Giải bài tập về chéo hóa ma trận năm 2024

Nghĩa là hệ gồm m VTR ứng với m GTR đôi một khác nhau có số vectơ độc lập tuyến tính là m nên hệ đã cho là đltt.

II. Chéo hóa ma trận:

2.1. Ma trận đồng dạng:

Hai ma trận A, B vuông cấp n được gọi là đồng dạng nếu tốn tại 1 ma trận không suy biến S sao cho: . Ký hiệu A ~ B

2.2. Tính chất:

Hai ma trận đồng dạng có cùng 1 đa thức đặc trưng

Chứng minh:

Do: nên ta có:

2.3. Ma trận chéo hóa được:

Ma trận A được gọi là ma trận chéo hóa được nếu nó đồng dạng với ma trận chéo. (nghĩa là: A được gọi là chéo hóa được nếu tồn tại ma trận không suy biến P sao cho: , với D là 1 ma trận chéo).

Khi đó, P được gọi là ma trận làm chéo hóa ma trận A, D là dạng chéo của ma trận A.

Ví dụ: Cho . Ma trận là ma trận không suy biến có:

Khi đó, ta dễ dàng có được:

Khi nào ma trận A chéo hóa được? Làm sao tìm được ma trận C làm chéo hóa ma trận A?

2.4. Định lý:

Điều kiện cần và đủ để ma trận A chéo hóa được là nó có n vectơ riêng độc lập tuyến tính

2.5. Hệ quả:

1. Nếu ma trận A vuông cấp n có đủ n GTR đôi một khác nhau thì A chéo hóa được.

2. Ứng với mỗi GTR bội k phải có đủ k VTR độc lập tuyến tính (Cơ sở của không gian con riêng ứng với GTR đó phải có k vecto)

2.6. Ma trận làm chéo hóa ma trận A. Và dạng chéo của ma trận A:

Nếu ma trận A chéo hóa được thì tồn tại ma trận P làm chéo hóa ma trận A, nghĩa là:

Mà D là ma trận chéo nên D có dạng:

Bây giờ, ta ký hiệu cột thứ i của ma trận P là thì ta dễ dàng nhận thấy cột thứ i của ma trận tích AP sẽ là và cột thứ i của ma trận PD sẽ là

Mà 2 ma trận bằng nhau khi các phần tử tương ứng bằng nhau. Do đó, ta có:

Do đó, theo định nghĩa của GTR, VTR ta có là VTR ứng với GTR

Vậy P là ma trận gồm các VTR và D là ma trận gồm các GTR được xác định như sau:

Cột thứ i của ma trận P là VTR ứng với GTR thứ i. Cột thứ i của ma trận D có phần tử

2.7. Các ví dụ ứng dụng:

Ví dụ 1: Chứng tỏ rằng ma trận A chéo hóa được và tìm ma trận làm chéo hóa ma trận A và dạng chéo của nó:

Theo ví dụ 3, phần 1 ta có: ma trận A có các GTR lần lượt là:

Do đó, theo hệ quả 2.5, thì ma trận A là chéo hóa được.

Khi đó: VTR ứng với giá trị riêng có dạng:

VTR ứng với giá trị riêng có dạng:

VTR ứng với giá trị riêng có dạng:

Vậy theo tính chất 1. 6 ma trận A có 3 VTR độc lập tuyến tính là

Như vậy, ta có thể chọn: và dạng chéo của ma trận A tương ứng là . Khi đó:

Ta cũng có thể chọn: và dạng chéo của ma trận A tương ứng là

Ví dụ 2: Cho A là ma trận vuông cấp 2 có 2 GTR là 1 và – 2 và 2 VTR tương ứng là (1,0) và (1, -1). Tính:

Giải

Đặt .

Ta tìm được:

Khi đó:

Do đó:

Mặt khác: (theo tính chất của ma trận chéo)

Nên:

Nhận xét: 1 ứng dụng của thuật toán chéo hóa ma trận là giúp chúng ta dễ dàng tính toán được lũy thừa bậc cao của ma trận.

Ứng dụng khác: 1 ứng dụng đặc biệt khác của thuật toán chéo hóa ma trận là giúp chúng ta xây dựng 1 công cụ để giải hệ phương trình vi phân: với . Đây chính là thuật toán Euler trong việc giải hệ phương trình vi phân.

– 1 ứng dụng khác của thuật toán chéo hóa ma trận đó là giúp chúng ta có 1 công cụ hữu hiệu để nghiên cứu các đường bậc 2 và mặt bậc 2 trong không gian 3 chiều.