PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
A. Lý thuyết cơ bản
1. Phương trình mặt cầu
Dạng tổng quát:Mặt cầucó tâmvà bán kínhcó phương trình:
.
Dạng khai triển:
[*].
[*] là phương trình của một mặt cầu.
Khi đócó tâmvà bán kính.
2. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu
Mặt cầucó tâm, bán kínhvà mặt phẳng.
+: mặt phẳngvà mặt cầukhông cắt nhau.
+: mặt phẳngtiếp xúc với mặt cầu.được gọitiếp diệncủa mặt cầu. Khi đólà mộtcủa.
+: mặt phẳngcắt mặt cầutheo một đường tròncó tâm và bán kính được xác định như sau:
- Tâm: là hình chiếu củatrên.
- Bán kính.
3. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu
Cho đường thẳngvà mặt cầucó tâm, bán kính.
+: đường thẳngvà mặt cầukhông cắt nhau.
+: đường thẳngtiếp xúc với mặt cầutại. Khi đóđược gọi làtiếp tuyếncủa.
+: đường thẳngcắt mặt cầutại 2 điểmphân biệt [được gọi làcát tuyếncủa].
B. Bài tập
Dạng 1. Xác định tâm, bán kính của mặt cầu. Tìm điều kiện để phương trình dạng khai triển là phương trình của một đường tròn
A. Phương pháp
+tâmvà bán kính.
+[*] là phương trình của một mặt cầu
.
Khi đócó tâmvà bán kính.
B. Bài tập ví dụ
Ví dụ 1.1:Cho mặt cầu. Tìm tâm, bán kínhcủa mặt cầu.
A.. B..
C.. D..
Lời giải:
Chọn đáp án A.
Ví dụ 1.2:Cho mặt cầu. Tìm tọa độ tâm, bán kínhcủa mặt cầu.
A.. B..
C.. D..
Lời giải:
.
có tâmvà bán kính.
Chọn đáp án C.
Ví dụ 1.3:Tìm tất cả các giá trị thực của tham sốđể phương trình
là phương trình của một mặt cầu.
A.hoặc. B..
C.hoặc. D..
Lời giải:
Ta có.
Đề phương trình trên là phương trình mặt cầu thì
Chọn đáp án A.
Dạng 2. Viết phương trình mặt cầu có tâmvà bán kính
A. Phương pháp
Mặt cầucó tâmvà bán kínhcó phương trình.
Do đó, muốn viết được phương trình của mặt cầu thì cần phải xác định được tâmvà bán kính.
Chú ý:
- Mặt cầucó đường kínhvà tâmlà trung điểm của.
- Mặt cầu tâmđi qua điểm.
- Viết phương trình mặt cầuđi qua 4 điểm:
+ Giả sử.
+ Vìnên ta có hệ gồm 4 phương trình, 4 ẩn. Giải hệ này tìm được tâm và bán kính của.
B. Bài tập ví dụ
Ví dụ 2.1:Viết phương trình mặt cầucó tâmđi qua.
A..
B..
C..
D..
Lời giải:
Mặt cầu có bán kính.
Vậy phương trình mặt cầu là.
Vậy chọn đáp án D.
Ví dụ 2.2:Trong không gian với hệ tọa độ, cho hai điểm. Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt cầu đường kính?
A..B..
C..D..
Lời giải:
Gọilà tâm mặt cầu đường kínhsuy ralà trung điểm củanên
.
Mà.
Vậy.
Chọn đáp án A.
Ví dụ 2.3 [Chuyên KHTN 2017 Lần 4]Trong không gian với hệ tọa độ, cho ba điểm. Tính bán kínhcủa mặt cầu đi qua bốn điểm.
A.. B.. C.. D..
Lời giải:
Phương trình mặt cầu có dạngvới.
Theo giả thiết ta có hệ phương trình:
.
Chọn đáp án A.
Ví dụ 2.4:Trong không gian với hệ tọa độ, cho hình lăng trụ tam giáccóvà. Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm?
A.. B..
C.. D..
Lời giải:
Phương trình mặt cầu có dạngvới.
Theo giả thiết ta có hệ phương trình.
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là.
Chọn đáp án C.
Ví dụ 2.5:Trong không gian với hệ tọa độ, cho điểmvà mặt phẳng. Mặt cầucó tâmnằm trên mặt phẳng, đi qua điểmvà gốc tọa độsao cho chu vi tam giácbằng. Phương trình mặt cầulà
A.hoặc.
B.hoặc.
C.hoặc.
D.hoặc.
Lời giải:
Gọilà tâm của mặt cầu.
Khi đónên ta suy ra hệ
.
Giải hệ ta tìm đượchoặc.
Chọn đáp án D.
Dạng 3. Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
Ví dụ 3.1:Cho mặt phẳngvà mặt cầu
. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
A.cắttheo một đường tròn. B.tiếp xúc với.
C.có điểm chung với. D.đi qua tâm của.
Lời giải:
Mặt cầutâmvà có bán kính.
.
Vậytiếp xúc với.
Chọn đáp án B.
Ví dụ 3.2:Cho mặt cầuvà mặt phẳng
. Tìm tất cả các giá trị thực củađểvàtiếp xúc với nhau.
A.. B..
C.. D..
Lời giải:
có tâmvà bán kính.
Đểvàtiếp xúc với nhau thì.
Chọn đáp án A.
Ví dụ 3.3:Cho mặt cầuvà mặt phẳng
. Tìm tất cả các giá trị thực củađểvàcó điểm chung.
A.. B..
C.. D..
Lời giải:
Mặt cầucó tâmvà bán kính.
Đểvàcắt nhau thì:
.
Chọn đáp án B.
Ví dụ 3.4:Trong không gian với hệ tọa độ, cho điểmvà mặt phẳng. Viết phương trình mặt cầucó tâmvà tiếp xúc với mặt phẳng.
A.. B..
C.. D..
Lời giải:
Bán kính mặt cầu là.
Phương trình của mặt cầu là.Chọn đáp án B.
Ví dụ 3.5:Trong không gian với hệ tọa độ, cho điểmvà mặt phẳng. Phương trình mặt cầu. Viết phương trình của mặt phẳngsong song với mặt phẳngvà tiếp xúc với mặt cầu.
A.. B..
C.. D..
Lời giải:
Vìcó dạng.
Mặt phẳngtiếp xúc vớinên
[vì].
Vậy phương trình của mặt phẳnglà.
Chọn đáp án A.
Ví dụ 3.6:Trong không gian với hệ tọa độ, cho mặt phẳngvà mặt cầu. Tìm tọa độ tâm của đường tròn giao tuyến của mặt phẳngvà mặt cầu.
A.. B.. C.. D..
Lời giải:
Tâm của đường tròn giao tuyếnlà hình chiếu vuông góc củalên.
Đường thẳngquavà vuông góc vớicó phương trình.
Do.
Ta có.
Vậy.Chọn đáp án D.
Ví dụ 3.7:Trong không gian, cho mặt cầu. Viết phương trình mặt phẳngđi qua điểmcắt mặt cầutheo đường tròn có bán kính nhỏ nhất.
A.. B.. C.. D..
Lời giải:
Mặt cầucó tâmvà bán kính.
Ta có.
Do đó, mặt phẳngqualuôn cắt mặt cầutheo một đường tròn.
Gọilà bán kính của đường tròn vàlà hình chiếu vuông góc củalên mặt phẳng.
Vìvuông tại.
Đẳng thức xảy ra.
Khi đólà vecto pháp tuyến của mặt phẳng.
.
Chọn đáp án B.
Ví dụ 3.8:Trong không gian với hệ tọa độ, cho mặt cầucó phương trìnhvà mặt phẳng. Viết phương trình mặt phẳngsong song vớivà cắttheo giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng.
A.. B..
C.. D. Cả A và B.
Lời giải:
Donêncó phương trình.
có tâm, bán kính. Đường tròn giao tuyến có chu vi bằngnên có bán kính.
Khoảng cách từđếnlà.
Do đó.
Vậycó phương trình.
Ví dụ 3.9:Trong không gian với hệ tọa độ, cho biếtlà tập hợp tâm của các mặt cầuđi qua điểmđồng thời tiếp xúc với hai mặt phẳngvà. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường conglà
A.. B.. C. 3. D..
Lời giải:
Gọilà tâm của mặt cầu. Theo đề bài ta có.
.
.
Vậy tập hợp tâmcủa mặt cầulà giao tuyến của mặt cầuvà mặt phẳnghay chính là đường tròn có bán kính.
Vậy diện tích của hình phẳng cần tìm là.
Ví dụ 3.10 [Đề minh họa lần 2 năm 2017]Trong không gian với hệ tọa độ, xét các điểmvàvớivà. Biết rằng khithay đổi, tồn tại một mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳngvà đi qua. Tính bán kínhcủa mặt cầu đó?
A.. B.. C.. D..
Lời giải:
Gọivàlà bán tâm và bán kính của mặt cầu cố định trong đề bài.
Ta có
Phương trìnhlà.
.
Vìnên.
Do đó.
Ta xét hai trường hợp:
TH1:Nếuthì thayvào, ta có
Đăng thức này đúng với mọinênhaythay vào [*] thìhay.
TH2:Nếuthì tương tự trên, ta có
hay.
Suy rahay[không thỏa mãn].
Vậy mặt cầu cần tìm là.
Nhận xét:
Với cách giải trên, ta thấy rằng nếu không cho điểm, ta vẫn có thể tìm được liên hệ giữa tọa độ tam và bán kính của mặt cầu cố định cần tìm. Việc đưa thêm điểmvào giúp ta có thể giải phương trình tìm.
Dạng 4. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu
Ví dụ 4.1:Trong không gian với hệ tọa độ, cho đường thẳng:và mặt cầu:. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A.vàcắt nhau tại hai điểm.
B.tiếp xúc với.
C.vàkhông có điểm chung.
D. Tất cả các đáp án trên đều sai.
Lời giải:
Đường thẳngcó vecto chỉ phươngvà đi qua điểm.
Chuyểnvề dạng tham số.
Mặt cầucó tâmvà bán kính.
Xét phương trình[vô nghiệm]
Vậyvàkhông có điểm chung.
Chọn đáp án C.
Ví dụ 4.2:Trong không gian với hệ tọa độ, viết phương trình mặt cầucó tâmvà tiếp xúc với đường thẳng.
A.. B..
C.. D..
Lời giải:
Mặt cầucó tâmvà bán kính.
Đường thẳngđi quavà có.
tiếp xúc với đường thẳng.
.
Chọn đáp án B.
Ví dụ 4.3:Trong không gian với hệ tọa độ, cho điểmvà đường thẳng. Viết phương trình mặt cầucó tâm là điểmvà cắt tại hai điểm phân biệtsao cho đoạn thẳngcó độ dài bẳng 4.
A.. B..
C.. D..
Lời giải:
Giả sử mặt cầucắttại hai điểmsao chocó bán kính.
Gọilà trung điểm đoạn.
Khi đóvuông tại.
Ta có.
.
Vậy phương trình của mặt cầu cần tìm là
.
Vậy chọn đáp án C.
Ví dụ 4.4:Trong không gian với hệ tọa độ, cho đường thẳngvà điểm. Viết phương trình mặt cầu tâm. Viết phương trình mặt cầu tâmvà tiếp xúc với đường thẳng.
A.. B..
C.. D..
Lời giải:
Gọi. Khi đó
.
Do đó phương trình mặt cầu cần tìm là.
Chọn đáp án A.
Ví dụ 4.5:Trong không gian với hệ tọa độ, cho mặt cầu
và đường thẳng. Tìmđể đường thẳngcắttại hai điểmsao cho độ dài đoạn.
A.. B.. C.. D..
Lời giải:
có tâmvà bán kính.
Gọilà trung điểm của.
Đường thẳngquavà có vecto chỉ phương.
Suy ra.
Ta có.
Chọn đáp án D.