1. Khái niệm hàm số
* Định nghĩa:Nếu đại lượng y phụ thuộc vào một đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x, ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x được gọi là biến số.
* Hàm số thường được kí hiệu bởi những chữ \[f, g, h...\], chẳng hạn khi y là một hàm số của biến số x, ta viết \[y = f[x]\] hoặc \[y = g[x],...\]
+] \[f[a]\] là giá trị của hàm số \[y = f[x]\] tại \[x = a.\]
Khi hàm số y được cho bởi công thức y = f[x], muốn tính giá trị f[a] của hàm số tại x = a, ta thay x = a vào biểu thức f[x] rồi thực hiện các phép tính trong biểu thức.
+] Khi x thay đổi mà y luôn nhận một giá trị không đổi thì y được gọi là một hàm hằng.
2. Đồ thị của hàm số
Tập hợp các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng [x; f[x]] trên mặt phẳng tọa độ được gọi là đồ thị của hàm số \[y = f[x].\]
3. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến
Cho hàm số y = f[x] xác định với mọi giá trị của x thuộc tập số thực R. Với x1, x2 tùy ý thuộc R:
a] Nếu x1< x2 mà f[x1 ] < f[x2 ] thì hàm số y=f[x] được gọi là hàm đồng biến trên \[\mathbb R.\]
b] Nếu x1< x2 mà f[x1 ] > f[x2 ] thì hàm số y=f[x] được gọi là hàm nghịch biến trên\[\mathbb R.\]
Chú ý: Cho hàm số y = ax + b
+ Nếu a > 0 thì hàm số y =ax+ b đồng biến trên R
+ Nếu a < 0 thìhàm số y =ax+ b nghịch biến trên R
+ Nếu a = 0 thì hàm số là hàm hằng y = b
4. Các dạng toán cơ bản
Dạng 1: Tính giá trị của hàm số tại một điểm
Để tính giá trị \[{y_0}\]của hàm số \[y = f\left[ x \right]\] tại điểm \[{x_0}\] ta thay \[x = {x_0}\] vào \[f\left[ x \right]\], ta được \[{y_0} = f\left[ {{x_0}} \right]\].
Ví dụ: Giá trị của hàm số\[y = f\left[ x \right] = 2x - 3\] tại \[x=2\] là\[f\left[ 2 \right] = 2.2 - 3 = 1\]
Dạng 2 : Xét sự đồng biến và nghịch biến của hàm số
Bước 1: Tìm tập xác định \[D\] của hàm số.
Bước 2: Giả sử \[{x_1} < {x_2}\] và \[{x_1},{x_2} \in D\]. Xét hiệu \[H = f\left[ {{x_1}} \right] - f\left[ {{x_2}} \right]\].
+ Nếu \[H < 0\] thì hàm số đồng biến trên \[D\]
+ Nếu \[H > 0\] thì hàm số nghịch biến trên \[D\]
Ví dụ: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số \[y=f[x]=3x+1\]
Cách giải:
Hàm số xác định với mọi \[x\in \mathbb R\]
Giả sử \[{x_1} < {x_2}\] và \[{x_1},{x_2} \in \mathbb R\]
Ta có:
\[f\left[ {{x_1}} \right] = 3{x_1}+1\]
\[f\left[ {{x_2}} \right] = 3{x_2}+1\]
Suy ra \[f[x_1]-f[x_2]=3x_1+1-[3x_2+1]\]\[=3[x_1-x_2]