Cơ quan chủ quản: Công ty Cổ phần Đầu tư và Dịch vụ Giáo dục MST: 0102183602 do Sở kế hoạch và Đầu tư thành phố Hà Nội cấp ngày 13 tháng 03 năm 2007 Địa chỉ: - Văn phòng Hà Nội: Tầng 4, Tòa nhà 25T2, Đường Nguyễn Thị Thập, Phường Trung Hoà, Quận Cầu Giấy, Hà Nội. - Văn phòng TP.HCM: 13M đường số 14 khu đô thị Miếu Nổi, Phường 3, Quận Bình Thạnh, TP. Hồ Chí Minh Hotline: 19006933 – Email: hotro@hocmai.vn Chịu trách nhiệm nội dung: Phạm Giang Linh
Giấy phép cung cấp dịch vụ mạng xã hội trực tuyến số 597/GP-BTTTT Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 30/12/2016.
Nội dung bài học gồm 2 phần:
- Lý thuyết cần biết
- Hướng dẫn giải bài tập SGK
A. Lý thuyết cần biết
1. Giới hạn của \[\frac{sin \,x}{x}\]
ĐỊNH LÍ 1
\[\underset{x\rightarrow 0 }{lim }\frac{sin \,x}{x} = 1\]
2. Đạo hàm của hàm số \[y=sin \,x\]
ĐỊNH LÍ 2
Hàm số $y=sin\,x$có đạo hàm tại mọi $x\in \mathbb{R}$và $[sin\,x]’=cos\,x$
Chú ý : Nếu \[y=sin\,u\]và \[u=u[x]\]thì \[[sin\,u]’=u’.cos\,u\]
3. Đạo hàm của hàm số \[y=cos\,x\]
ĐỊNH LÍ 3
Hàm số $y=cos\,x$có đạo hàm tại mọi $x\in \mathbb{R}$và $[cos\,x]’=-sin\,x$
Chú ý : Nếu \[y=cos\,u\]và \[u=u[x]\]thì \[[cos\,u]’=-u’.sin\,u\]
4. Đạo hàm của hàm số \[y=tan\,x\]
ĐỊNH LÍ 4
Hàm số \[y=tan\,x\]có đạo hàm tại mọi \[x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi, k\in \mathbb{R}\]và \[\left [ tan\,x \right ]'=\frac{1}{cos^2x}\]
Chú ý: Nếu \[y=tan\,u\]và \[u=u[x]\]thì ta có \[\left [ tan\,u \right ]'=\frac{u’}{cos^2u}\]
5. Đạo hàm của hàm số \[y=cot\,x\]
ĐỊNH LÍ 5
Hàm số \[y=tan\,x\]có đạo hàm tại mọi \[x\neq k\pi, k\in \mathbb{R}\]và \[\left [ cot\,x \right ]'=-\frac{1}{sin^2x}\]
Chú ý: Nếu \[y=cot\,u\]và \[u=u[x]\]thì ta có \[\left [ cot\,u \right ]'=-\frac{u’}{sin^2u}\]
BẢNG ĐẠO HÀM
\[[x^n]’=nx^{n-1}\] \[[u^n]’=nu^{n-1}.u’\] \[\left [ \frac{1}{x} \right ]’=-\frac{1}{x^2}\] \[\left [ \frac{1}{u} \right ]’=-\frac{u’}{u^2}\] \[[\sqrt{x}]’=\frac{1}{2\sqrt{x}}\] \[[\sqrt{u}]’=\frac{u’}{2\sqrt{u}}\] \[[sin\,x]’=cos\,x\] \[[sin\,u]’=u’.cos\,u\] \[[cos\,x]’=-sin\,x\] \[[cos\,u]’=-u’.sin\,u\] \[\left [ tan\,x \right ]'=\frac{1}{cos^2x}\] \[\left [ tan\,u \right ]'=\frac{u’}{cos^2u}\] \[\left [ cot\,x \right ]'=-\frac{1}{sin^2x}\] \[\left [ cot\,u \right ]'=-\frac{u’}{sin^2u}\]
Sách giải toán 11 Bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 11 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:
Lý thuyết Đạo hàm của hàm số lượng giác lớp 11 gồm lý thuyết chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 11 Bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác.
Lý thuyết Toán 11 Bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác
Bài giảng Toán 11 Bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác
- LÝ THUYẾT
1. Giới hạn sinxx
Định lý 1.
limx→0sinxx=1.
Ví dụ 1. Tính limx→1sinx−1x2−1
Lời giải
Đặt x – 1 = t.
Khi x tiến đến 1 thì t tiến đến 0.
limt→0sinttt+2=limt→0sintt.1t+2=limt→0sintt.limt→01t+2=1.12=12.
2. Đạo hàm của hàm số y = sinx
Định lý 2.
Hàm số y = sinx có đạo hàm tại mọi x∈ℝ và [sinx]’ = cosx.
Chú ý:
Nếu y = sinu và u = u[x] thì: [sinu]’ = u’.cosu
Ví dụ 2. Tính đạo hàm của hàm số y=sin2x+32
Lời giải
y'=2sin2x+3'.sin2x+3=2cos2x+3.2x+3'.sin2x+3y'=4cos2x+3.sin2x+3
3. Đạo hàm của hàm số y = cosx
Định lý 3.
Hàm số y = cosx có đạo hàm tại mọi x∈ℝ và [cosx]’ = - sinx.
Chú ý:
Nếu y = cosu và u = u[x] thì: [cosu]’ = - u’.sinu
Ví dụ 3. Tính đạo hàm của hàm số y=cosπ2−x tại x=π3.
Lời giải
Đặt u=π2−x
⇒y'=cosu'=−u'.sinu=−π2−x'sinπ2−x=sinπ2−x.
Thay x=π3 vào y’ ta được:
y'π3=sinπ2−π3=sinπ6=12.
Vậy giá trị của đạo hàm của hàm số tại x=π3 là 12
4. Đạo hàm của hàm số y = tanx
Định lý 4.
Hàm số y = tanx có đạo hàm tại mọi x≠π2+kπ,k∈ℤ và [tanx]’ = 1cos2x.
Chú ý:
Nếu y = u và u = u[x] thì: [tanu]’ = u'cos2u.
Ví dụ 4. Tính đạo hàm y=2+tanx
Lời giải
Đặt u = 2 + tanx
y'=u'2u=2+tanx'22+tanx=1cos2x22+tanx=12.cos2x2+tanx
5. Đạo hàm của hàm số y = cotx
Định lý 5.
Hàm số y = cotx có đạo hàm tại mọi x≠kπ,k∈ℤ và [cotx]’ = −1sin2x.
Chú ý:
Nếu y = u và u = u[x] thì: [cotu]’ = −u'sin2u.
Ví dụ 5. Tính đạo hàm của hàm y = cot x2.
Lời giải
y’ = [cot x2]’ = [x2]’.-1sinx22=−2xsinx22.
6. Bảng quy tắc tính đạo hàm tổng hợp:
- BÀI TẬP
Bài 1. Tính các đạo hàm sau:
- y=3tan2x+cot2x
- y=−cosx3sin3x+43cotx
- y=cos2sin3x
- y=xsinx
Lời giải
y'=3tan2x+cot2x'23tan2x+cot2x=6tanx.1cos2x−2sin22x23tan2x+cot2x=6sinxcos3x−12.sin2x.cos2x23tan2x+cot2x
y'=−cosx3sin3x+43cotx'=sinx.3sin3x+cosx.9.sin2x.cosx3sin3x2−43sin2x=sin2x+3cos2x3sin4x−43sin2x=3cos2x−3sin2x3sin4x=cos2x−sin2xsin4x
y'=cos2sin3x'=2.cossin3x.cossin3x'=2.cossin3x.cossin3x'=2.cossin3x.−sinsin3xsin3x'=−2.cossin3x.sinsin3x3sin2x.cosx=−6.cossin3x.sinsin3xsin2x.cosx
y'=x'.sinx−x.sinx'sinx2=sinx−x.cosxsinx2
Bài 2. Chứng minh rằng các hàm số sau đây có đạo hàm không phụ thuộc x.
- y=sin6x+cos6x+3sin2xcos2x
- y=cos2π3−x+cos2π3+x+cos22π3−x+cos22π3+x−2sin2x
Lời giải
a]
y'=sin6x+cos6x+3sin2xcos2x'=6sin5xcosx−6cos5x.sinx+6sinxcos3x−6sin3xcosx=6sinxcosxsin4x−cos4x+6sinxcosxcos2x−sin2x=6sinxcosxsin2x−cos2xsin2x+cos2x+6sinxcosxcos2x−sin2x=6sinxcosxsin2x−cos2x+6sinxcosxcos2x−sin2x=−6sinxcosxcos2x−sin2x+6sinxcosxcos2x−sin2x=0
b]
y'= 2cosπ3−xsinπ3−x−2cosπ3+xsinπ3+x+2cos2π3−xsin2π3−x−2cos2π3+xsin2π3+x−4sinxcosx= sin2π3−2x−sin2π3+2x+sin4π3−2x−sin4π3+2x−2sin2x= −2cos2π3sin2x−2cos4π3sin2x−2sin2x= sin2x+sin2x−2sin2x=0