Giải cấp số nhân nâng cao sgk trang121 toán 11 năm 2024
Một cấp số nhân có năm số hạng mà hai số hạng đầu tiên là những số dương, tích của số hạng đầu và số hạng thứ ba bằng 1, tích của số hạng thứ ba và số hạng cuối bằng \(\frac{1}{{16}}\). Hãy tìm cấp số nhân đó. Show Hướng dẫn giải:Với mỗi n ∈ {1,2,3,4,5}, kí hiệu un là số hạng thứ n của cấp số nhân đã cho. Vì u1 > 0, u2 > 0 nên cấp số nhân (un) có công bội q > 0, và do đó un > 0, ∀n ∈ {1,2,3,4,5}. Từ đó: \(\begin{array}{l} 1 = {u_1}.{u_3} = u_2^2 \Rightarrow {u_2} = 1\\ \frac{1}{{16}} = {u_3}.{u_5} = u_4^2 \Rightarrow {u_4} = \frac{1}{4}\\ u_3^2 = {u_2}.{u_4} = \frac{1}{4} \Rightarrow {u_3} = \frac{1}{2} \end{array}\) Do đó \({u_1} = \frac{1}{{{u_3}}} = 2\) và \({u_5} = \frac{1}{{16}}:{u_3} = \frac{1}{8}\) Vậy cấp số nhân cần tìm là: \(2;1;\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8}\). Bài 33 trang 121 SGK Toán 11 nâng caoCho cấp số nhân (un) với công bội q ≠ 0 và u1 ≠ 0. Cho các số nguyên dương m và k, với m ≥ k. Chứng minh rằng um = uk.qm−k Áp dụng:
Hướng dẫn giải:Ta có: um = u1.qm−1 (1) uk = u1.qk−1 (2) Lấy (1) chia (2) ta được: \(\frac{{{u_m}}}{{{u_k}}} = {q^{m - k}} \Rightarrow {u_m} = {u_k}.{q^{m - k}}\) Áp dụng: Câu a:Ta có: \(\frac{{{u_7}}}{{{u_4}}} = {q^{7 - 4}} \Rightarrow {q_3} = - 343 \Rightarrow q = - 7\) Câu b:Không tồn tại, vì: \({q^{20}} = \frac{{{u_{22}}}}{{{u_2}}} = \frac{{ - 2000}}{5} < 0\), vô lí. Bài 34 trang 121 SGK Toán 11 nâng caoHãy tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân (un) , biết rằng u3 = −5 và u6 = 135. Hướng dẫn giải:Gọi q là công bội của cấp số nhân đã cho. Ta có: \(\begin{array}{l} {q^3} = \frac{{{u_6}}}{{{u_3}}} = \frac{{135}}{{ - 5}} - 27 \Rightarrow q = - 3\\ - 5 = {u_3} = {u_1}.{q^2} = 9{u_1} \Leftrightarrow {u_1} = - \frac{5}{9} \end{array}\) Số hạng tổng quát: \({u_n} = - \frac{5}{9}.{\left( { - 3} \right){n - 1}} = - 5.{\left( { - 3} \right){n - 3}}\) Bài 35 trang 121 SGK Toán 11 nâng caoChu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ poloni 210 là 138 ngày (nghĩa là sau 138 ngày khối lượng của nguyên tố chỉ còn một nửa). Tính (chính xác đến hàng phần trăm) khối lượng còn lại của 20 gam poloni 210 sau 7314 ngày (khoảng 20 năm). Hướng dẫn giải:Kí hiệu un (gam) là khối lượng còn lại của 20 gam poloni sau n chu kì bán rã. Ta có 7314 ngày gồm (53 = 7314:138) chu kì bán rã. Như thế, theo đề bài, ta cần tính u53. Từ giả thiết của bài toán suy ra dãy số (un) là một cấp số nhân với số hạng đầu u1 = 20 : 2 = 10 và công bội \(q = \frac{1}{2}\). Do đó: \({u_{53}} = 10.{\left( {\frac{1}{2}} \right){52}} \approx 2,{22.10{ - 15}}\) (gam) Bài 36 trang 121 SGK Toán 11 nâng caoTính các tổng sau :
Hướng dẫn giải:Câu a:Gọi q là công bội của cấp số nhân đã cho. Ta có \(q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{54}}{{18}} = 3\) Giả sử cấp số nhân có n số hạng ta có: \(\begin{array}{l} 39366 = {u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} = {18.3^{n - 1}}\\ \Rightarrow {3^{n - 1}} = \frac{{39366}}{{18}} = 2187 = {3^7} \Rightarrow n = 8\\ \Rightarrow {S_8} = {u_1}.\frac{{1 - {q^8}}}{{1 - q}} = 18.\frac{{1 - {3^8}}}{{1 - 3}} = 59040 \end{array}\) Câu b:Tương tự, ta có: \(\begin{array}{l} q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = - \frac{1}{2}\\ {u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} \Rightarrow \frac{1}{{1048576}} = \frac{1}{{256}}.{\left( { - \frac{1}{2}} \right){n - 1}}\\ \Rightarrow n = 13 \Rightarrow {S_{13}} = \frac{1}{{256}}.\frac{{1 - {{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}{13}}}}{{1 - \left( { - \frac{1}{2}} \right)}} = \frac{{2731}}{{{2^{10}}}} = \frac{{2731}}{{1048576}} \end{array}\) Bài 37 trang 121 SGK Toán 11 nâng caoBốn góc lượng giác có số đo dương lâp thành một cấp số nhân có tổng là 3600. Hãy tìm bốn góc đó, biết rằng số đo của góc lớn nhất gấp 8 lần số đo của góc nhỏ nhất. Hướng dẫn giải:Kí hiệu A, B, C, D là số đo bốn góc (tính theo đơn vị độ) của tứ giác lồi đã cho. Không mất tổng quát, giả sử A ≤ B ≤ C ≤ D. Khi đó, từ giả thiết của bài toán ta có D = 8A, và A, B, C, D theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. |