1. Tiếp tuyến với đồ thị hàm số
Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm.
Cho hàm số \[y = f\left[ x \right]\] có đồ thị \[\left[ C \right]\], viết phương trình tiếp tuyến của \[\left[ C \right]\] tại điểm \[M\left[ {{x_0};f\left[ {{x_0}} \right]} \right] \in \left[ C \right]\].
Phương pháp:
- Bước 1: Tính \[y' = f'\left[ x \right] \Rightarrow f'\left[ {{x_0}} \right]\].
- Bước 2: Viết phương trình tiếp tuyến \[y = f'\left[ {{x_0}} \right]\left[ {x - {x_0}} \right] + f\left[ {{x_0}} \right]\]
- Bước 3: Kết luận.
Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua một điểm.
Cho hàm số \[y = f\left[ x \right]\] có đồ thị \[\left[ C \right]\], viết phương trình tiếp tuyến của \[\left[ C \right]\] biết tiếp tuyến đi qua điểm \[M\left[ {{x_M};{y_M}} \right]\].
Phương pháp:
- Bước 1: Tính \[y' = f'\left[ x \right]\].
- Bước 2: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \[{x_0}\] của \[\left[ C \right]\]: \[y = f'\left[ {{x_0}} \right]\left[ {x - {x_0}} \right] + f\left[ {{x_0}} \right]\].
- Bước 3: Thay tọa độ \[\left[ {{x_M};{y_M}} \right]\] vào phương trình trên, giải phương trình tìm \[{x_0}\].
- Bước 4: Thay mỗi giá trị \[{x_0}\] tìm được vào phương trình tiếp tuyến ta được phương trình cần tìm.
Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số cho biết hệ số góc.
Cho hàm số \[y = f\left[ x \right]\] có đồ thị \[\left[ C \right]\]. Viết phương trình tiếp tuyến của \[\left[ C \right]\] biết nó có hệ số góc \[k\].
Phương pháp:
- Bước 1: Tính \[y' = f'\left[ x \right]\].
- Bước 2: Giải phương trình \[f'\left[ x \right] = k\] tìm nghiệm \[{x_1},{x_2},...\].
- Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại các điểm \[\left[ {{x_1};f\left[ {{x_1}} \right]} \right],\left[ {{x_2};f\left[ {{x_2}} \right]} \right],...\]
Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết hệ số góc nhỏ nhất, lớn nhất.
Cho hàm số \[y = f\left[ x \right]\] có đồ thị \[\left[ C \right]\]. Viết phương trình tiếp tuyến của \[\left[ C \right]\] biết nó có hệ số góc nhỏ nhất, lớn nhất.
Phương pháp:
- Bước 1: Tính \[y' = f'\left[ x \right]\].
- Bước 2: Tìm GTNN [hoặc GTLN] của \[f'\left[ x \right]\] suy ra hệ số góc của tiếp tuyến và hoành độ tiếp điểm [là giá trị mà \[f'\left[ x \right]\] đạt GTNN, GTLN].
- Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm vừa tìm được.
a] Tiếp tuyến tại các điểm cực trị của đồ thị \[\left[ C \right]\] có phương song song hoặc trùng với trục hoành.
b] Cho hàm số bậc ba \[y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\left[ {a \ne 0} \right]\].
+] Khi \[a > 0\] thì tiếp tuyến tại tâm đối xứng của \[\left[ C \right]\] có hệ số góc nhỏ nhất.
+] Khi \[a < 0\] thì tiếp tuyến tại tâm đối xứng của \[\left[ C \right]\] có hệ số góc lớn nhất.
Dạng 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết mối quan hệ của nó với đường thẳng cho trước.
Cho hàm số \[y = f\left[ x \right]\] có đồ thị \[\left[ C \right]\].
Phương pháp:
- Bước 1: Tính \[y' = f'\left[ x \right]\].
- Bước 2: Nêu điều kiện về mối quan hệ giữa tiếp tuyến có hệ số góc \[k = f'\left[ x \right]\] với đường thẳng \[d\] có hệ số góc \[k'\].
+ Tiếp tuyến vuông góc \[d \Leftrightarrow k.k' = - 1\].
+ Tiếp tuyến song song với \[d \Leftrightarrow k = k'\].
+ Góc tạo bởi tiếp tuyến của \[[C]\] với \[d\] bằng \[\alpha \Leftrightarrow \tan \alpha = \left| {\dfrac{{{k} - {k'}}}{{1 + {k}{k'}}}} \right|\]
- Bước 3: Giải phương trình ở trên tìm nghiệm \[{x_1},{x_2},...\] và tọa độ các tiếp điểm.
- Bước 4: Viết phương trình các tiếp tuyến tại các tiếp điểm vừa tìm được.
Dạng 6: Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số có tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện nào đó.
Cho hàm số \[y = f\left[ x \right]\] có đồ thị \[\left[ C \right]\]. Tìm \[m\] để tiếp tuyến với \[\left[ C \right]\] đi qua điểm \[M\left[ {{x_M};{y_M}} \right]\] cho trước.
Phương pháp:
- Bước 1: Viết phương trình tiếp tuyến của \[\left[ C \right]\] tại điểm có hoành độ \[{x_0}\] thuộc \[\left[ C \right]\]: \[y = f'\left[ {{x_0}} \right]\left[ {x - {x_0}} \right] + f\left[ {{x_0}} \right]\]
- Bước 2: Nêu điều kiện để tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện đề bài:
Tiếp tuyến đi qua điểm \[M\left[ {{x_M};{y_M}} \right] \Leftrightarrow pt{\rm{ }}{y_M} = f'\left[ {{x_0}} \right]\left[ {{x_M} - {x_0}} \right] + f\left[ {{x_0}} \right]\] có nghiệm.
- Bước 3: Tìm điều kiện của \[m\] dựa vào điều kiện ở trên và kết luận.
2. Sự tiếp xúc của các đồ thị hàm số
Cho \[\left[ C \right]:y = f\left[ x \right]\] và \[\left[ {C'} \right]:y = g\left[ x \right]\].
Dạng 1: Xét sự tiếp xúc của hai đồ thị hàm số.
Phương pháp:
- Bước 1: Tính \[f'\left[ x \right],g'\left[ x \right]\].
- Bước 2: Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}f'\left[ x \right] = g'\left[ x \right]\\f\left[ x \right] = g\left[ x \right]\end{array} \right.\].
- Bước 3: Kết luận:
+ Nếu hệ có nghiệm thì \[\left[ C \right]\] và \[\left[ {C'} \right]\] tiếp xúc.
+ Nếu hệ vô nghiệm thì \[\left[ C \right]\] và \[\left[ {C'} \right]\] không tiếp xúc.
Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để hai đồ thị hàm số tiếp xúc với nhau.
Phương pháp:
- Bước 1: Tính \[f'\left[ x \right],g'\left[ x \right]\].
- Bước 2: Nêu điều kiện để hai đồ thị hàm số tiếp xúc:
\[\left[ C \right]\] và \[\left[ {C'} \right]\] tiếp xúc nếu và chỉ nếu hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}f'\left[ x \right] = g'\left[ x \right]\\f\left[ x \right] = g\left[ x \right]\end{array} \right.\] có nghiệm.
- Bước 3: Tìm \[m\] từ điều kiện trên và kết luận.
- lý thuyết
- trắc nghiệm
- hỏi đáp
- bài tập sgk
Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong \[y=x^3\]
a] Tại điểm \[\left[-1;-1\right]\]
b] Tại điểm có hoành độ bằng 2
c] Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3
Các câu hỏi tương tự
Bài toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số là một bài toán quan trọng vì nó thường hay xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp và đề thi đại học những năm qua. Vì vậy, các bạn học sinh lớp 11 và lớp 12 luyện thi đại học cần phải chú ý nhiều đến dạng bài tập này.
Trước tiên, chúng ta cần biết được tiếp tuyến là gì. Nói đơn giản và dễ hiểu thì như thế này:
Giả sử hàm số y=f[x] có đồ thị là một đường cong mà ta ký hiệu là [C], đường thẳng d tiếp xúc với [C] tại điểm gọi là tiếp tuyến của [C] tại điểm M.
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Trong định nghĩa này, chúng ta có khái niệm "d tiếp xúc với [C]", vậy như thế nào là tiếp xúc? Ta có thể xem hình bên trên để phân biết giữa tiếp xúc và cắt. Ta thấy đường thẳng d tiếp xúc với [C] tại điểm M và cắt [C] tại điểm N.
Điểm được gọi là tiếp điểm [điểm tiếp xúc] của tiếp tuyến và đồ thị. Vì điểm M thuộc đồ thị hàm số y=f[x] nên .
Ta thừa nhận rằng, hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm chính bằng đạo hàm của hàm số y=f[x] tại điểm . Vì vậy ta có được phương trình tiếp tuyến:
Trong một bài toán viết phương trình tiếp tuyến, ta chỉ cần tìm được tọa độ tiếp điểm và hệ số góc là có thể viết được phương trình.
Các dạng bài toán phương trình tiếp tuyến cơ bản
Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến biết tọa độ tiếp điểm. Với dạng này ta chỉ cần tính thêm hệ số góc là có thể viết ra được phương trình.
Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm .
Giải
Ta có:
Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm là:
Vậy ta được phương trình tiếp tuyến:
Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến biết hoành độ giao điểm. Nghĩa là ta đã biết được , ta cần tìm thêm và hệ số góc .
Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 1.
Giải
Ta có:
Gọi là tiếp điểm của tiếp tuyến và đồ thị hàm số.
Theo đề bài ta có:
Hệ số góc của tiếp tuyến:
Vậy ta được phương trình tiếp tuyến:
Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến biết tung độ tiếp điểm. Nghĩa là ta đã biết được . Ta sẽ tìm và hệ số góc.
Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ bằng 1.
Giải
Ta có:
Gọi là tiếp điểm của tiếp tuyến và đồ thị hàm số.
Theo đề bài ta có:
Hệ số góc của tiếp tuyến:
Vậy ta được phương trình tiếp tuyến:
Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc của tiếp tuyến. Ta cần tìm thêm tọa độ của tiếp điểm để viết được phương trình tiếp tuyến.
Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 5.
Giải
Ta có:
Gọi là tiếp điểm của tiếp tuyến và đồ thị hàm số.
Ta có hệ số góc của tiếp tuyến là:
Với suy ra phương trình tiếp tuyến:
Với suy ra phương trình tiếp tuyến:
Chú ý: Dạng 4 có thể cho ở dạng viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến song song hoặc vuông góc với một đường thẳng cho trước. Khi đó ta sử dụng nhận xét sau để tìm hệ số góc của tiếp tuyến:
- Hai đường thẳng song song thì hai hệ số góc bằng nhau.
- Hai đường thẳng vuông góc thì tích hai hệ số góc bằng -1.
Ngoài ra, ta cần phải nhớ rằng: đường thẳng có phương trình thì có hệ số góc là .
Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: .
Giải
Ta có:
Đường thẳng d:
Suy ra hệ số góc của d là .
Gọi là tiếp điểm của tiếp tuyến và đồ thị hàm số. Hệ số góc của tiếp tuyến là .
Vì tiếp tuyến vuông góc với d nên ta có:
[phương trình vô nghiệm]
Vậy không có tiếp tuyến thỏa yêu cầu bài toán.
Trên đây là các dạng toán viết phương trình tiếp tuyến cơ bản bắt buộc phải nắm được trước khi tiếp cận với những dạng khó hơn trong các đề thi tuyển sinh đại học.