- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Trong kì kiểm tra chất lượng ở hai khối lớp, mỗi khối có \[25\%\] học sinh trượt Toán, \[15\%\] trượt Lí và \[10\%\] trượt Hoá. Từ mỗi khối chọn ngẫu nhiên một học sinh. Tính xác suất sao cho
LG a
Hai học sinh đó trượt Toán;
Phương pháp giải:
Sử dụng tính chất biến cố \[A\] và \[B\] độc lập khi và chỉ khi \[P[A.B]=P[A].P[B]\] để tính \[P[A.B]\].
Lời giải chi tiết:
Kí hiệu \[{A_1},{A_2},{A_3}\] lần lượt là các biến cố:Học sinh được chọn từ khối I trượt Toán, Lí, Hoá; \[{B_1},{B_2},{B_3}\] lần lượt là các biến cố: Học sinh được chọn từ khối II trượt Toán, Lí, Hoá. Rõ ràng với mọi \[[i,j]\], các biến cố \[{A_i}\] và \[{B_j}\] độc lập.
Do đó ta có xác suất hai học sinh đó trượt Toán là \[P\left[ {{A_1}.{B_1}} \right] = P\left[ {{A_1}} \right]P\left[ {{B_1}} \right] \]
\[= \dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{{16}}\].
LG b
Hai học sinh đó đều bị trượt một môn nào đó;
Phương pháp giải:
Sử dụng tính chất biến cố \[A\] và \[B\] độc lập khi và chỉ khi \[P[A.B]=P[A].P[B]\]
Sử dụng tính chất nếu \[A\] và \[B\] là hai biến cố xung khắc cùng liên quan đến phép thử thì của xác suất \[P[A\cup B]=P[A]+P[B]\]
Lời giải chi tiết:
Kí hiệu \[{A_1},{A_2},{A_3}\] lần lượt là các biến cố:Học sinh được chọn từ khối I trượt Toán, Lí, Hoá; \[{B_1},{B_2},{B_3}\] lần lượt là các biến cố: Học sinh được chọn từ khối II trượt Toán, Lí, Hoá. Rõ ràng với mọi \[[i,j]\], các biến cố \[{A_i}\] và \[{B_j}\] độc lập.
Ta có \[A_1\], \[A_2\], \[A_3\] là ba biến cố xung khắc cùng liên quan đến phép thử chọn ngẫu nhiên một học sinh nên \[P[A_1\cup A_2\cup A_3]\]
\[=P[A_1]+P[A_2]+P[A_3]\]
\[=\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{20}+\dfrac{1}{10}=\dfrac{1}{2}\]
Tương tự ta tính được \[P[B_1\cup B_2\cup B_3]=\dfrac{1}{2}\]
Xác suất để hai học sinh đó đều bị trượt một môn nào đó là \[P\left[ {\left[ {{A_1} \cup {A_2} \cup {A_3}} \right] \cap \left[ {{B_1} \cup {B_2} \cup {B_3}} \right]} \right] \]
\[= P\left[ {{A_1} \cup {A_2} \cup {A_3}} \right].P\left[ {{B_1} \cup {B_2} \cup {B_3}} \right] \]
\[= \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}\].
LG c
Hai học sinh đó không bị trượt môn nào;
Phương pháp giải:
Với bài toán này ta tính xác suất bằng cách sử dụng hệ quả: Với mọi biến cố \[A\] ta có \[P[\overline{A}]=1-P[A]\].
Sử dụng tính chất biến cố \[A\] và \[B\] độc lập khi và chỉ khi \[P[A.B]=P[A].P[B]\]
Lời giải chi tiết:
Đặt \[A = {A_1} \cup {A_2} \cup {A_3},B = {B_1} \cup {B_2} \cup {B_3}\].
Cần tính \[P\left[ {\overline A \cap \overline B } \right].\]
Ta có \[A_1\], \[A_2\], \[A_3\] là ba biến cố xung khắc cùng liên quan đến phép thử chọn ngẫu nhiên một học sinh nên \[P[A_1\cup A_2\cup A_3]\]
\[=P[A_1]+P[A_2]+P[A_3]\]
\[=\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{20}+\dfrac{1}{10}=\dfrac{1}{2}\]
Tương tự ta tính được \[P[B_1\cup B_2\cup B_3]=\dfrac{1}{2}\]
Do \[\overline A \] và \[\overline B \] độc lậpnên \[P\left[ {\overline A \cap \overline B } \right] = P\left[ {\overline A } \right]P\left[ {\overline B } \right] \]
\[= \left[ {1 - P\left[ A \right]} \right]\left[ {1 - P\left[ B \right]} \right] \]
\[= \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}\].
LG d
Có ít nhất một trong hai học sinh bị trượt ít nhất một môn
Phương pháp giải:
Sử dụng tính chất biến cố \[A\] và \[B\] độc lập khi và chỉ khi \[P[A.B]=P[A].P[B]\]
Sử dụng tính chất với hai biến cố \[A\] và \[B\] bất kì cùng liên quan đến phép thử thì \[P\left[ {A \cup B} \right] = P\left[ A \right] + P\left[ B \right] -\]
\[P\left[ {A \cap B} \right]\]
Lời giải chi tiết:
Đặt \[A = {A_1} \cup {A_2} \cup {A_3},B \]
\[= {B_1} \cup {B_2} \cup {B_3}\], \[P[A]=P[A_1\cup A_2\cup A_3]=\dfrac{1}{2}\], \[P[B]=P[B_1\cup B_2\cup B_3]=\dfrac{1}{2}\], \[P[A\cap B]=P[A.B]=P[A].P[B]\]
\[=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}\]
Cần tính \[P\left[ {A \cup B} \right]\]
Ta có \[P\left[ {A \cup B} \right] = P\left[ A \right] + P\left[ B \right] \]
\[- P\left[ {A \cap B} \right]\]
\[= \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4}\]
\[= \dfrac{3}{4}\].