Đề bài
Cho hai đường đường tròn \[[O; R]\] và \[[O;R]\] cắt nhau tại \[A, B.\] Hãy so sánh \[R\] và \[R\] trong các trường hợp sau:
\[a]\] Số đo cung nhỏ \[AB\] của \[[O; R]\] lớn hơn số đo cung nhỏ \[AB\] của \[[O; R].\]
\[b]\] Số đo cung lớn \[AB\] của \[[O; R]\] nhỏ hơn số đo cung lớn \[AB\] của \[[O; R].\]
\[c]\] Số đo hai cung nhỏ bằng nhau.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta sử dụng kiến thức:
+] Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa \[360^o\] và số đo cung nhỏ[có chung hia mút với cung lớn].
+] Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn.
+] Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn thì lớn hơn.
+] Hai cung được là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.
+] Số đo của cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó.
Lời giải chi tiết
\[a]\] Trong \[[O; R]\] ta có: \[\widehat {AOB}= sđ \overparen{AB}\] [nhỏ]
Trong \[[O; R]\] ta có: \[\widehat {AO'B} = sđ \overparen{AB}\] [nhỏ]
Vì số đo cung \[AB\] nhỏ của \[[O; R]\] lớn hơn số đo cung \[AB\] nhỏ của \[[O; R]\]
Suy ra: \[\widehat {AOB} > \widehat {AO'B}\] \[[1]\]
Xét hai tam giác \[\Delta AOO'\] và \[ \Delta BOO'\] có:
+] \[O'A=O'B=R'\]
+] \[OA=OB=R\]
+] \[OO'\] cạnh chung
Nên \[\Delta AOO' = \Delta BOO'\] \[[c.c.c]\]
\[\Rightarrow \widehat {AOO'} = \widehat {BOO'} =\displaystyle {1 \over 2}\widehat {AOB}\] \[[2]\]
\[\widehat {AO'O} = \widehat {BO'O} = \displaystyle {1 \over 2}\widehat {AO'B}\] \[ [3]\]
Từ \[[1],\] \[[2]\] và \[[3]\] suy ra:\[\widehat {AOO'} > \widehat {AO'O}\]
Trong \[\Delta AOO'\]ta có: \[\widehat {AOO'} > \widehat {AO'O}\]
Suy ra: \[OA > OA\] [bất đẳng thức tam giác] hay \[R > R\]
Chú ý: Nếu các em vẽ hình như dưới đây thì ta lấy đối xứng đường tròn \[[O]\] qua trục \[AB\] để chứng minh như trên.
\[b]\] Trong \[[O; R]\] số đo cung lớn \[AB\] cộng với số đo cung nhỏ \[AB\] bằng \[360^o\]
Mà số đo cung lớn \[AB\] của \[[O;R]\] nhỏ hơn số đo cung lớn \[AB\] của \[[O; R]\]
Suy ra số đo cung nhỏ \[AB\] của \[[O; R]\] lớn hơn số đo cung nhỏ của \[[O; R]\]
Chứng minh tương tự câu \[a]\] ta có: \[R > R.\]
\[c]\] Số đo hai cung nhỏ của \[[O; R]\] và \[[O; R]\] bằng nhau
\[\Rightarrow \widehat {AOB} = \widehat {AO'B}\]
Suy ra: \[\widehat {AOO'} = \widehat {AO'O} \Rightarrow \Delta AOO'\]cân tại \[A\] nên \[OA = OA\] hay \[R = R.\]