Bài 11 trang 81 sgk hình học 12 nâng cao
\(\eqalign{& \overrightarrow {AB} = \left( { - 1;1;0} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 1;0;1} \right),\cr &\overrightarrow {AD} = \left( { - 3;1; - 2} \right) \cr& \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] \cr &= \left( {\left| \matrix{1\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr0\,\,\,\,\,1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{0\,\,\,\, - 1 \hfill \cr1\,\,\,\,\, - 1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{- 1\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr- 1\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|} \right) \cr &= \left( { 1;1; 1} \right) \cr& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} \cr &= 1 .(-3)+ 1.1 +1.(-2) = - 4 \ne 0 \cr} \)
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Cho bốn điểm A(1 ; 0 ; 0), B(0 ; 1 ; 0), C(0 ; 0 ; 1) và D(-2 ; 1 ; -2). LG a Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình tứ diện. Phương pháp giải: Chứng minh\(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} \)không đồng phẳng hay \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} \ne 0\) Lời giải chi tiết: Ta có: \(\eqalign{ Do đó ba vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} \)không đồng phẳng. Vậy A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện. LG b Tính góc giữa các đường thẳng chứa các cạnh đối của tứ diện đó. Phương pháp giải: Sử dụng công thức tính cô sin góc giữa hai véc tơ \(\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}}\) Lời giải chi tiết: Ta có \(\overrightarrow {CD} = \left( { - 2;1; - 3} \right),\overrightarrow {BD} = \left( { - 2;0; - 2} \right),\) \(\overrightarrow {BC} = \left( {0; - 1;1} \right)\). Gọi \(\alpha ,\beta ,\gamma \)lần lượt là góc tạo bởi các cặp đường thẳng AB và CD, AC và BD, AD và BC thì \(\eqalign{ LG c Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh A. Phương pháp giải: Tính thể tích theo công thức\(V = {1 \over 6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|\) Lời giải chi tiết: Thể tích tứ diện ABCD là: \(V = {1 \over 6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right| \) \(= {1 \over 6}\left| { - 4} \right| = {2 \over 3}\) Gọi \({h_A}\)là đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh A. \(\eqalign{ Vậy \({h_A} = {{3.{2 \over 3}} \over {\sqrt 3 }} = {{2\sqrt 3 } \over 3}\)
|