Bài 13 trang 56 sbt hình học 12 nâng cao
|
Cho mặt cầu tâmObán kínhRvàA làđiểm cố định thuộc mặt cầu. Ba tia \(A{t_1},A{t_2},A{t_3}\) thay đổi, đôi một vuông góc với nhau và cắt mặt cầu tại các điểmB, C, D.
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Cho mặt cầu tâmObán kínhRvàA làđiểm cố định thuộc mặt cầu. Ba tia \(A{t_1},A{t_2},A{t_3}\) thay đổi, đôi một vuông góc với nhau và cắt mặt cầu tại các điểmB, C, D. LG 1 Chứng minh rằng hình hộp dựng trên ba cạnhAB, AC, ADcó một đường chéo cố định vàmp(BCD)luôn luôn đi qua một điểm cố định. Lời giải chi tiết: Dễ thấy các đỉnh của hình hộp chữ nhật dựng trên ba cạnhAB, AC, ADcũng thuộc mặt cầu đã cho. Khi ấy tâmOcủa mặt cầu là trung điểm của đường chéoAAcủa hình hộp, tức là hình hộp nêu trên có một đường chéo cố định làAA. Mặt khácAAcắtmp(BCD) tại trọng tâmGcủa tam giácBCDvà \(\overrightarrow {AG} = {1 \over 3}\overrightarrow {AA'} \). Vậymp(BCD)luôn luôn đi qua điểm cố địnhGnói trên. LG 2 Chứng minh rằng hình chiếuHcủa điểmDtrên đường thẳngBCthuộc một mặt cầu cố định. Lời giải chi tiết: Vì \(DH \bot BC,DA \bot mp(ABC)\) nên \(AH \bot BC\). GọiO1là trung điểm củaBCthì \({\rm{O}}{{\rm{O}}_1} \bot (BCA) \Rightarrow O{O_1} \bot AH,\) từ đó \(AH \bot HO.\) Điều này khẳng định điểmHthuộc mặt cầu đường kínhAO, mặt cầu này cố định vìA, Ocố định.
|
