VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Tìm điều kiện để hàm số bậc 3 có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.
Nội dung bài viết Tìm điều kiện để hàm số bậc 3 có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước: HÀM SỐ BẬC 3: y = ax + bx + cx + dx. Hàm số không có cực trị. Hàm số có hai điểm cực trị. Đối với trường hợp hàm bậc ba có hai điểm cực trị, ta có bài toán tổng quát sau đây: BÀI TOÁN TỔNG QUÁT: Cho hàm số y. Tìm tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại xx, thỏa mãn điều kiện K cho trước? Phương pháp: Bước 1: Tập xác định: D = IR. Đạo hàm. Bước 2: Hàm số có cực trị [hai cực trị, hai cực trị phân biệt hay có cực đại và cực tiểu]. Phương trình y =0 có hai nghiệm phân biệt. Bước 3: Gọi x là hai nghiệm của phương trình y = 0. Bước 4: Biến đổi điều kiện K về dạng tổng s và tích P. Từ đó giải ra tìm được m € D. Bước 5: Kết luận các giá trị m thỏa mãn. MỘT SỐ DẠNG TOÁN TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC. Gọi x là các điểm cực trị của hàm số, là các giá trị cực trị của hàm số. Điều kiện để hàm số có cực trị cùng dấu, trái dấu. Chú ý: Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng khi có 1 nghiệm, có 3 nghiệm lập thành cấp số nhân khi có 1 nghiệm. Tìm điều kiện để hai hàm số có hai cực trị, nằm cùng phía, khác phía so với một đường thẳng.
1.3.5 Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu song song vuông góc] với đường thẳng d. 1.3.6 Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng d. 1.3.7 Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho AIAB có diện tích S cho trước [với I là điểm cho trước]. 1.3.8 Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B đối xứng qua đường thẳng d cho trước. 1.3.9 Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B cách đều đườn g d cho trước. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. Giải điều kiện. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B và khoảng cách giữa hai điểm A, B là lớn nhất [nhỏ nhất]. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. Tìm toạ độ các điểm cực trị A, B [có thể dùng pt đường thẳng qua hai điểm cực trị]. Tính AB.
1. Phương trình trùng phương
- Là phương trình có dạng \[a{x^4} + b{x^2} + c = 0\left[ {a \ne 0} \right]\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ * \right]\]
- Phương pháp:
+] Đặt \[t = {x^2}\left[ {t \ge 0} \right]\] thì \[\left[ * \right] \Leftrightarrow a{t^2} + bt + c = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ {**} \right]\]
+] Để xác định số nghiệm của $[ * ],$ ta dựa vào số nghiệm của $[ * * ]$ và dấu của chúng, cụ thể:
$ \bullet $ Phương trình $[ * ]$ vô nghiệm \[ \Leftrightarrow \left[ {**} \right]\] vô nghiệm hoặc có nghiệm kép âm hoặc có hai nghiệm phân biệt âm.
$ \bullet $ Phương trình $[ * ]$ có $1$ nghiệm \[ \Leftrightarrow \left[ {**} \right]\] có nghiệm kép \[{t_1} = {t_2} = 0\] hoặc \[\left[ {**} \right]\] có \[1\] nghiệm bằng \[0\], nghiệm còn lại âm.
$ \bullet $ Phương trình $[ * ]$ có $2$ nghiệm phân biệt \[ \Leftrightarrow \left[ {**} \right]\] có nghiệm kép dương hoặc \[\left[ {**} \right]\] có \[2\] nghiệm trái dấu.
$ \bullet $ Phương trình $[ * ]$ có $3$ nghiệm $ \Leftrightarrow [ * * ]$ có $1$ nghiệm bằng $0$ và nghiệm còn lại dương.
$ \bullet $ Phương trình $[ * ]$ có $4$ nghiệm $ \Leftrightarrow [ * * ]$ có $2$ nghiệm dương phân biệt.
2. Một số dạng phương trình bậc bốn quy về bậc hai
Loại 1: $a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + e = 0$ với $\dfrac{e}{a} = {\left[ {\dfrac{d}{b}} \right]^2} \ne 0$
Phương pháp giải:
- Bước 1: Chia hai vế cho ${x^2} \ne 0$
- Bước 2: Đặt $t = x + \dfrac{\alpha }{x} \Rightarrow {t^2} = {\left[ {x + \dfrac{\alpha }{x}} \right]^2}$ với $\alpha = \dfrac{d}{b}$ và thay vào phương trình.
Loại 2: $[x + a][x + b][x + c][x + d] = e$ với $a + c = b + d$
Phương pháp giải:
- Bước 1: Biến đổi:
$\left[ {[x + a][x + c]} \right] \cdot \left[ {[x + b][x + d]} \right] = e \Leftrightarrow \left[ {{x^2} + [a + c]x + ac} \right] \cdot \left[ {{x^2} + [b + d]x + bd} \right] = e$
- Bước 2: Đặt $t = {x^2} + [a + c]x$ và thay vào phương trình.
Loại 3: $[x + a][x + b][x + c][x + d] = e{x^2}$ với $a.b = c.d.$
Phương pháp giải:
- Bước 1: Đặt $t = {x^2} + ab + \dfrac{{a + b + c + d}}{2} \cdot x$
- Bước 2: Phương trình$ \Leftrightarrow \left[ {t + \dfrac{{a + b - c - d}}{2} \cdot x} \right] \cdot \left[ {t - \dfrac{{a + b - c - d}}{2} \cdot x} \right] = e{x^2}$ [có dạng đẳng cấp]
Loại 4: ${[x + a]^4} + {[x + b]^4} = c$
Phương pháp giải:
- Bước 1: Đặt $x = t - \dfrac{{a + b}}{2} \Rightarrow {[t + \alpha ]^4} + {[t - \alpha ]^4} = c$ với $\alpha = \dfrac{{a - b}}{2} \cdot $
- Bước 2: Giải phương trình trên tìm \[t\] rồi suy ra \[x\].
Loại 5: ${x^4} = a{x^2} + bx + c\,\,\,\,\,\left[ 1 \right]$
Phương pháp giải:
- Bước 1: Tạo ra dạng ${A^2} = {B^2}$ bằng cách thêm hai vế cho một lượng $2k.{x^2} + {k^2}$
- Bước 2: Phương trình [1] tương đương:
${[{x^2}]^2} + 2k{x^2} + {k^2} = [2k + a]{x^2} + bx + c + {k^2} \Leftrightarrow {[{x^2} + k]^2} = [2k + a]{x^2} + bx + c + {k^2}.$
- Bước 3: Cần vế phải có dạng bình phương $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2k + a > 0\\{\Delta _{VP}} = {b^2} - 4[2k + a][c + {k^2}] = 0\end{array} \right. \Rightarrow k = ?$
Loại 6: ${x^4} + a{x^3} = b{x^2} + cx + d\,\,\,\,\,\left[ 2 \right]$
Phương pháp giải:
- Bước 1: Tạo ${A^2} = {B^2}$ bằng cách thêm ở vế trái 1 biểu thức để tạo ra dạng bình phương: ${\left[ {{x^2} + \dfrac{a}{2}x + k} \right]^2} = {x^4} + a{x^3} + \left[ {2k + \dfrac{{{a^2}}}{4}} \right]{x^2} + kax + {k^2}.$
Do đó ta sẽ cộng thêm hai vế của phương trình [2] một lượng: $\left[ {2k + \dfrac{{{a^2}}}{4}} \right]{x^2} + kax + {k^2},$ thì phương trình
$[2] \Leftrightarrow {\left[ {{x^2} + \dfrac{a}{2}x + k} \right]^2} = \left[ {2k + \dfrac{{{a^2}}}{4} + b} \right]{x^2} + [ka + c]x + {k^2} + d.$
- Bước 2: Cần vế phải có dạng bình phương nên phải có số $k$ thỏa:
$\left\{ \begin{array}{l}2k + \dfrac{{{a^2}}}{4} + b > 0\\{\Delta _{VP}} = {[ka + c]^2} - 4\left[ {2k + \dfrac{{{a^2}}}{4} + b} \right][{k^2} + d] = 0\end{array} \right. \Rightarrow k = ?$
3. Giải phương trình bậc ba bằng lược đồ Hoocner
Khi gặp bài toán chứa tham số trong phương trình bậc ba, ta thường dùng nguyên tắc nhẩm nghiệm sau đó chia Hoocner.
Nguyên tắc nhẩm nghiệm:
$ \bullet $ Nếu tổng các hệ số bằng $0$ thì phương trình sẽ có $1$ nghiệm $x = 1.$
$ \bullet $ Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì PT có $1$ nghiệm $x = - 1.$
$ \bullet $ Nếu phương trình chứa tham số, ta sẽ chọn nghiệm $x$ sao cho triệt tiêu đi tham số $m$ và thử lại tính đúng sai.
Chia Hoocner: đầu rơi – nhân tới – cộng chéo.