\] và \[B\] biết rằng:
\[ \displaystyle A = {{2000} \over {2001}} + {{2001} \over {2002}}\]
\[ \displaystyle B = {{2000 + 2001} \over {2001 + 2002}}\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta sử dụng\[\dfrac{a}{b} > \dfrac{a}{{b + c}}\,\,\left[ {c > 0} \right]\]
Lời giải chi tiết
Ta có: \[ \displaystyle {{2000} \over {2001}} > {{2000} \over {2001 + 2002}}\] [1]
\[ \displaystyle {{2001} \over {2002}} > {{2001} \over {2001 + 2002}}\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra :
\[ \displaystyle {{2000} \over {2001}} + {{2001} \over {2002}} > {{2000} \over {2001 + 2002}} + {{2001} \over {2001 + 2002}}\] \[\displaystyle= {{2000 + 2001} \over {2001 + 2002}}\]
Vậy \[ \displaystyle A > B\]
Lưu ý. Ta còn có thể giải theo hai cách nữa :
Cách 1 :Rõ ràng ta có :\[\dfrac{{2000}}{{2001}} > \dfrac{1}{2}\] và\[\dfrac{{2001}}{{2002}} > \dfrac{1}{2}\] nên\[A = \dfrac{{2000}}{{2001}} + \dfrac{{2001}}{{2002}} > \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1\]
Vậy \[A>1.\]
\[B = \dfrac{{2000 + 2001}}{{2001 + 2002}} < 1\] vì tử nhỏ hơn mẫu.
Suy ra \[A>B\] [tính chất bắc cầu].
Cách 2 :\[A = \dfrac{{2000}}{{2001}} + \dfrac{{2001}}{{2002}} > \dfrac{{2000}}{{2002}} + \dfrac{{2001}}{{2002}} = \dfrac{{4001}}{{2002}} > 1\] [1]
\[B = \dfrac{{2000 + 2001}}{{2001 + 2002}} < 1\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra \[A>B\].