1. Các kiến thức cần nhớ
Khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn
+] Phương trình bậc nhất hai ẩn là phương trình có dạng $ax + by = c$
Trong đó $a,b,c$ là những số cho trước $a \ne $$0$ hoặc $b \ne 0$ .
- Nếu các số thực ${x_0},\,{y_0}$ thỏa mãn $ax + by = c$ thì cặp số $[{x_0},\,{y_0}]$ được gọi là nghiệm của phương trình $ax + by = c$.
- Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , mỗi nghiệm $[{x_0},\,{y_0}]$ của phương trình $ax + by = c$ được biểu diễn bới điểm có tọa độ $[{x_0},\,{y_0}]$.
Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn
Phương trình bậc nhất hai ẩn $ax + by = c$ luôn có vô số nghiệm.
Tập nghiệm của phương trình được biểu diễn bởi đường thẳng $d:ax + by = c.$
+] Nếu $a \ne 0$ và $b = 0$ thì phương trình có nghiệm $\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{c}{a}\\y \in R\end{array} \right.$
và đường thẳng $d$ song song hoặc trùng với trục tung.
+] Nếu $a = 0$ và $b \ne 0$ thì phương trình có nghiệm $\left\{ \begin{array}{l}x \in R\\y = \dfrac{c}{b}\end{array} \right.$
và đường thẳng $d$ song song hoặc trùng với trục hoành.
+] Nếu $a \ne 0$ và $b \ne 0$ thì phương trình có nghiệm $\left\{ \begin{array}{l}x \in R\\y = - \dfrac{a}{b}x + \dfrac{c}{b}\end{array} \right.$
và đường thẳng $d$ là đồ thị hàm số $y = - \dfrac{a}{b}x + \dfrac{c}{b}$
2. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tìm điều kiện của tham số để một cặp số cho trước là nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn.
Phương pháp:
Nếu cặp số thực $[{x_0},\,{y_0}]$thỏa mãn $ax + by = c$ thì nó được gọi là nghiệm của phương trình $ax + by = c$.
Dạng 2: Viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc nhất hai ẩn. Biểu diễn tập nghiệm trên hệ trục tọa độ.
Phương pháp:
Xét phương trình bậc nhất hai ẩn $ax + by = c$.
1. Để viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình, trước tiên ta biểu diễn $x$ theo $y$ [ hoặc $y$ theo $x$] rồi đưa ra công thức nghiệm tổng quát.
2. Để biểu diễn tập nghiệm của phương trình trên mặt phẳng tọa độ, ta vẽ đường thẳng d có phương trình $ax + by = c$.
Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để đường thẳng $ax + by = c$ thỏa mãn điều kiện cho trước
Phương pháp:
Ta có thể sử dụng một số lưu ý sau đây khi giải dạng toán này:
1. Nếu \[a \ne 0\] và \[b = 0\] thì phương trình đường thẳng $d: ax + by = c$ có dạng $d:x = \dfrac{c}{a}$. Khi đó $d$ song song hoặc trùng với $Oy$ .
2. Nếu \[a = 0\] và \[b \ne 0\] thì phương trình đường thẳng $d: ax + by = c$ có dạng $d:y = \dfrac{c}{b}$. Khi đó $d$ song song hoặc trùng với $Ox$ .
3. Đường thẳng $d:ax + by = c$ đi qua điểm $M[{x_0},\,{y_0}]$ khi và chỉ khi $a{x_0} + b{y_0} = c$.
Dạng 4: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn
Phương pháp:
Để tìm các nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn $ax + by = c$, ta làm như sau:
Cách 1:
Bước 1: Rút gọn phương trình, chú ý đến tính chia hết của các ẩnBước 2: Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ [chẳng hạn $x$ ] theo ẩn kia.Bước 3: Tách riêng giá trị nguyên ở biểu thức của $x$ Bước 4: Đặt điều kiện để phân bố trong biểu thức của $x$ bằng một số nguyên \[t\], ta được một phương trình bậc nhất hai ẩn $y$ và \[t\]
- Cứ tiếp tục như trên cho đến khi các ần đều được biểu thị dưới dạng một đa thức với các hệ số nguyên.
Ví dụ 17. Cho hệ phương trình
a] Không giải hệ phương trình, cho biết với giá trị nào của m thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
b] Giải và biện luận hệ phương trình trên.
Giải
a] Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi
ab’ – a’b ≠ 0 1.1 – m.m ≠ 0 1 – ≠ 0 m ≠ ± 1.
Với m ≠ ± 1 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
b] Rút x từ [1] ta được x = m + 1 – my.
Thay biểu thức của x vào [2] :
m[m + 1 – my] + y = 3m – 1 +m – y + y = 3m – 1
y – y = + 2m – 1 [1 – ]y = .
Nếu m ≠ ± 1 thì
Nếu m = 1 thì hệ phương trình đã cho trở thành
Nếu m = -1 thì hệ đã cho trở thành
Kết luận :
– Nếu m ≠ ± 1, hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
– Nếu m = 1, hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm ; x bất kì, y = 2 – x.
– Nếu m = -1, hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
BÀI TẬP
80. Giải các hệ phương trình:
81. Cho hệ phương trình:
Xác định các hệ số a và b để hệ phương trình có nghiệm x = 3, y = -2.
82. Cho hai đường thẳng:
2x – y = -6 và x + y = 3.
a] Tìm toạ độ giao điểm M của hai đường thẳng.
b] Gọi giao điểm của hai đường thẳng trên với trục hoành theo thứ tự là A và B. Tính diện tích tam giác MAB.
83. Lập phương trình đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường thẳng 2x – 3y = 8 ; 5x + 4y = -3 và song song với đường thẳng y = 2x – 1.
84. Xác định các hệ số a và b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm M[3 ; 5] và N[-1 ; -7]. Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng vừa tìm được với các trục toạ độ.
85. Xác định giá trị của a để các đường thẳng sau đồng quy :
y = ax, y = 3x – 10 và 2x + 3y = -8.
86. Cho ba điểm A[3 ; 5], B[-1 ; -7], C[1 ; -1]. Chứng minh rằng ba điểm A,
B, C thẳng hàng.
87. Cho bốn điểm A[-1 ; 1], B[3 ; 2], C[2 ; -1], D[-2 ; -2].
a] Lập phương trình các đường thẳng AB, BC, CD, DA.
b] Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành.
88. Tìm giá trị của a để hệ phương trình sau có nghiệm dương :
89.
Tìm giá trị của m để giao điểm của hai đường thẳng mx – y = 2, 3x + my = 5 nằm trong góc vuông phần tư IV. [Các góc vuông phần tư I, II, III, IV được kí hiệu như trên hình 3].
Hình 3
90. Tìm giá trị nguyên của m để giao điểm của các đường thẳng mx – 2y = 3 và 3x + my = 4 nằm trong góc vuông phần tư IV.
91. Giải và biện luận hệ phương trình
92. Tìm giá trị của m để hệ phương trình
vô nghiệm, vô số nghiệm.
93.
Tìm giá trị của m để các đường thẳng
[d1] : mx + [m – 1]y = 3m + 4
[d2] : 2mx + [m+ 1]y = m- 4
a] Cắt nhau ; b] Song song ; c] Trùng nhau.
94. Giải hệ phương trình:
95.
Tìm nghiệm nguyên dương của các phương trình :
a] [3x – y][5x + 3y] =11; b] [x + 2y][3x + 4y] = 96.
96*. Viết số 100 thành tổng các số nguyên dương liên tiếp.
97*. Viết số 117 thành tổng các số nguyên dương lẻ liên tiếp.
Giải các hệ phương trình [từ bài 98 đến 108] :
Xem hướng dẫn giải tại đây.