Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
Chứng minh rằng trong một tam giác \[ABC\] ta có:
LG a
\[\tan A + \tan B + \tan C \]\[= \tan A\tan B\tan C, \]\[\left[ {\widehat A,\;\widehat B,\;\widehat C \ne \frac{\pi }{2}} \right].\]
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}
A + B + C = {180^0}\\
\Rightarrow A = {180^0} - \left[ {B + C} \right]\\
\Rightarrow \tan A = \tan \left[ {{{180}^0} - \left[ {B + C} \right]} \right]\\
= \tan \left[ { - \left[ {B + C} \right]} \right] = - \tan \left[ {B + C} \right]\\
= - \dfrac{{\tan B + \tan C}}{{1 - \tan B\tan C}}\\
= \dfrac{{\tan B + \tan C}}{{\tan B\tan C - 1}}\\
\Rightarrow \tan A = \dfrac{{\tan B + \tan C}}{{\tan B\tan C - 1}}\\
\Rightarrow \tan A\left[ {\tan B\tan C - 1} \right] = \tan B + \tan C\\
\Leftrightarrow \tan A\tan B\tan C - \tan A = \tan B + \tan C\\
\Leftrightarrow \tan A\tan B\tan C = \tan A + \tan B + \tan C\\
\Rightarrow dpcm
\end{array}\]
Cách khác:
Vì A, B, C là ba góc của tam giác nên ta có : A + B + C = π.
C = π - [A + B]; A + B = π - C
Ta có: tan A + tan B + tan C = [tan A + tan B] + tan C
= tan [A + B]. [1 tan A.tan B] + tan C
= tan [π C].[1 tan A. tan B] + tan C
= -tan C.[1 tan A. tan B] + tan C
= -tan C + tan A. tan B. tan C + tan C
= tan A. tan B. tan C.
LG b
\[\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C \]\[= 4\sin A\sin B\sin C\]
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}
\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C\\
= 2\sin \dfrac{{2A + 2B}}{2}\cos \dfrac{{2A - 2B}}{2} + \sin 2C\\
= 2\sin \left[ {A + B} \right]\cos \left[ {A - B} \right] + 2\sin C\cos C\\
= 2\sin \left[ {{{180}^0} - C} \right]\cos \left[ {A - B} \right] + 2\sin C\cos C\\
= 2\sin C\cos \left[ {A - B} \right] + 2\sin C\cos C\\
= 2\sin C\left[ {\cos \left[ {A - B} \right] + \cos C} \right]\\
= 2\sin C\left[ {\cos \left[ {A - B} \right] + \cos \left[ {{{180}^0} - \left[ {A + B} \right]} \right]} \right]\\
= 2\sin C\left[ {\cos \left[ {A - B} \right] - \cos \left[ {A + B} \right]} \right]\\
= 2\sin C.\left[ { - 2\sin \dfrac{{A - B + A + B}}{2}\sin \dfrac{{A - B - A - B}}{2}} \right]\\
= - 4\sin C\sin A\sin \left[ { - B} \right]\\
= - 4\sin A\sin C\left[ { - \sin B} \right]\\
= 4\sin A\sin B\sin C
\end{array}\]