Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THEO MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

LỜI GIẢI

1].

[1]. Đặt . Phương trình [1] trở thành: . So với điều kiện nhận cả hai nghiệm.

Với

Với

Kết luận nghiệm của phương trình:

, ,

2].

[1]. Đặt . Phương trình [1] trở thành: . So với điều kiện nhận

Kết luận nghiệm của phương trình:

3].

[1]. Đặt . Phương trình [1] trở thành: . So với điều kiện nhận , suy ra :

Hoặc đặt

, suy ra

Vậy nghiệm của phương trình:

4].

[1]. Đặt .

Phương trình [1] trở thành:

.

Với

.

Với

.

So với điều kiện nhận cả hai nghiệm

Vậy nghiệm của phương trình:

,

5].

[1]

Đặt

. Phương trình [1] trở thành:

. So với điều kiện hai nghiệm đều nhận

Với

Với

Vậy nghiệm của phương trình:

6].

Đặt

. Phương trình [1] trở thành:

Với

Với

.

Vậy nghiệm của phương trình:

,

7].

. Đặt . Phương trình [1] trở thành:

So với điều kiện hai nghiệm đều nhận.

Với

Với

Vậy nghiệm của phương trình:

,

8].

[1]

Đặt

. Phương trình [1'] trở thành: . So với điều kiện nhận . Với .

Vậy nghiệm của phương trình:

,

LỜI GIẢI

1].

. Điều kiện

Đặt

. Phương trình [1'] trở thành:

Với

.

Với

.

Vậy nghiệm của phương trình là:

2].

. Điều kiện

Đặt

. Phương trình [1'] trở thành:

Với

.

Với

.

Vậy nghiệm của phương trình:

3].

. Đặt . Phương trình [1'] trở thành: [loại].

Với

.

Vậy nghiệm của phương trình:

4].

Các bạn để ý:

, nên ta nghĩ ngay đến công thức nhân đôi để đưa về phương trình bậc 2 theo cos, ta thực hiện như sau:

, cả hai nghiệm này đều nhận.

.

Vậy nghiệm của phương trình:

5].

[1]. Đặt . Phương trình [1] trở thành: .

Vậy nghiệm của phương trình:

6].

Đặt

. Phương trình [1] trở thành:

, so với điều kiện nhận .

Với

Với

.

Vậy nghiệm của phương trình:

7].

Ta có

Đặt

. Phương trình [1'] trở thành: , so với điều kiện nhận , suy ra

Vậy nghiệm của phương trình:

.

8].

[loại].

Với

Vậy nghiệm của phương trình:

9].

. Điều kiện

.

Với

Với

.

Vậy nghiệm của phương trình:

10].

. Đặt

[loại].

Với

Vậy nghiệm của phương trình:

.

11].

[loại].

.

Vậy nghiệm của phương trình:

.

12].

[loại].

Với

Vậy nghiệm của phương trình:

.

13].

Biến đổi tích về tổng được:

Sau đó sử dụng công thức nhân đôi và hạ bậc:

.

Đặt

. Phương trình [1'] trở thành: . So với điều kiện nhận , suy ra:

Vậy nghiệm của phương trình:

LỜI GIẢI

1].

Đặt

.

Với : , đặt

[loại].

Với , đặt

[phương trình vô nghiệm].

Vậy nghiệm của phương trình:

.

2].

Đặt

Với

[loại].

.

Với

hoặc [loại].

.

Vậy nghiệm của phương trình:

3].

Đặt

Với

.

Với

[phương trình vô nghiệm].

Vậy nghiệm của phương trình:

.

4].

Đặt

.

Có:

.

Có:

.

.

.

Với

.

Vậy nghiệm của phương trình:

.

LỜI GIẢI

1].

Đặt

. Phương trình [1'] trở thành:

. So với điều kiện nhận

Vậy nghiệm của phương trình:

.

2].

Vậy nghiệm của phương trình:

.

3].

. Đặt

.

Với

Với

Vậy nghiệm của phương trình:

4].

Với

Với

.

Vậy nghiệm của phương trình:

,

5].

[1]. Đặt . Phương trình [1] trở thành: [loại].

Kết luận phương trình vô nghiệm.

6].

Với

.

Với

Vậy nghiệm của phương trình:

LỜI GIẢI

1].

Với

Với

Vậy nghiệm của phương trình:

,

2].

. Điều kiện

Ta có:

Vậy nghiệm của phương trình:

3].

. Điều kiện

.

Với

[loại]

Với

Vậy nghiệm của phương trình:

4].

[loại].

Với

Với Vậy nghiệm của phương trình:

5].

. Điều kiện

Với

.

Với

[vô nghiệm].

Vậy nghiệm của phương trình:

6].

. Điều kiện: .

.

.

.

.

hoặc [ vô nghiệm].

Với

, so với điều kiện thỏa.

Vậy nghiệm của phương trình:

7].

[ĐH khối A 2005].

[loại].

Với

.

Vậy nghiệm của phương trình:

8].

[ĐH khối D 2005].

hoặc [loại].

Với

.

Vậy nghiệm của phương trình:

.

9].

[ĐH khối A 2010].

Điều kiện

.

.

[loại].

Với

So với điều kiện nghiệm của phương trình

.

LỜI GIẢI

Điều kiện :

[nhận] hoặc [loại].

Với

Vậy nghiệm của phương trình:

.

LỜI GIẢI

[1]

Điều kiện :

[1]

.

Vậy nghiệm của phương trình:

.

LỜI GIẢI

.

Đặt

[loại].

Với

.

Với

.

Kết luận nghiệm của phương trình

,

LỜI GIẢI

[1]

Điều kiện :

[1]

Với

Với

So với điều kiện nghiệm của phương trình