Giải bài tập toán hình 12 nâng cao bài 1 năm 2024
|
Sách giải toán 12 Bài 1: Khái niệm về khối đa diện (Nâng Cao) giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 12 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác: Bài 1 (trang 7 sgk Hình Học 12 nâng cao): Chứng minh rằng nếu khối đa diện có các mặt là tam giác thì số mặt phải là số chẵn. Hãy chỉ ra những khối đa diện như thế với số mặt bằng 4, 6, 8, 10.Lời giải: – Giải sử khối đa diện đã cho có M mặt và C cạnh. Vì mỗi mặt có 3 cạnh nên M mặt có 3M cạnh, nhưng mỗi cạnh lại có hai lưng cho 2 mặt nên có 2C = 3M, suy ra M chẵn. vậy nếu khối đa diện có các mặt làm tam giác thì số mặt phải là số chẵn. – Khối a) khối tứ diện có 4 mặt là tam giác. – Hình b) khối 6 mặt là tam giác. – Hình c) khối 8 mặt là tam giác. – Hình d) khối 10 mặt là tam giác Bài 2 (trang 7 sgk Hình Học 12 nâng cao): Chứng minh rằng nếu khối đa diện mà mỗi đỉnh là đỉnh chung của cạnh thì số đỉnh phải là số chẵn.Lời giải: Gọi Đ, C lần lượt là số đỉnh, số cạnh của đa diện. Vì mỗi đỉnh là đỉnh chung của ba cạnh nên Đ đỉnh có 3 Đ cạnh, như mỗi cạnh là cạnh chung của 2 đỉnh. Vậy 2C = 3Đ. Từ đó suy ra Đ là số chẵn. Bài 3 (trang 7 sgk Hình Học 12 nâng cao): Chứng minh rằng khối đa diện có các mặt là tam giác và m là đỉnh chung của 3 cạnh thì đó là khối tứ diện.Lời giải: Gọi A là một đỉnh của khối đa diện. A là đỉnh chung của 3 cạnh AB, AC, AD. Mặt chứa cạnh AB, AC, AD phải là ΔABC, tương tự ΔACD, ΔADB cũng là các mặt của đa diện. vậy xuất phát từ đỉnh D của đa diện có các cạnh DC, DB, nên mặt chứa cạnh DB và Dc phải là ΔBCD dây là mặt thứ 4 của đa diện. Từ đó suy ra kết quả bài toán. Bài 4 (trang 7 sgk Hình Học 12 nâng cao): Hãy phân tích một khối hộp thành 5 khối tứ diện.Lời giải: Khối hộp ABCDA’B’C’D’ được chia thành 5 khối tứ diện CB’C’D’; BCB’A; A’B’D’; DACD’; B’ACD’; bởi các mặt phẳng (CB’D’), (ACB’), (ABD’), (ACD’). Bài 5 (trang 7 sgk Hình Học 12 nâng cao): Hãy phân tích khối tứ diện thành bốn khối tứ diện bởi hai mặt phẳng.Lời giải: Gọi M, N là hai điểm trên cạnh AB, CD (khác hai đầu nút). Khi đó hai mặt phẳng (ABN) và (CMD) chia khối tứ diện ABCD thành bố khối tứ diện: CBMN, DBMN, CAMN, DAMN. \(\eqalign{ & a)\overrightarrow x = (1 - 2;2 - 2;3 + 1) = \left( { - 1;0;4} \right). \cr & b)\overrightarrow x = ( - 1 + 8;0 + 0;4 - 8) = (7;0; - 4). \cr & c)\overrightarrow x = (2 + 8 - 4;4 + 8 - 0;6 - 4 + 4) \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;= (6;12;6). \cr & d)\overrightarrow x = (5 - 6 - 2;10 - 6 + 0;15 + 3 + 2) \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;= ( - 3;4;20). \cr & e)2\overrightarrow x = 3\overrightarrow u + \overrightarrow {\rm{w}} \Rightarrow \overrightarrow x = {3 \over 2}\overrightarrow u + {1 \over 2}\overrightarrow {\rm{w}} . \cr & \Rightarrow \overrightarrow x = \left( {{3 \over 2} + 2;3 + 0;{9 \over 2} - 0} \right) = \left( {{7 \over 2};3;{5 \over 2}} \right), \cr & g)\;3\overrightarrow x = - 2\overrightarrow u - \overrightarrow v + \overrightarrow {\rm{w}} \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= ( - 2 - 2 + 4; - 4 - 2 + 0; - 6 + 1 - 4) \cr & \Rightarrow 3\overrightarrow x = (0; - 6; - 9) \Rightarrow \overrightarrow x = (0, - 2; - 3). \cr} \) Chứng minh rằng nếu khối đa diện có các mặt là tam giác thì số mặt phải là số chẵn. Hãy chỉ ra những khối đa diện như thế với số mặt bằng \(4, 6, 8, 10\). Giải Gọi số cạnh của khối đa diện là \(C\), số mặt là \(M\). Vì mỗi mặt có ba cạnh và mỗi cạnh lại chung cho hai mặt bên nên \(3M = 2C\). Suy ra \(M\) là số chẵn. Sau đây là một số khối đa diện có các mặt là tam giác. Bài 2 trang 7 SGK Hình học 12 Nâng cao Chứng minh rằng nếu khối đa diện có mỗi đỉnh là đỉnh chung của ba cạnh thì số đỉnh phải là số chẵn. Giải Gọi số cạnh của khối đa diện là \(C\), số đỉnh là \(Đ\). Vì mỗi đỉnh là đỉnh chung của ba cạnh và mỗi cạnh có \(2\) đỉnh nên \(3Đ = 2C\) do đó \(Đ\) là sỗ chẵn. Bài 3 trang 7 SGK Hình học 12 Nâng cao Chứng minh rằng nếu khối đa diện có các mặt là tam giác và mỗi đỉnh là đỉnh chung của ba cạnh thì đó là khối tứ diện. Giải Gọi \(A\) là một đỉnh của khối tứ diện. Theo giả thiết đỉnh \(A\) là đỉnh chung của \(3\) cạnh, ta gọi \(3\) cạnh đó là \(AB, AC, AD\). Cạnh \(AB\) phải là cạnh chung của hai mặt tam giác, đó là hai mặt \(ABC\) và \(ABD\) (Vì qua đỉnh \(A\) chỉ có \(3\) cạnh). Tương tự, ta có các mặt tam giác \(ACD\) và \(BCD\). Vậy khối đa diện đó chính là khối tứ diện \(ABCD\). Bài 4 trang 7 Hình học 12 Nâng cao Hãy phân chia một khối hộp thành năm khối tứ diện. Giải Có thể phân chia khối hộp \(ABCD.A’B’C’D’\) thành năm khối tứ diện \(ABDA’ ; CBDC’ ; B’A’C’B ; D’A’C’D ; BDA’C’.\) Bài 5 trang 7 SGK Hình học 12 Nâng cao Hãy phân chia một khối tứ diện thành bốn khối tứ diện bởi hai mặt phẳng. Giải Cho khối tứ diện \(ABCD\). Lấy điểm \(M\) nằm giữa \(A\) và \(B\), điểm \(N\) nằm giữa \(C\) và \(D\). Bằng hai mặt phẳng \((MCD)\) và \((NAB)\) ta chia khối tứ diện đã cho thành \(4\) khối tứ diện: \(AMCN ; AMND ; BMCN ; BMND\). |
