Viết phương trình đường thẳng d là ảnh của d qua phép vị tự

• lý thuyết
• trắc nghiệm
• hỏi đáp
• bài tập sgk

Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d có phương trình (d): \(3x+y-2=0\). Viết phương trình đường thẳng (d' ) là ảnh của d qua phép vị tự tâm O tỉ số \(k=-\frac{1}{2}\)

Các câu hỏi tương tự

BÀI TOÁN: TÌM ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA MỘT PHÉP VỊ TỰ Sử dụng định nghĩa và các tính chất của phép vị tự . Từ định nghía nếu tâm vị tự là I(a;b) , điểm M(x;y) điểm M’(x’;y’) thì ta có : $\begin{array}{l} \Leftrightarrow \overrightarrow {IM'} = k\overrightarrow {IM} \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x' - a = k\left( {x - a} \right)}\\ {y' - b = k\left( {y - b} \right)} \end{array}} \right.\\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x' = k\left( {x - a} \right) + a}\\ {y' = k\left( {y - b} \right) + b} \end{array}} \right.\left( * \right) \end{array}$ Chính là biểu thức tọa độ của phép vị tự tâm I tỉ số vị tự là k.

Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng d: 3x+2y-6=0 . Hãy viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép vị tự tâm I(1;2) tỉ số vị tự k=-2 ?
Gọi M(x;y) thuộc d ,M’(x’;y’) là một điểm bát kỳ thuộc d’ thì theo biểu thức tọa độ của phép vị tự ta có : $\begin{array}{l} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x' - 1 = - 2\left( {x - 1} \right)}\\ {y' - 2 = - 2\left( {y - 2} \right)} \end{array}} \right.\\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = \frac{{x' - 1}}{{ - 2}} + 1 = \frac{{x' - 3}}{{ - 2}}}\\ {y = \frac{{y' - 2}}{{ - 2}} + 2 = \frac{{y' - 6}}{{ - 2}}} \end{array}} \right. \end{array}$ Thay vào phương trình của đường thẳng d: $\begin{array}{l} 3\left( {\frac{{x' - 3}}{{ - 2}}} \right) + 2\left( {\frac{{y' - 6}}{{ - 2}}} \right) - 2 = 0\\ \Leftrightarrow 3{{\rm{x}}^\prime } + 2y' - 9 = 0 \end{array}$ Do vậy d’: 3x+2y-9=0 .

Ví dụ 2 .( Bài 1.23-tr33-BTHH11CB)

Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d: 2x+y-4=0 a/ Hãy viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép vị tự tâm O tỉ số vị tự k=3 . b/ Hãy viết phương trình đường thẳng d’’ là ảnh của d qua phép vị tự tâm I (-1;2) tỉ số vị tự k=-2a/ Từ công thức tọa độ : $\begin{array}{l} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x' - 0 = 3\left( {x - 0} \right)}\\ {y' - 0 = 3\left( {y - 0} \right)} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = \frac{{x'}}{3}}\\ {y = \frac{{y'}}{3}} \end{array}} \right.\\ \Rightarrow 2\left( {\frac{{x'}}{3}} \right) + \left( {\frac{{y'}}{3}} \right) - 4 = 0\\ \Leftrightarrow 2x' + y' - 12 = 0 \end{array}$ Do đó đường thẳng d’: 2x+y-12=0 . b/ Tương tự : $\begin{array}{l} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x' + 1 = - 2\left( {x + 1} \right)}\\ {y' - 2 = - 2\left( {y - 2} \right)} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = \frac{{x' + 1}}{{ - 2}} - 1 = \frac{{x' + 3}}{{ - 2}}}\\ {y = \frac{{y' - 2}}{{ - 2}} + 2 = \frac{{y' - 6}}{{ - 2}}} \end{array}} \right.\\ \Rightarrow 2\left( {\frac{{x' + 3}}{{ - 2}}} \right) + \left( {\frac{{y' - 6}}{{ - 2}}} \right) - 4 = 0\\ \Leftrightarrow 2{{\rm{x}}^\prime } + y' + 8 = 0 \end{array}$ Do đó đường thẳng d’’: 2x+y+8=0 .

Ví dụ 3. ( Bài 1.24-tr33-BTHH11-CB)

Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C ): \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 9\). Hãy viết phương trình đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C ) qua phép vị tự tâm I(1;2) tỉ số k=-2 .Đường tròn (C ) có tâm O(3;-1) bán kính R=3. Gọi O’ (x’;y’) là tâm của (C’) ,R’ là bán kính của (C’) . Ta có tọa độ của O’ thỏa mãn biểu thực tọa độ của phép vị tự : $\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x' - 1 = - 2\left( {x - 1} \right)}\\ {y' - 2 = - 2\left( {y - 2} \right)}\\ {\frac{{R'}}{R} = 2} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = \frac{{x' - 1}}{{ - 2}} + 1 = \frac{{x' - 3}}{{ - 2}}}\\ {y = \frac{{y' - 2}}{{ - 2}} + 2 = \frac{{y' - 4}}{{ - 2}}}\\ {R' = 2.3 = 6} \end{array}} \right.\\ \Rightarrow {\left( {\frac{{x' - 3}}{{ - 2}} - 3} \right)^2} + {\left( {\frac{{y' - 4}}{{ - 2}} + 1} \right)^2} = 9 \end{array}$ \( \Leftrightarrow {\left( {x' + 3} \right)^2} + {\left( {y' - 6} \right)^2} = 36\). Vậy (C’) : \( \Leftrightarrow {\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} = 36\)

Xem thêm:

Dạng: TÌM ẢNH CỦA MỘT ĐIỂM – MỘT ĐƯỜNG QUA PHÉP VỊ TỰ * Sử dụng đẳng thức véc tơ của phép vị tự và tính chất bằng nhau của hai véc tơ , ta sẽ tìm được kết quả .

Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn (O) : \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 4\). Tìm phương trình đường tròn (O’) là ảnh của (O) qua phép vị tự tâm O tỉ số k=2 .
Tâm I của (O) có tọa độ I(1;1) bán kính R=2 . Nếu (O’) có tâm là J và bán kính R’ là ảnh của (O) qua phép vị tự tâm O ta có đẳng thức véc tơ : \(\overrightarrow {{\rm{OJ}}} = 2\overrightarrow {OI} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' - 0 = 2.1\\y' - 0 = 2.1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = 2\\y' = 2\end{array} \right. \leftrightarrow J\left( {2;2} \right)\). R’=2R=2.2=4. Vậy (O’) : \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 16\)

Ví dụ 2. ( Bài 1.23-BTHH11-CB-tr33)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : 2x+y-4=0. a/ Viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép vị tự tâm O tỉ số k=3. b/ Viết phương trình đường thẳng d’’ là ảnh của d qua phép vị tự tâm I(-1;2) tỉ số k=-2a/Gọi M(x;y) là một điểm bất kỳ thuộc d và M’(x’;y’) là ảnh của M qua phép vị tự tâm O tỉ số k=3 . Nếu M chạy trên d thì M’ chạy trên đường thảng d’ . Theo tính chất của phép vị tự : \(\overrightarrow {OM'} = 3\overrightarrow {OM} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = 3{\rm{x}}\\y' = 3y\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{x'}}{3}\\y = \frac{{y'}}{3}\end{array} \right.\). Thay (x;y) vào d: \(2\left( {\frac{{x'}}{3}} \right) + \left( {\frac{{y'}}{3}} \right) - 4 = 0 \Leftrightarrow 2{\rm{x}}' + y' - 12 = 0\). Vậy d’: 2x+y-12=0 . b/ Tương tự như trên ta có : \(\overrightarrow {IM'} = - 2\overrightarrow {IM} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' + 1 = - 2\left( {x + 1} \right)\\y' - 2 = - 2\left( {y - 2} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \left( {\frac{{x' + 1}}{{ - 2}}} \right) - 1 = \frac{{x' + 3}}{{ - 2}}\\y = \left( {\frac{{y' - 2}}{{ - 2}}} \right) + 2 = \frac{{y' - 6}}{{ - 2}}\end{array} \right.\). Thay vào d : \(2\left( {\frac{{x' + 3}}{{ - 2}}} \right) + \left( {\frac{{y' - 6}}{{ - 2}}} \right) - 4 = 0 \Leftrightarrow 2{\rm{x}}' + y' + 2 = 0\). Do đó d’’: 2x+y+2=0 .

Ví dụ 3. ( Bài 1.24-tr33-BTHH11).

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C ): \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 9\). Hãy viết phương trình đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C ) qua phép vị tự tâm I(1;2) tỉ số k=-2.Gọi O(3;-1) là tâm của (C ) có bán kính R=3. Đường tròn (C’) có tâm J(x;y) bán kính R’ là ảnh của (C ) qua phép vị tự tâm I tỉ số k=-2 . Theo tính chất của phép vị tự ta có : \(\overrightarrow {{\rm{IJ}}} = - 2\overrightarrow {I{\rm{O}}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 = - 2\left( {3 - 1} \right)\\y - 2 = - 2\left( { - 1 - 2} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 3\\y = 8\end{array} \right. \Rightarrow J = \left( { - 3;8} \right)\). R’=2R=2.3=6 .

Vậy (C’) : \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 8} \right)^2} = 36\).

Hãy viết phương trình của đường thẳng d1 là ảnh của d qua phép vị tự tâm O tỉ số k = 3. Bài 1.23 trang 35 Sách bài tập (SBT) Hình học 11 – Bài 7. Phép vị tự

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình \(2x + y – 4 = 0\).

a)  Hãy viết phương trình của đường thẳng d1  là ảnh của d qua phép vị tự tâm O tỉ số k = 3

b) Hãy viết phương trình của đường thẳng d2 là ảnh của d qua phép vị tự tâm I(1; 2) tỉ số k = -2

a)  Lấy hai điểm \(A\left( {0;4} \right)\) và \(B\left( {2;0} \right)\) thuộc d. Gọi \(A’,B’\) theo thứ tự là ảnh của A và B qua phép vị tự tâm O tỉ số k = 3. Khi đó ta có

\(\overrightarrow {OA’}  = 3\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB’}  = 3\overrightarrow {OB} \).

Vì \(\overrightarrow {OA}  = \left( {0;4} \right)\) nên \(\overrightarrow {OA’}  = \left( {0;12} \right)\). Do đó \(A’ = \left( {0;12} \right)\). Tương tự \(B’ = \left( {6;0} \right)\); \(d_1\) chính là đường thẳng A’B’ nên nó có phương trình

\({{x – 6} \over { – 6}} = {y \over {12}}\) hay \(2{\rm{x}} + y – 12 = 0\).

Quảng cáo

b)  Có thể giải tương tự như câu a) . Sau đây ta sẽ giải bằng cách khác.

Vì \({d_2}\parallel d\) nên phương trình của \(d_2\) có dạng \(2{\rm{x}} + y + C = 0\): Gọi \(A’ = \left( {x’;y’} \right)\) là ảnh của A qua phép vị tự đó thì ta có:

\(\overrightarrow {IA’}  =  – 2\overrightarrow {IA} \) hay \(x’ + 1 =  – 2,y’ – 2 =  – 4\)

Suy ra \(x’ =  – 3,y’ =  – 2\)

Do A’ thuộc \(d_2\) nên \(2.\left( { – 3} \right) – 2 + C = 0\). Từ đó suy ra C = 8

Phương trình của \(d_2\) là \(2{\rm{x}} + y + 8 = 0\)