- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Bài giảng: Các dạng bài tìm cực trị của hàm số - Cô Nguyễn Phương Anh [Giáo viên VietJack]
a. Kiến thức cần nhớ
- Đạo hàm của hàm hợp:
[f[u[x]]]' = u'[x].f'[u[x]]
- Tính chất đổi dấu của biểu thức:
Gọi x = α là một nghiệm của phương trình: f[x] = 0. Khi đó
+] Nếu x = α là nghiệm bội bậc chẳn [[x - α]2,[x - α]4,...] thì hàm số y = f[x] không đổi dấu khi đi qua α.
+] Nếu x = α là nghiệm đơn hoặc nghiệm bội bậc lẻ [[x - α],[x - α]3,...] thì hàm số y = f[x] đổi dấu khi đi qua α.
b. Phương pháp
Đề tìm cực trị của hàm số y = f[u[x]] ta làm như sau:
- Bước 1: Tính [f[u[x]]]'
- Bước 2: Giải phương trình [f[u[x]]]' = 0 dựa vào đồ thị hay bảng biến thiên của hàm số y = f[x]
- Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số
- Bước 4: Kết luận về các điểm cực trị
Ví dụ 1: Cho hàm số y = f[x]. Đồ thị hàm số y = f'[x] như hình bên.
Tìm số điểm cực trị của hàm số g[x] = f[x2 - 3].
A. 2.
B. 3
C. 4.
D. 5.
Lời giải
Chọn B
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có 3 điểm cực trị.
Ví dụ 2: Cho hàm số y = f[x] có đạo hàm trên R và có bảng xét dấu của y = f'[x] như sau
Hỏi hàm số g[x] = f[x2 - 2x] có bao nhiêu điểm cực tiểu ?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Lời giải
Chọn A
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có một điểm cực tiểu.
Ví dụ 3: Cho hàm số y = f[x] có đạo hàm liên tục trên R. Đồ thị hàm số y = f'[x] như hình vẽ sau. Số điểm cực trị của hàm số y = f[x] + 2x là:
A. 4.
B. 1.
C. 3.
D. 2.
Lời giải
Chọn B
Dựa vào đồ thị ta có: Trên [-∞;-1] thì f'[x] > -2 ⇔ f'[x] + 2 > 0.
Trên [-1;x0] thì f'[x] > -2 ⇔ f'[x] + 2 > 0.
Trên [x0;+∞] thì f'[x] < -2 ⇔ f'[x] + 2 < 0.
Bảng biến thiên của hàm g[x]
Vậy hàm số g[x] = f[x] + 2x có 1 cực trị.
Bài 1: Cho hàm số y = f[x] có đạo hàm f'[x] trên R và đồ thị của hàm số f'[x] như hình vẽ.
Tìm số điểm cực trụ hàm số g[x] = f[x2 - 2x - 1].
A. 6
B. 5.
C. 4.
D. 3.
Lời giải
Chọn D
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số có đúng ba cực trị.
Bài 2: Cho hàm số y = f[x] có đồ thị hàm số như hình bên.
Hàm số g[x] = f[-x2 + 3x] có bao nhiêu điểm cực đại?
A. 3.
B. 4
C. 5.
D. 6.
Lời giải
Chọn C
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có 5 điểm cực trị.
Bài 3: Cho hàm số y = f[x] có bảng biến thiên như sau
Tìm số điểm cực trị của hàm số g[x] = f[3 - x].
A. 2.
B. 3.
C. 5.
D. 6.
Lời giải
Chọn B
Vậy hàm số g[x] = f[3 - x] có 3 điểm cực trị.
Bài 4: Cho hàm số y = f[x] có đạo hàm trên R Đồ thị hàm số y = f'[x] như hình vẽ bên dưới. Hỏi đồ thị hàm số g[x] = f[x] + 3x có bao nhiểu điểm cực trị ?
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 7.
Lời giải
Chọn B
Ta có g'[x] = f'[x] + 3; g'[x] = 0 ⇔ f'[x] = -3.
Suy ra số nghiệm của phương trình g'[x] = 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số f'[x] và đường thẳng y = -3.
Dựa vào đồ thị ta suy ra
Bài 5: Cho hàm số y = f[x] có đạo hàm trên R. Đồ thị của hàm số y = f'[x] như hình vẽ.
Tìm số điểm cực trị của hàm số g[x] = 2f[x] - x2 + 2x + 2017.
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 7.
Lời giải
Chọn B
Ta có g'[x] = 2f'[x]-2x + 2 = 2[f'[x]-[x-1]].
Dựa vào hình vẽ ta thấy đường thẳng y = x-1 cắt đồ thị hàm số y = f'[x] tại 3 điểm: [-1;-2], [1;0], [3;2].
Dựa vào đồ thị ta có
Vậy hàm số y = g[x] có 3 điểm cực trị.
Bài 6: Cho hàm số bậc bốn y = f[x]. Đồ thị hình bên dưới là đồ thị của đạo hàm f'[x]. Hàm số
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Lời giải
Chọn C
Bảng xét dấu
Từ đó suy ra hàm số
Bài 7: Cho hàm số f[x], bảng biến thiên của hàm số f'[x] như sau:
Số điểm cực trị của hàm số y = f[4x2 - 4x] là
A. 9.
B. 5.
C. 7.
D. 3.
Lời giải
Chọn B
Vậy phương trình y' = 0 có 7 nghiệm bội lẻ phân biệt nên hàm số có 7 điểm cực trị.
Bài 8: Cho hàm số y = f[x] có đạo hàm trên R Đồ thị hàm số y = f'[x] như hình vẽ bên dưới.
Hàm số
A. x = -1.
B. x = 0.
C. x = 1.
D. x = 2.
Lời giải
Chọn C
Ta có g'[x] = f'[x] - x2 + 2x - 1; g'[x] = 0 ⇔ f'[x] = [x - 1]2.
Suy ra số nghiệm của phương trình g'[x] = 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số f'[x] và parapol [P]: y = [x-1]2.
Dựa vào đồ thị ta suy ra
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g[x] đạt cực đại tại x = 1.
Bài 9: Cho hàm số y = f[x] có đạo hàm trên R Đồ thị hàm số y = f'[x] như hình vẽ bên dưới. Hàm số g[x] = 2f[x]+x2 đạt cực tiểu tại điểm
A. x = -1.
B. x = 0.
C. x = 1.
D. x = 2.
Lời giải
Chọn B
Ta có g'[x] = 2f'[x] + 2x; g'[x] = 0 ⇔ f'[x] = -x.
Suy ra số nghiệm của phương trình g'[x] = 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số f'[x] và đường thẳng y = -x.
Dựa vào đồ thị ta suy ra
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g[x] đạt cực tiểu tại x = 0.
Bài 10: Cho hàm số y = f[x] có đồ thị như hình vẽ bên.
Hàm số g[x] = f[f[x]] có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 3.
B. 5.
C. 4.
D. 6.
Lời giải
Chọn C
Dựa vào đồ thị suy ra:
● Phương trình [1] có hai nghiệm x = 0 [nghiệm kép] và x = a[a > 2].
● Phương trình [2] có một nghiệm x = b[b > a].
Vậy phương trình g'[x] = 0 có nghiệm bội lẻ là x = 0, x = 2, x = a và x = b. Suy ra hàm số g[x] = f[f[x]] có 4 điểm cực trị.
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
ung-dung-dao-ham-de-khao-sat-va-ve-do-thi-cua-ham-so.jsp