Phương trình bậc nhất hai ẩn Lý thuyết

Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là hệ thức dạng. Lý thuyết Phương trình bậc nhất hai ẩn. Bài 1. Phương trình bậc nhất hai ẩn.

A. Kiến thức cơ bản:

1. Khái niệm:

Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là hệ thức dạng:

ax + by = c                  [1]

Trong đó a, b và cc là các số đã biết [a ≠ b hoặc b ≠ 0].

2. Tập hợp nghiệm của phương trình:

a] Một nghiệm của phương trình [1] là một cặp số

[x0, y0] sao cho ax0 + by0 = c.

b] Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi đường thẳng ax + by = c,

kí hiệu là [d].

–  Nếu a ≠ 0 và b ≠ 0 thì công thức nghiệm là:

\[\left\{\begin{matrix} x \in R & & \\ y = \frac{c – ax}{b} & & \end{matrix}\right.\] hoặc \[\left\{\begin{matrix} x = \frac{c – by}{a} & & \\ y \in R & & \end{matrix}\right.\]

Khi đó đường thẳng [d] cắt cả hai trục tọa độ.

– Nếu a = 0, b ≠ 0 thì công thức nghiệm là:

\[\left\{\begin{matrix} x \in R & & \\ y = \frac{c}{b} & & \end{matrix}\right.\] và [d] // Ox

– Nếu a ≠ 0, b = 0 thì công thức nghiệm là:

\[\left\{\begin{matrix} x = \frac{c}{a} & & \\ y \in R & & \end{matrix}\right.\] và [d] // Oy.

1. Các kiến thức cần nhớ

Khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

- Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng:

$\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[1]\\a'x + b'y = c'\,\,\,[2]\end{array} \right.$

Trong đó $a, b, c, a’, b’, c’$ là các số thực cho trước, $x$ và $y$ là ẩn số

- Nếu hai phương trình [1] và [2] có nghiệm chung $[{x_0},\,{y_0}]$thì$[{x_0},\,{y_0}]$ được gọi là nghiệm của hệ phương trình. Nếu hai phương trình [1] và [2] không có nghiệm chung thì hệ phương trình vô nghiệm.

- Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó.

Hai hệ phương trình được gọi là tương đương  nếu chúng có cùng tập nghiệm

Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

- Tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi tập hợp các điểm chung của hai đường thẳng \[d:ax + by = c\] và \[d':a'x + b'y = c'.\]

Trường hợp 1. \[d \cap d' = A\left[ {{x_0};{y_0}} \right] \Leftrightarrow \] Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[\left[ {{x_0};{y_0}} \right]\];

Trường hợp 2. \[d//d' \Leftrightarrow \] Hệ phương trình vô nghiệm;

Trường hợp 3. \[d \equiv d' \Leftrightarrow \] Hệ phương trình có vô số nghiệm.

2. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Dự đoán số nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Tìm giá trị của tham số để hệ phương trình có số nghiệm yêu cầu.

Phương pháp:

Xét hệ phương trình bậc nhất hai ẩn \[\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\]

- Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[ \Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} \ne \dfrac{b}{{b'}}\]

- Hệ phương trình vô nghiệm \[ \Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} \ne \dfrac{c}{{c'}}\]

- Hệ phương trình có vô số nghiệm \[ \Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} = \dfrac{c}{{c'}}\]

Dạng 2: Kiểm tra cặp số cho trước có là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn hay không?

Phương pháp:

Cặp số \[\left[ {{x_0};{y_0}} \right]\] là nghiệm của hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\] khi và chỉ khi nó thỏa mãn cả hai phương trình của hệ.

Dạng 3: Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp đồ thị

Phương pháp:

Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn $\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.$ bằng phương pháp đồ thị ta làm như sau:

Bước 1. Vẽ hai đường thẳng \[d:ax + by = c\] và \[d':a'x + b'y = c'\] trên cùng một hệ trục tọa độ. Hoặc tìm tọa độ giao điểm củ hai đường thẳng.

Bước 2. Xác định nghiệm của hệ phương trình dựa vào đồ thị đã vẽ ở bước 1 [hay nghiệm của hệ phương trình chính là tọa độ giao điểm của hai đường thẳng].

Phương trình bậc nhất hai ẩn là gì? Lý thuyết và cách giải phương trình bậc nhất hai ẩn? Các dạng bài tập về phương trình bậc nhất hai ẩn?… Trong bài viết dưới đây, hãy cùng DINHNGHIA.VN tìm hiểu về chủ đề phương trình bậc nhất hai ẩn cùng những nội dung liên quan.

Khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn là gì?

Phương trình bậc nhất hai ẩn x,y là hệ thức dạng:\[ax+by=c[1]\]

Trong đó a, b và c là các số đã biết [\[a\neq b\] hoặc [\[b\neq 0\]

Ví dụ: \[2x+y=3\]

\[x-6y=5\]

Nếu giá trị của vế trái tại \[x=x_{0};y=y_{0}\] và vế phải bằng nhau thì \[x_{0};y_{0}\] được gọi là một nghiệm của phương trình [1].

Lưu ý: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, mỗi nghiệm của [1] được biểu diễn bởi một điểm. Nghiệm \[x_{0};y_{0}\] được biểu diễn bởi điểm có tọa độ \[x_{0};y_{0}\].

Với phương trình bậc nhất hai ẩn, khái niệm tập nghiệm và phương trình tương đương cũng tương tự như đối với phương trình một ẩn. Bên cạnh đó, ta vẫn có thể áp dụng quy tắc chuyển vế cũng như quy tắc nhân đã học để biến đổi phương trình bậc nhất hai ẩn.

Tập hợp nghiệm phương trình bậc nhất hai ẩn

Vậy phương trình bậc nhất hai ẩn có bao nhiêu nghiệm?

Một nghiệm của phương trình \[ax+by=c\]là một cặp số \[[x_{0};y_{0}]\]  sao cho \[ax_{0}+by_{0}=c\]

Phương trình bậc nhất hai ẩn ax+by=cax+by=c luôn có vô số nghiệm

Tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi đường thẳng \[ax+by=c\] kí hiệu là [d]

• Nếu \[a\neq 0\] và \[b\neq 0\]  thì công thức nghiệm là:

\[\left\{\begin{matrix} x & \epsilon& R\\ y & = & \frac{c-ax}{b} \end{matrix}\right.\]

hoặc \[\left\{\begin{matrix} x & =& \frac{c-by}{a}\\ y & \epsilon & R \end{matrix}\right.\]

Khi đó đường thẳng [d] sẽ cắt cả hai trục tọa độ.

• Nếu \[a=0, b\neq 0\] thì công thức nghiệm là:

\[\left\{\begin{matrix} x & \epsilon & R\\ y & =& \frac{c}{b} \end{matrix}\right.\]

Khi đó đường thẳng \[[d]//Ox\]

• Nếu \[a\neq 0, b=0\] thì công thức nghiệm là:

\[\left\{\begin{matrix} x & = &\frac{c}{a} \\ y &\epsilon & R \end{matrix}\right.\]

Khi đó đường thẳng \[[d]//Oy\]

Ví dụ phương trình bậc nhất hai ẩn:

Cách giải phương trình bậc nhất hai ẩn

Cho phương trình \[3x-y=2\]

Tìm công thức nghiệm tổng quát và biểu thị tập nghiệm trên trục số.

Trong bài viết tiếp theo, Dinhnghia.vn sẽ giới thiệu cụ thể hơn với các bạn về cách giải phương trình bậc nhất hai ẩn. Cùng theo dõi nhé!

Bài viết trên đây đã cung cấp cho các bạn những kiến thức hữu ích. Hy vọng những thông tin trên đây đã giúp ích cho bạn trong quá trình tìm tòi và nghiên cứu của bản thân về chủ đề phương trình bậc nhất hai ẩn. Chúc bạn luôn học tốt!

Please follow and like us:

Mời các em tham khảo tổng hợp lý thuyết phương trình bậc nhất hai ẩn cùng một số dạng bài thường gặp và hướng dẫn cách làm, qua đó nắm được các định lý, công thức và áp dụng hoàn thành các bài tập.

Cùng xem nhé!

I. Lý thuyết phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn là phương trình có dạng ax + by = c

Trong đó a,b,c  là những số cho trước  hoặc .

- Nếu các số thực thỏa mãn ax + by = c thì cặp số được gọi là nghiệm của phương trình ax + by = c.

- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , mỗi nghiệm của phương trình ax + by = c được biểu diễn bới điểm có tọa độ .

2. Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn có vô số nghiệm.

Tập nghiệm của phương trình được biểu diễn bởi đường thẳng d: ax + by = c.

+] Nếu và b = 0 thì phương trình có nghiệm  

và đường thẳng d  song song hoặc trùng với trục tung.

+] Nếu a = 0 và b  0  thì phương trình có nghiệm 

và đường thẳng d  song song hoặc trùng với trục hoành.

+] Nếu a \ne 0 và b \ne 0 thì phương trình có nghiệm 

và đường thẳng d  là đồ thị hàm số 

II. Các dạng toán thường gặp về phương trình bậc nhất hai ẩn

Dạng 1: Tìm điều kiện của tham số để một cặp số cho trước là nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn.

Phương pháp:

Nếu cặp số thực  thỏa mãn ax + by = c thì nó được gọi là nghiệm của phương trình ax + by = c.

Dạng 2: Viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc nhất hai ẩn. Biểu diễn tập nghiệm trên hệ trục tọa độ.

Phương pháp:

Xét phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c.

1. Để viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình, trước tiên ta biểu diễn x theo y [ hoặc y theo x] rồi đưa ra công thức nghiệm tổng quát.

2. Để biểu diễn tập nghiệm của phương trình trên mặt phẳng tọa độ, ta vẽ đường thẳng d có phương trình ax + by = c.

Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để đường thẳng ax + by = c thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp:

Ta có thể sử dụng một số lưu ý sau đây khi giải dạng toán này:

1. Nếu a  0 và b = 0 thì phương trình đường thẳng d: ax + by = c có dạng .  Khi đó d song song hoặc trùng với Oy .

2. Nếu a = 0 và b 0 thì phương trình đường thẳng d: ax + by = c có dạng .  Khi đó d song song hoặc trùng với Ox .

3. Đường thẳng d:ax + by = c đi qua điểm khi và chỉ khi 

Dạng 4: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương pháp:

Để tìm các nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c, ta làm như sau:

Cách 1:

Bước 1: Rút gọn phương trình, chú ý đến tính chia hết của các ẩn

Bước 2:  Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ [chẳng hạn x ] theo ẩn kia.

Bước 3:  Tách riêng giá trị nguyên ở biểu thức của x

Bước 4:  Đặt điều kiện để phân bố trong biểu thức của x bằng một số nguyên t, ta được một phương trình bậc nhất hai ẩn y và t

-  Cứ tiếp tục như trên cho đến khi các ần đều được biểu thị dưới dạng một đa thức với các hệ số nguyên.

Cách 2:

Bước 1. Tìm một nghiệm nguyên của phương trình.

Bước 2. Đưa phương trình về dạng từ đó dễ dàng tìm được các nghiệm nguyên của phương trình đã cho.

III. Bài tập về phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình nào sau đây xác định một hàm số dạng \displaystyle y = ax + b?

a] 

b] 

c] 

d] 

Lời giải:

a] .

Phương trình trên xác định một hàm số dạng với

b] 

Phương trình trên xác định một hàm số  dạng y = ax + b với 

c] 

Phương trình trên xác định một hàm số dạng y = ax + b với

d] 

Phương trình trên không xác định hàm số dạng y = ax + b

=>> Xem thêm nhiều bài tập khác trong chuyên đề toán 9 chương 3 bài 1 để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng làm bài

*******************

Trên đây là tổng hợp lý thuyết phương trình bậc nhất hai ẩn và các dạng bài thường gặp bao gồm các kiến thức cần nắm và cách làm các dạng bài tập liên quan mà Đọc tài liệu đã tổng hợp. Hy vọng đây sẽ là tài liệu học tập hữu ích cho các em học sinh cũng như các phụ huynh trong quá trình dạy học cho con em mình tại nhà. Ngoài ra đừng quên xem thêm những kiến thức khác và cách giải Toán 9 được cập nhật liên tục tại doctailieu.com. Chúc các em luôn học tốt và đạt kết quả cao!