- LG a
- LG b
Cho hàm số: \[y = - [{m^2} + 5m]{x^3} + 6m{x^2} + 6x - 5\]
LG a
Xác định \[m\] để hàm số đơn điệu trên \[\mathbb{R}\]. Khi đó, hàm số đồng biến hay nghịch biến? Tại sao?
Phương pháp giải:
- Tính \[y'\].
- Hàm số đơn điệu trên \[\mathbb{R}\] \[ \Leftrightarrow y'\] không đổi dấu trên \[\mathbb{R}\].
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[y' = - 3[{m^2} + 5m]{x^2} + 12mx + 6\]
Hàm số đơn điệu trên \[\mathbb{R}\] khi và chỉ khi \[y'\] không đổi dấu.
Ta xét các trường hợp:
+] \[{m^2} + 5m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = - 5\end{array} \right.\]
- Với \[m = 0\] thì \[y' = 6 > 0\] nên hàm số luôn đồng biến [thỏa mãn]
- Với \[m = - 5\] thì \[y' = - 60x + 6\] đổi dấu khi \[x\] đi qua \[\dfrac{1}{{10}}\] nên hàm số không đơn điệu trên \[\mathbb{R}\] [loại].
+] Với \[{m^2} + 5m \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m \ne - 5\end{array} \right.\].
Khi đó, \[y'\] không đổi dấu nếu \[\Delta ' = 36{m^2} + 18[{m^2} + 5m] \le 0\]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 36{m^2} + 18{m^2} + 90m \le 0\\
\Leftrightarrow 54{m^2} + 90m \le 0
\end{array}\]
\[ \Leftrightarrow 3{m^2} + 5m \le 0\]\[ \Leftrightarrow - \dfrac{5}{3} \le m \le 0\]
Kết hợp với \[m\ne 0\] ta được\[ - \frac{5}{3} \le m < 0\]
Với \[ - \frac{5}{3} \le m < 0\] thì \[{m^2} + 5m < 0\] nên \[ - 3[{m^2} + 5m] > 0\]
Do đó \[y' > 0\] và hàm số đồng biến trên \[\mathbb{R}\].
Kết hợp với m = 0 ở trên ta được \[ - \dfrac{5}{3} \le m \le 0\] thì hàm số đồng biến trên \[\mathbb{R}\].
LG b
Với giá trị nào của \[m\] thì hàm số đạt cực đại tại \[x = 1\]?
Phương pháp giải:
Hàm số đạt cực đại tại \[x = {x_0}\] thì \[\left\{ \begin{array}{l}f'\left[ {{x_0}} \right] = 0\\f''\left[ {{x_0}} \right] < 0\end{array} \right.\]
Lời giải chi tiết:
Nếu hàm số đạt cực đại tại \[x = 1\] thì \[y'\left[ 1 \right] = 0\]\[ \Leftrightarrow - 3{m^2} - 3m + 6 = 0\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 2\end{array} \right.\]
Mặt khác, \[y'' = - 6[{m^2} + 5m]x + 12m\]
+] Với \[m = 1\;\] thì \[y'' = - 36x + 12\]. Khi đó, \[y''\left[ 1 \right] = - 24 < 0\], hàm số đạt cực đại tại \[x = 1\].
+] Với \[m = - 2\] thì \[y'' = 36x-24\]. Khi đó, \[y''\left[ 1 \right] = 12 > 0\], hàm số đạt cực tiểu tại \[x = 1\].
Vậy với \[m = 1\;\] thì hàm số đạt cực đại tại \[x = 1\].