A. Phương pháp giải
+] Áp dụng định lý: Nếu hàm số y = f[x] liên tục trên đoạn [a; b] và f[a].f[b] < 0, thì phương trình f[x] = 0 có ít nhất 1 nghiệm nằm trong khoảng [a; b].
+] Các bước làm bài chứng minh phương trình có nghiệm.
- Bước 1:Biến đổi phương trình cần chứng minh về dạng f[x] = 0.
- Bước 2:Tìm 2 số a và b [a < b] sao cho f[a] . f[b] < 0
- Bước 3:Chứng minh hàm số y = f[x] liên tục trên đoạn [a; b].
Từ đó suy ra phương trình f[x] = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc [a; b].
Lưu ý: Các bước trên có thể thay đổi thứ tự.
+] Một số chú ý:
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Chứng minh rằng phương trình 4x3 - 8x2 + 1 = 0 có nghiệm trong khoảng[–1;2].
Hướng dẫn giải:
Hàm số f[x] = 4x3 - 8x2 + 1 liên tục trên R.
Ta có: f[-1] = -11, f[2] = 1 nên f[-1].f[2] < 0.
Do đó theo tính chất hàm số liên tục, phương trìnhđã cho cóít nhất một nghiệm thuộc khoảng[–1;2].
Ví dụ 2:Chứng minh rằng phương trình x3+ x - 1 = 0 có nghiệm.
Hướng dẫn giải:
Đặt f[x] = x3+ x - 1
Hàm f[x] là hàm đa thức nên f[x] liên tục trên R [định lý cơ bản về tính liên tục]
Suy ra hàm f[x] liên tục trên đoạn [0; 1] [vì [0; 1]⊂ R] [1]
Ta có: f[0] = 03+ 0 – 1 = - 1 ; f[1] = 13 + 1 – 1 = 1
⇒ f[0] . f[1] = - 1. 1 = - 1 < 0 [2]
Từ [1] và [2] suy ra f[x] = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc [0; 1] [tính chất hàm số liên tục].
Vậy phương trình x3+ x - 1 = 0 có nghiệm [đpcm].
Ví dụ 3:Chứng minh 4x4+ 2x2- x - 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng [-1; 1].
Hướng dẫn giải:
+ Đặt f[x] = 4x4+ 2x2- x - 3
Vì f[x] là hàm đa thức nên f[x] liên tục trên R.
Suy ra f[x] liên tục trên các đoạn [-1 ; 0] và [0; 1].
+ Ta có: f[-1] = 4.[-1]4+ 2.[-1]2- [-1] - 3 = 4
f[0] = 4.0 + 2.0 - 0 - 3 = -3
f[1] = 4.14+ 2.12- 1 - 3 = 2
+ Vì f[-1].f[0] = 4.[-3] = -12 < 0 nên phương trình f[x] = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc [-1; 0]
Vì f[0] . f[1] = -3 . 2 = -6 < 0 nên phương trình f[x] = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc [0; 1]
Mà hai khoảng [-1; 0] và [0; 1] không giao nhau. Từ đó suy ra phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thuộc [-1; 1]. [đpcm]
Ví dụ 4:Chứng minh rằng phương trình x5- 5x3+ 4x - 1 = 0 có đúng 5 nghiệm.
Hướng dẫn giải:
Đặt f[x] = x5- 5x3+ 4x - 1 thì f[x] liên tục trên R [vì f[x] là hàm đa thức].
Ta có:
Ví dụ 5:Chứng minh rằng phương trình [m2- m + 3]x2n- 2x - 4 = 0 với n ∈ N* luôn có ít nhất 1 nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m.
Hướng dẫn giải:
Đặt f[x] = [m2- m + 3]x2n- 2x - 4
Ta có:
Mặt khác hàm số f[x] xác định là liên tục trên R nên hàm số liên tục trên đoạn [-2; 0]
Do đó phương trình f[x] = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng [-2; 0].
Vậy phương trình đã cho luôn có ít nhất 1 nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m.
Ví dụ 6:Chứng minh rằng với mọi a, b, c phương trình x3+ ax2+ bx + c = 0 luôn có nghiệm.
Hướng dẫn giải:
C. Bài tập áp dụng
Bài 1.Chứng minh phương trình sau có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng [-2;1]: 2x5-5x3-1=0.
Bài 2.CMR phương trình:2x3-5x2+x+1=0 có ít nhất hai nghiệm.
Bài 3.CMR phương trình: 3x3 + 2x – 5 = 0 có ít nhất một nghiệm.
Bài 4.CMR phương trình: 4x4 + 2x2 – x = 3 có ít nhất hai nghiệm phân biệt trên khoảng [-1; 1].
Bài 5.CMR phương trình 2x3 – 6x + 1 = 0 có ba nghiệm phân biệt trên đoạn
Bài 6.Chứng minh phương trình sau có nghiệm:
[m2 – 4][x – 1]6 + 5x2 – 7x + 1=0
Bài 7. Chứng minh rằng phương trình:
a. x5 + 7x4 – 3x2 + x + 2 = 0 có ít nhất một nghiệm.
b. cos2x = 2sinx – 2 có ít nhất hai nghiệm trong [-p/6; p]
c. x5 – 5x3 + 4x – 1 = 0 có năm nghiệm phân biệt
d. [m2 – 1]x5 – [11m2 – 10]x + 1 = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc [0;2]*
Bài 8. CMR các phương sau luôn có nghiệm:
a] m[x - 1][x - 2] + 2x + 1 = 0
b] [m2 - 2m]x3 + 2x - 1 = 0
c] cosx + mcoss2x = 0
d] [1 - m2][x + 1]3 + x2 - x - 3 = 0
Bài 9.Chứng minh rằng phương trình:
a. 2x5 + 3x4 + 3x2 – 1 = 0 có ít nhất 3 nghiệm.
b. 2x3 + 3x2 + 10x + 200 = 0 luôn có nghiệm.
c. 4x4 + 2x2 – x – 28 = 0 luôn có nghiệm
4.265 lượt xem
Chứng minh phương trình luôn có nghiệm
Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m là một dạng toán khó thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Tài liệu được GiaiToan.com biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.
A. Cách chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m
Bước 1: Tính Delta
Bước 2: Biến đổi biểu thức Delta, chứng minh Delta luôn dương thì phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
Bước 3: Kết luận.
B. Ví dụ chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m
Ví dụ 1: Cho phương trình
a] Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
b] Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào m.
Hướng dẫn giải
a] Ta có:
Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m
b] Theo hệ thức Vi – et ta có:
không phụ thuộc vào tham số m
Ví dụ 2: Cho phương trình
a] Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b] Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 < 1 < x2
Hướng dẫn giải
a] Ta có:
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m.
b] Theo hệ thức Vi – et ta có:
Theo giả thiết ta có:
x1 < 1 < x2 =>
=> [x1 – 1][x2 – 1] < 0
=> x1x2 – [x1 + x2] + 1 < 0 [**]
Từ [*] và [**] ta có:
[2m – 5] – [2m – 2] + 1 < 0
=> 0.2m – 2 < 0, đúng với mọi giá trị của m
Vậy với mọi giá trị của tham số m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 < 1 < x2
C. Bài tập chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m
Bài tập 1: Cho phương trình
Bài tập 2: Cho phương trình
a] Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.
b] Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm m sao cho A = [2x1 – x2][2x2 – x1] đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó.
Bài tập 3: Cho phương trình
a] Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m.
b] Tìm m để hai nghiệm của phương trình có giá trị tuyệt đối bằng nhau.
-----------------------------------------------------
Hy vọng tài liệu Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m sẽ giúp ích cho các bạn học sinh học nắm chắc các bài tập từ cơ bản đến nâng cao phần Phương trình bậc hai chứa tham số đồng thời học tốt môn Toán lớp 9. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo!
Ngoài ra mời quý thầy cô và học sinh tham khảo thêm một số nội dung:
- Luyện tập Toán 9
- Giải bài tập SGK Toán 9
- Đề thi giữa học kì môn Toán 9
Câu hỏi mở rộng củng cố kiến thức: