Đề bài
Cho tứ diệnABCDcó điểmOnằm trong tứ diện và cách đều các mặt của tứ diện một khoảng cáchr. Gọi \[{h_A},{h_B},{h_C},{h_D}\] lần lượt là khoảng cách từ các điểmA, B, C, Dđến các mặt đối diện. Chứng minh rằng :
\[{1 \over r} = {1 \over {{h_A}}} + {1 \over {{h_B}}} + {1 \over {{h_C}}} + {1 \over {{h_D}}}.\]
Lời giải chi tiết
Khối tứ diệnABCDđược phân chia thành bốn khối tứ diệnOBCD, OCAD, OABD, OABC. Từ đó dễ thấy rằng :
\[\eqalign{ & {{{V_{O.BCD}}} \over {{V_{ABCD}}}} = {r \over {{h_A}}},{{{V_{O.CAD}}} \over {{V_{ABCD}}}} = {r \over {{h_B}}}, \cr & {{{V_{O.ABD}}} \over {{V_{ABCD}}}} = {r \over {{h_C}}},{{{V_{O.ABC}}} \over {{V_{ABCD}}}} = {r \over {{h_D}}}. \cr} \]
Suy ra :
\[\eqalign{ & {{{V_{O.BCD}} + {V_{O.CAD}} + {V_{O.ABD}} + {V_{O.ABC}}} \over {{V_{ABCD}}}}\cr& = r\left[ {{1 \over {{h_A}}} + {1 \over {{h_B}}} + {1 \over {{h_C}}} + {1 \over {{h_D}}}} \right] \cr & \Rightarrow {{{V_{ABCD}}} \over {{V_{ABCD}}}} = r\left[ {{1 \over {{h_A}}} + {1 \over {{h_B}}} + {1 \over {{h_C}}} + {1 \over {{h_D}}}} \right] \cr & \Rightarrow {1 \over r} = {1 \over {{h_A}}} + {1 \over {{h_B}}} + {1 \over {{h_C}}} + {1 \over {{h_D}}}. \cr} \]