So sánh tổ hợp và chỉnh hợp

by HOCTOAN24H · 21/04/2015

Video bài giảng hay: Quy tắc cộng và quy tắc nhân

Khi nói tớihai khái niệm tổ hợp và chỉnh hợp rất nhiều bạn học sinh gặp khó khăn ở chỗ này. Việc phân biệt hai khái niệm nàylà rất mơ hồ vì thế khi làm bài tập nhiều bạn không biết nên áp dụng chỉnh hợp hay tổ hợp. Bài giảng hôm nay thầy sẽ chỉ ra sự khác nhau giữa chỉnh hợp và tổ hợp để các bạn có thể hiểu rõ hơn hai khái niệm này. Trước khi đi phân tích sự không giống nhau này chúng ta sẽ cùng nhau xem lại định nghĩa chỉnh hợp và tổ hợp.

1. Định nghĩa chỉnh hợp

Cho tập hợp $A$ gồm $n$ phần tử [$n\geq 1$].

Kết quả của việc lấy $k$ phần tử khác nhau từ $n$ phần tử của tập hợp $A$ và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợpchập $k$ của $n$ phần tử đã cho.

Kí hiệu: $A^k_n$ là số các chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử [$1\leq k \leq n$].

$A^k_n = \frac{n!}{[n-k]!} = n[n-1][n-2][n-3]…[n-k+1]$ [1]

Chú ý:

• Với $ k=n\Rightarrow A^n_n =P_n = n! $. Tức là mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp hợp chập $n$ của $n$ phần tử đó.
• Quy ước: $0! =1$.

2. Định nghĩa tổ hợp

Giả sử tập $A$ có $n$ phần tử [ $n \geq 0 $]. Mỗi tập con gồm $k$ phầntử của tập $A$ được gọi là một tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử đã cho.

Kí hiệu: $C^k_n $ là số các tổ hợp chập $k$ của n phần tử [$0 \leq k \leq n$]

$C^k_n = \frac{n!}{k![n-k]!}$

Chú ý:

• Số $k$ trong định nghĩa cần thỏa mãn điều kiện [$1 \leq k \leq n$]. Tuy vậy, tập hợp không có phần tử nào là tập rỗng nên ta quy ước gọi tổ hợp chập $0$ của $n$ phần tử là tập rỗng.
• Quy ước: $C^0_n = 1$
• $C^k_n = \frac{1}{k!}.A^k_n$

*. Hai tính chất cơ bản của tổ hợp:

– Tính chất 1: $C^k_n = C^{n-k}_n$

– Tính chất 2 [công thức Pascal]: $C^{k-1}_{n-1} + C^k_{n-1} = C^k_n$

Đó là những lý thuyếtcơ bản về chỉnh hợp và tổ hợp. Nhiều bạn học sinh nói rằng em thấy hai khái niệm chỉnh hợp và tổ hợp sao nó cứ giống giống nhau thế nào ý, làm sao mà phân biệt được khi nào là tổ hợp, khi nào là chỉnh hợp?

Để các bạn có phân biệt được rõ hai khái niệm này và áp dụng được vào làm bài tập thì thầy có thể giải thích như thế này nhé:

Xem thêm bài giảng:

• Các dạng toán chỉnh hợp tổ hợp chọn vật, chọn bi ve – phần 1
• Giải phươngtrình tổ hợp và chỉnh hợp

3. Phân biệt sự khác nhau giữa chỉnh hợp và tổ hợp

– Với khái niệm chỉnh hợp:

Trong $n$ phần tử của tập $A$ ta lấy ra $k$ phần tử. Trong $k$ phần tử lấy ra này ta lại sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó, mỗi cách sắp xếp như vậy cho ta một chỉnh hợp. Chẳng hạn ta lấy ra 3 số là 1; 2; 3 sau đó từ 3 số này ta lại sắp xếp thành các số có 3 chữ số. Như vậy ta có các số là: 123; 132; 213; 231; 312; 321. Các bạn thấy đó với việc thay đổi vị trí ta lại có được các số khác nhau [6 số khác nhau]. Mỗi số đó là 1 chỉnh hợp.

– Còn đối với khái niệm tổ hợp:

Trong $n$ phần tử của tập $A$ ta lấy ra một tập con gồm $k$ phần tử [chú ý từ tập connhé]. Khi nói tới khái niệm tập hợp thì ta không phân biệt vị trí, thứ tự của các phần tử trong đó, mà ta chỉ quan tâm xem trong tập đó có bao nhiêu phần tử mà thôi.Mỗi cách lấy ra một tập con gồm $k$ phần tử như vậy cho ta một tổ hợp.

Chẳng hạn ta lấy ra 3 phần tử là các số 1; 2; 3 sau đó đặt các số này vào các vị trí khác nhau trong tập con, ta sẽ có các tập con đó là:$A = \{1; 2; 3\}$;$B = \{1; 3; 2\}$;$C = \{2; 1; 3\}$;$D = \{2; 3; 1\}$;$E = \{3; 1; 2\}$;$F = \{3; 2; 1\}$. Các bạn sẽ thấy chúng ta có 6 tập con là A; B; C; D; E; F nhưng các phần tử vẫn là 1; 2 và 3. Do vậy 6 tập con trên là bằng nhau, tức chúng chỉ là một. Đó là tổ hợp. [Trong tập hợp người ta không phân biệt vị trí của các phần tử, mà chỉ quan tâm trong tập đó có những phần tử nào.]

Như vậy số chỉnh hợp bao giờ cũng nhiều hơn số tổ hợp. Vì trong chỉnh hợp còn phân biệt cả vị trí, thứ tự của các phần tử. Nói như vậy không biết các bạn đã hiểu hơn sự khác nhau giữa chỉnh hợp và tổ hợp chưa nhỉ? Đã phân biệt được hai khái niệm này hay chưa? Thầy có thể lấy một bài tậpđơn giản như thế này để giải thích thêm hai khái niệm này nhé.

Bài tập áp dụng chỉnh hợp và tổ hợp:

a. Trong 4bạn học sinh, em hãy bầura cho thầy 3 bạn để tham gia văn nghệ.

b. Trong 4bạn học sinh, em hãy bầura cho thầy 3 bạn đểlàm lớp trưởng, lớp phó, bí thư đoàn.

Với bài tập trên thì các bạn sẽ sử dụng chỉnh hợp hay tổ hợp để làm đây?

Hướng dẫn giải:

a. Để cho dễ nhận biết thầy sẽgọi tên 4 bạn là a, b, c, d.

Giả sử thầy sẽ chọn ra 3 bạn có tên là a, b, c đi thi văn nghệ. Thầy sẽ thực hiện như sau:

Chọn người thứ 1: thầy chọn bạn a

Chọn người thứ 2: thầy chọn bạn b

Chọn người thứ 3: thầy chọn bạn c

Như vậy thầy đãchọn được 3 bạn đi thi văn nghệ làa, b và c. Vậy thầy có 1 cách chọn.

Chúng ta tiếp tục theo dõi tiếp nhé, nếu dưới đây thầy sẽ chọn khác đi 1 chút.

Chọn người thứ 1: thầy chọn bạnb

Chọn người thứ 2: thầy chọn bạnc

Chọn người thứ 3: thầy chọn bạna

Như vậy thầy cũng chọn được 3 bạn đi thi văn nghệ và vẫn là các bạn có tên là a, b, c. Như vậy thầy cũng có 1 cách chọn.

Nhưng các bạn để ý với 2 cách chọn như trên có cho ta 2 kết quả khác nhau hay không?

Không. Chúng ta cũng chỉ có được 1 kết quả duy nhất. Tuyhai cáchcó khác nhau về vị trí chọn người nhưng cuối cùng 3 bạn cần chọn ra vẫn là 3 bạn có tên là a, b, c và thỏa mãn điều kiện bài toán. Tức là việc chọn này không phân biệt vị trí hay thứ tự. Việc chọn ai trước trong 3 người đó không quan trọng, điều quan trọng là chúng ta chọn ra 3 người đó là ai.

Tới đây chúng ta biết phải sử dụng chỉnh hợp hay tổ hợp chưa? Chắc chắn là tổ hợp rồi.

Việc chọn ra 3 bạn trong 4bạn để đi thi văn nghệ là ta đã chọn ra 1 tập con gồm 3 người. Mỗi tập con này chính là 1 tổ hợp chập 3 của 4bạn. Ta có: $C^3_4 = \frac{4!}{3!1!} = 4$ cách chọn.

Có thể bạn quan tâm: Các bài toán số áp dụng chỉnh hợp

b.Trong 4bạn học sinh, em hãy bầura cho thầy 3 bạn đểlàm lớp trưởng, lớp phó, bí thư đoàn.

Giả sử thầy sẽ chọn ra 3 bạn có tên là a, b, c để bầu làm Lớp trưởng, Lớp phó, Bí thư. Thầy sẽ thực hiện như sau:

Chọn người thứ 1 [Lớp trưởng]: thầy chọn bạn a

Chọn người thứ 2 [Lớp phó]: thầy chọn bạn b

Chọn người thứ 3 [Bí thư đoàn]: thầy chọn bạn c

Như vậy thầy đãchọn được 3 bạn để làm Lớp trưởng, Lớp phó và Bí thư đoàn làa, b và c. Vậy thầy có 1 cách chọn.

Chúng ta tiếp tục theo dõi tiếp nhé, nếu dưới đây thầy sẽ chọn khác đi 1 chút.

Chọn người thứ 1 [Lớp trưởng]: thầy chọn bạnb

Chọn người thứ 2 [Lớp phó]: thầy chọn bạnc

Chọn người thứ 3 [Bí thư đoàn]: thầy chọn bạna

Như vậy thầy cũng chọn được 3 bạn để làm Lớp trưởng, Lớp phó và Bí thư đoàn làa, b và c. Như vậy thầy cũng có 1 cách chọn.

Nhưng các bạn để ý với 2 cách chọn như trên có cho ta 2 kết quả khác nhau hay không?

Có chứ.Với hai cách chọn như trên cho ta hai kết quả hoàn toàn khác nhau. Tuy ở hai cách những bạn mà ta chọnra vẫn có tên là a; b và c nhưng ở mỗi cách chọn thì mỗi bạn lại đảm nhiệm các chức vụkhác nhau [Lớp trưởng, Lớp phó, Bí thư]. Dó đó mà ta sẽ được hai kết quả hoàn toàn khác nhau. Vậy mỗi cách chọn như thế cho ta một chỉnh hợp hay tổ hợp đây các bạn? Chắc chắn là một chỉnh hợp rồi.

Việc chọn ra 3 bạn trong 4bạn để làm Lớp trưởng, Lớp phó, Bí thư sẽ là 1 chỉnh hợp chập 3 của 4bạn. Ta có: $A^3_4 = \frac{4!}{[4-3]!} = \frac{4!}{1!} =24$ cách chọn.

Xem thêm: Tìm hệ số trong khai triển nhị thức Newton

4. Lời kết

Bài giảng trên thầy đi phân tích cho các bạn thấy sự khác nhau giữa chỉnh hợp và tổ hợp. Hai khái niệm này gây nhầm lẫn và hiểu lầm cho rất nhiều bạn khi áp dụng vào làm bài tập. Thầy hy vọng với bài phân tích trên sẽ giúp các bạn gỡ rối phần nào khó khăn trước đây đã gặp phải và sẽ phân biệt được chúng. Bài viết có thể vẫn chưa toát lênhết ý, nên mong nhận được sự đóng góp ý kiến từ mọi người.

SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ

Chỉnh hợp được hiểu là cách chọn những phần tử từ một nhóm lớn hơn và có phân biệt thứ tự. Chỉnh hợp chập k của n phần tử là một tập con của tập hợp mẹ S chứa n phần tử, tập con gồm k phần tử riêng biệt thuộc S và có sắp thứ tự. Số chỉnh hợp chập K của một tập S được tính theo công thức dưới đây:

Akn = n! / [n−k]! = n.[n−1].[n−2].[n−3]… / [n−k ].[n – k – 1].[n – k – 2]….

Với k = n ⇒ Ann = Pn = n! Tức là 1 hoán vị của n phần tử cũng chính là 1 chỉnh hợp hợp chập n của n phần tử đó.

Quy ước chỉnh hợp: 0! = 1

Trong tiếng Việt, chỉnh hợp được ký hiệu bằng chữ A, viết tắt của của từ Arrangement.

Ví dụ về chỉnh hợp: Một nhóm học sinh có 5 bạn Lan, Hoa, Ngọc, Tam, Bình. Hãy kể ra các cách phân công 3 bạn làm trực nhật vệ sinh lớp, trong đó 1 bạn quét nhà, 1 bạn lau bảng và 1 bạn đổ rác.

Theo công thức chỉnh hợp, ta sẽ giải bải toán như sau:

Số cách phân công trực nhật là Akn = 5! / [5 − 3]! = 60 cách

Khái niệm tổ hợp

Tổ hợp là khái niệm toán học dùng để biểu thị cách chọn những phần tử từ một nhóm lớn hơn mà không phân biệt thứ tự. Trong những trường hợp nhỏ hơn có thể đếm được số tổ hợp một cách dễ dàng

Theo định nghĩa, tổ hợp chập k của n phần tử chính là một tập con của tập hợp mẹ S chứa n phần tử, tập con gồm k phần tử riêng biệt thuộc S và không sắp xếp thứ tự. Số tổ hợp chập k của n phần tử bằng với hệ số nhị thức:

Ckn= n! / k!.[n−k]! [Ckn: Là số các tổ hợp chậpk của n phần tử [0 ≤ k ≤ n ]]

Sốk ởtrong định nghĩa cần thỏa mãn điều kiện [1 ≤ k ≤ n ]. Tập hợp không có phần tử nào là tập rỗng vì vậy ta quy ước gọi tổ hợp chập0 củan phần tử là tập rỗng.

Quy ước như sau: C0n= 1

Ví dụ: Có 4 bạn học sinh trong lớp, tiến hành chọn ra 3 bạn để tham gia vào hoạt động thể dục thể thao của trường.

Để chọn 3 trong 4 bạn tham gia hoạt động thể dục thể thao thì lúc này chúng ta sẽ chọn 1 tập con bao gồm 3 người. Mỗi tập con này chính là một tổ hợp chập 3 của 4, ta sẽ được kết quả như sau:

Ckn= 4! / 3! [4-3]! = 4 cách chọn.

Sự khác nhau giữa tổ hợp và chỉnh hợp

Bảng 1 – Bảng so sánh sự khác nhau giữa tổ hợp và chỉnh hợp

Ví dụ về tổ hợp và chỉnh hợp

Ví dụ như ta lấy ngẫu nhiên 3 chữ số là 1, 3 và 5.

Trường hợp 1: Ta sẽ lấy 3 số này để sắp xếp thành những số có 3 chữ số như sau 135, 153, 315, 351, 513, 531. Việc thay đổi vị trí của các số này ta sẽ có được các số khác nhau, mỗi số đó chính là một chỉnh hợp.

Trường hợp 1: Ta đặt 3 số vào vị trí khác nhau trong tập con, lúc này ta sẽ được các tập con như sau:

A = {1; 3; 5}

B = {1; 5; 3}

C = {3; 1; 5}

D = {3; 5; 1}

E = {5; 1; 3}

F = {5; 3; 1}

Lúc này thì ta sẽ có 6 tập hợp con là A; B; C; D; E; F nhưng vẫn là 3 phần từ 1; 3; 5. Và 6 phần tử con này là bằng nhau, chúng được xem là một và đó chính là tổ hợp.

Qua ví dụ thấy rõ được rằng, trong một tổ hợp thì chúng ta không phân biệt vị trí của những phần tử mà chỉ quan tâm trong tập đó gồm những phần tử nào, còn đối với chỉnh hợp thì phân biệt cả vị trí và thứ tự.

Từ đó cho nên, các bạn sẽ thấy số chỉnh hợp bao giờ cũng nhiều hơn so với số tổ hợp.

Như vậy, qua bài viết trên đây của Khacnhaugiua.vn, hy vọng rằng bạn đọc có thể phân biệt rõ ràng được sự khác nhau giữa tổ hợp và chỉnh hợp, từ đó tiến hành giải toán một cách chính xác, không bị nhầm lẫn, để đạt được kết quả cao.

Trước khi sử dụng được, các em phải có cái nhìn chi tiết và thật sự hiểu về định nghĩa này để tránh việc nhầm lẫn.

1.1. Định nghĩa của chỉnh hợp

Chỉnh hợp có thể hiểu đơn giản như này:

Trong toán học, chỉnh hợp như một cách chọn những phần tử từ những nhóm lớn hơn, và nhóm này có phân biệt thứ tự. [Lưu ý điều này ngược lại với Tổ hợp, tổ hợp sẽ không phân biệt thứ tự]

Theo định nghĩa mà các em được học:

Ví dụ có một tập hợp A gồm có n phần tử với điều kiện 1≤ k ≤ n

Khi lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A, sau đó sắp xếp chúng theo cùng 1 thứ tự nào đó, kết quả thu được gọi là chỉnh hợp [chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho].

Về công thức của chỉnh hợp, các em có thể hình dung như sau:

Akn = n! / [n−k]! = n.[n−1].[n−2].[n−3]… / [n−k ].[n – k – 1].[n – k – 2]….

Trong đó:

Akn là số của các chỉnh hợp chập k của n phần tử [1≤ k ≤ n]

Trong trường hợp k=n, thì Ann = Pn = n! [Nói một cách dễ hiểu hơn, đó chính là 1 hoán vị của n phần tử cũng chính là 1 chỉnh hợp hợp chập n của n phần tử đó]

Ta có quy ước: 0! = 1

1.3. Ví dụ

Nếu nói lý thuyết không, các em sẽ tương đối khó khăn trong việc hình dung ra. Vì vậy, các em hãy theo dõi từ ví dụ thực tế sau đây nhé.

Ví dụ 1: Cho một tập hợp P= {a,b,c}

Tính chỉnh hợp chập 2 của 3 phần tử của tập hợp P?

Giải:

Chỉnh hợp chập 2 của 3 phần tử tập hợp P là:

[a,b], [a,c],

[b,a], [b,c],

[c,a], [c,b].

Chỉnh hợp tính được là P23 = 6

Ví dụ 2: Trong một lớp học, có một nhóm gồm 6 bạn học sinh. Mỗi ngày 3 trong số 6 bạn đó sẽ được phân công đi trực nhật [1 bạn lau bảng, 1 bạn quét nhà và 1 bạn sắp xếp bàn ghế]. Hãy chỉ ra cách phân công sao cho phù hợp.

Giải:

Chúng ta tiếp tục dùng phép chỉnh hợp ở đây:

Theo công thức, ta có cách phân công là: A63= 6![63]! = 120

Vậy có 120 cách để phân công.

Thông qua 2 ví dụ đã được nêu bên trên, hy vọng các em đã có một cái nhìn tổng quát về cách dùng cũng như công thức áp dụng rồi nhé!

Cho 1 tập hợp Agồm n phần tử [1≤ k ≤ n]

Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A, sắp xếp chúng theo 1 thứ tự nào đó được gọi là 1 chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.

Kí hiệu chỉnh hợp: Akn là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử [1≤ k ≤ n ]

Akn= n!/ [n−k]! = n.[n−1].[n−2].[n−3]… / [n−k ].[n – k – 1].[n – k – 2]….

Với k = n ⇒ Ann= Pn = n! Tức là 1 hoán vị của n phần tử cũng chính là 1 chỉnh hợp hợp chập n của n phần tử đó.

Quy ước chỉnh hợp: 0! = 1

Định nghĩa về Tổ hợp

TậpA cón phần tử [n ≥ 0, k ≥ 0]. Mỗi tập con gồmk phầntử của tậpA được gọi là 1 tổ hợp chậpk củan phần tử đã cho.

Kí hiệu như sau:Ckn: Là số các tổ hợp chậpk của n phần tử [0 ≤ k ≤ n ]

Ckn= n! / k!.[n−k]!

Sốk ởtrong định nghĩa cần thỏa mãn điều kiện [1 ≤ k ≤ n ]. Tập hợp không có phần tử nào là tập rỗng vì vậy ta quy ước gọi tổ hợp chập0 củan phần tử là tập rỗng.

Quy ước:C0n= 1

Trên đây là những lý thuyết cơ bản về tổ hợp và chỉnh hợp. Trong quá trình học nhiều bạn học sinh thấy khái niệm tổ hợp và chỉnh hợp cứ giống giống nhau và không phân biệt được khi nào là chỉnh hợp và khi nào là tổ hợp. Nếu bạn cũng gặp phải vấn đề này hãy tham khảo ngay thông tin dưới đây.

Định nghĩa hoán vị:

Cho tập hợp A, gồm n phần tử [n>=1]. Một cách sắp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.

Công thức hoán vị:

Kí hiệu hoán vị của n phần tử: \[P_n\].

Ví dụ về hoán vị:

Hỏi: Cho tập A = {3, 4, 5, ,6, 7}. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt?

Đáp: \[P_5 = 5! = 120\] số.

Cảm ơn các bạn đã ghé thăm Blog toanthaydinh.com. Bài viết sau đây hướng dẫn các bạn cách phân biệt tổ hợp chỉnh hợp hoán vị. Đây là 3 khái niệm mà chúng ta có thể nhầm lẫn.

Bài viết dưới đây giúp các bạn trả lời các câu hỏi: Hoán vị là gì? Chỉnh hợp là gì? Tổ hợp là gì?. Bên cạnh đó là các công thức, các dạng toán và phương pháp giải chi tiết.

Nội Dung

• 1 I. HOÁN VỊ LÀ GÌ?
• 2 II. HOÁN VỊ LẶP LÀ GÌ?
• 3 III. TỔ HỢP LÀ GÌ?
• 4 IV. CHỈNH HỢP LÀ GÌ?
• 5 V. LIÊN HỆ GIỮA HOÁN VỊ CHỈNH HỢP TỔ HỢP

Video liên quan