Số mũ nguyên dương là gì
Bài viết trình bày tóm tắt lý thuyết và một số dạng bài tập lũy thừa với số mũ hữu tỉ, lũy thừa với số mũ thực, hàm số lũy thừa. A. TÓM TẮT SÁCH GIÁO KHOA II. Căn bậc $n$ và lũy thừa số mũ hữu tỉ: III. Lũy thừa với số mũ thực: B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 2. CÁC VÍ DỤ: a) Ta có: $A = {\left( {\frac{1}{{256}}} \right)^{ – 0,75}} +
{\left( {\frac{1}{{27}}} \right)^{ – \frac{4}{3}}}$ $ = {\left( {{4^{ – 4}}} \right)^{ – \frac{3}{4}}} + {\left( {{3^{ – 3}}} \right)^{ – \frac{4}{3}}}$ $ = {4^3} + {3^4} = 91.$ Ví dụ 2: Tính giá trị các biểu
thức: a) Ta có: $A = \sqrt[3]{{\frac{{125}}{{64}}}}.\sqrt[4]{{81}}$ $ = \frac{{\sqrt[3]{{{5^3}}}.\sqrt[4]{{{3^4}}}}}{{\sqrt[3]{{{4^3}}}}}$ $ = \frac{{5.3}}{4} = \frac{{15}}{4}.$ Ví dụ 3: Tính giá trị các biểu thức: a) Ta có: $A = {4^{\frac{{17}}{7}}}:{4^{\frac{3}{7}}} – {2^{\frac{{11}}{5}}}{.2^{\frac{4}{5}}}$
$ = {4^{\frac{{17}}{7} – \frac{3}{7}}} – {2^{\frac{{11}}{5} + \frac{4}{5}}}$ $ = {4^2} – {2^3} = 8.$ Ví dụ 4: Rút gọn các biểu thức rồi tính: a) Sử dụng tính chất $\sqrt[n]{{{a^m}}} = {a^{\frac{m}{n}}}$ của căn thức và các tính chất lũy thừa ta có: Ví dụ 5: Cho biểu thức $M = \left( {\frac{{{a^{\frac{1}{4}}} – {a^{\frac{9}{4}}}}}{{{a^{\frac{1}{4}}} – {a^{\frac{5}{4}}}}}:\frac{{{b^{ – \frac{1}{2}}} – {b^{\frac{3}{2}}}}}{{{b^{\frac{1}{2}}}
+ {b^{ – \frac{1}{2}}}}}} \right)\sqrt[3]{{\frac{a}{{{b^4}}}}}.\sqrt[6]{{\frac{{{b^{14}}}}{{{a^2}}}}}.$ a) Ta có: Ví dụ 6: Cho biểu thức: $A = {\left[ {\frac{{4a – 9{a^{ – 1}}}}{{2{a^{\frac{1}{2}}} – 3{a^{ – \frac{1}{2}}}}} + \frac{{a – 4 + 3{a^{ – 1}}}}{{{a^{\frac{1}{2}}} – {a^{ – \frac{1}{2}}}}}} \right]^2}.$ Rút gọn và tính giá trị của $A$ khi $a = 4.$ Điều kiện bài toán: $0 < a \ne 1;\frac{3}{2}.$ Ví dụ 7: Rút gọn biểu thức: $M = \frac{{{{\left( {{a^{\sqrt 5 + 1}}} \right)}^{\sqrt 5 – 1}}}}{{{a^{7 – \sqrt 2 }}.{a^{ – 3 + \sqrt 2 }}}}$ $(a > 0).$ $M = \frac{{{{\left( {{a^{\sqrt 5 + 1}}} \right)}^{\sqrt 5 – 1}}}}{{{a^{7 – \sqrt 2 }}.{a^{ – 3 + \sqrt 2 }}}}$ $ = \frac{{{a^{(\sqrt 5 + 1)(\sqrt 5 – 1)}}}}{{{a^{7 – \sqrt 2 – 3 + \sqrt 2 }}}} = \frac{{{a^{5 – 1}}}}{{{a^4}}} = 1.$ Ví dụ 8: Rút gọn biểu thức: $X = \frac{{{a^{\frac{4}{3}}}b + a{b^{\frac{4}{3}}}}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}}$ $(a,b > 0).$ Ta có: $X = \frac{{{a^{\frac{4}{3}}}b + a{b^{\frac{4}{3}}}}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}}$ $ = \frac{{ab\left( {{a^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{1}{3}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{1}{3}}}}} = ab.$ Ví dụ 9: Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào $b$: Ta có: $B = \left( {1 – 2\sqrt {\frac{b}{a}} + \frac{b}{a}} \right):{\left( {{a^{\frac{1}{2}}} – {b^{\frac{1}{2}}}} \right)^2}$ $ = {\left( { – \sqrt {\frac{b}{a}} + 1} \right)^2}:{(\sqrt a – \sqrt b )^2}$ $ = {\left( {1 – \frac{{\sqrt b }}{{\sqrt a }}} \right)^2}:{(\sqrt a – \sqrt b )^2}$ $ = \frac{{{{(\sqrt a – \sqrt b )}^2}}}{{{{(\sqrt a )}^2}}}:{(\sqrt a – \sqrt b )^2}$ $ = \frac{1}{{{{(\sqrt a )}^2}}} = \frac{1}{a}.$ Ví dụ 10: Chứng minh đẳng thức $\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} + \sqrt[3]{{7 – 5\sqrt 2 }} = 2.$ Đặt $a = \sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }}$,
$b = \sqrt[3]{{7 – 5\sqrt 2 }}$. 3. BÀI TẬP: 2. Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ: 3. Đơn giản các biểu thức sau $(a,b > 0):$ 4. Đơn giản các biểu thức sau $(a,b > 0).$ 5. Đơn giản các biểu thức sau: 6. Đơn giản các biểu thức sau: 7. Chứng minh: 8. Chứng minh rằng biểu thức $M = ab\frac{{\sqrt[n]{{\frac{{{a^{1 – n}}}}{{{b^n}}} – \frac{{{a^{ – n}}}}{{{b^{n – 1}}}}}}}}{{\sqrt[n]{{a – b}}}}$ với $0 < b < a$ không phụ thuộc vào giá trị của $a$ và $b.$ 9. Cho biểu thức $M = \frac{{a{b^{ – 2}}{{\left( {a{b^{ – 1}}} \right)}^2}\left(
{{a^{ – 1}}{b^2}} \right)}}{{{a^{ – 2}}b{{\left( {{a^{ – 2}}{b^{ – 1}}} \right)}^3}}}.$ Vấn đề 2: So sánh các lũy thừa hay căn số. 2. VÍ DỤ: a. Ta có: $m = \sqrt {42} = \sqrt[6]{{{{42}^3}}} > \sqrt[6]{{{{40}^3}}}$ và $n = \sqrt[3]{{51}} = \sqrt[6]{{{{51}^2}}} < \sqrt[6]{{{{60}^2}}}.$ 3. BÀI TẬP: 2. So sánh hai số sau: Vấn đề 3: Chứng minh một đẳng thức, bất đẳng thức. 2. VÍ DỤ: a) ${a^m} + {b^m} > {c^m}$ nếu $0 < m < 1.$ Ví dụ 2: Chứng minh với các số $a$, $b$, $x$, $y$ thỏa $a>0$, $b > 0$, $x >y>0$ ta luôn có: ${\left( {{a^x} + {b^x}} \right)^y} < {\left( {{a^y} + {b^y}} \right)^x}$ $(*).$ Vì $a, b > 0$ nên không mất tính tổng quát ta có thể giả sử $a \ge b.$ Ví dụ 3: Chứng minh bất đẳng thức: $\forall x \in R$, ta có ${2^{\sin x}} + {2^{\cos x}} \ge {2^{1 – \frac{1}{{\sqrt 2 }}}}.$ Khi nào thì dấu đẳng thức xảy ra? Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số ${2^{\sin x}}$ và ${2^{\cos x}}$ ta có: Ví dụ 4: Cho $x$, $y$, $z$ thỏa mãn: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1$ và $a{x^3} = b{y^3} = c{z^3}.$ a) Rút gọn biểu thức $A = a{x^2} + b{y^2} + c{z^2}.$ 3. BÀI TẬP: 2. Chứng minh bất đẳng thức: ${2^{2\sin x}} + {2^{\tan x}} > {2^{\frac{{3x}}{2} + 1}}$ với mọi $x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right).$ 3. Cho biểu thức $A = \left( {{9^a} – {{4.3}^a} + 1} \right)a + \left( {{a^2} + 1} \right){3^a}.$ Chứng minh rằng $A>0$ khi $a>0.$ 4. Cho $a \ge 0$, $b \ge 0$, $m > n > 0.$ Chứng minh: ${\left( {{a^m} + {b^m}} \right)^{\frac{1}{m}}} \le {\left( {{a^n} + {b^n}} \right)^{\frac{1}{n}}}.$ 5. Cho $a \ge b > 0.$ Chứng minh ${\left( {{2^a} + \frac{1}{{{2^a}}}} \right)^b} < {\left( {{2^b} + \frac{1}{{{2^b}}}} \right)^a}.$ Vấn đề 4: Giải phương trình chứa lũy thừa. 2.
CÁC VÍ DỤ: Đặt $u = \sqrt[3]{{\frac{{1 + x}}{2}}}$, $v = \sqrt {\frac{{1 – x}}{2}} $ với $v \ge 0.$ Ví dụ 2: Giải phương trình sau: $\sqrt[4]{{{x^3}}} + 2\sqrt x – 8{x^{\frac{1}{4}}} = 0$ $(1).$ Điều kiện: $x>0.$ Ví dụ 3: Giải phương trình sau: ${x^3} + 8 = 16\sqrt[3]{{x – 1}}.$ Ta có: ${x^3} + 8 =
8\sqrt[3]{{8x – 8}}$ $(1).$ 3. BÀI TẬP: 2. Giải phương trình: $\sqrt[4]{{16{x^2}}} + 5\sqrt[4]{x} – 7 = 0.$ 3. Giải các phương trình sau: 4. Giải phương trình: $2\sqrt[3]{{3x – 2}} + 3\sqrt {6 – 5x} – 8 = 0.$ 5. Tìm các số thực $x$ thỏa mãn điều kiện sau: |