Bài 3.65 trang 134 sbt hình học 12

LG a

Xác định tọa độ tâm I và bán kính r của mặt cầu (S).

Phương pháp giải:

Mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \).

Giải chi tiết:

(S) có tâm \(I\left( { - \dfrac{3}{2}; - 2;\dfrac{5}{2}} \right)\) và có bán kính \(r = \sqrt {\dfrac{9}{4} + 4 + \dfrac{{25}}{4} - 6} = \dfrac{{\sqrt {26} }}{2}\)

LG b

Tính khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P). Từ đó chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn mà ta kí hiệu là (C). Xác định bán kính r và tâm H của đường tròn (C).

Phương pháp giải:

Công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\).

Vị trí tương đối của \(\left( P \right)\) và \(\left( S \right)\):

+) \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) < R\) thì \(\left( P \right)\) cắt \(\left( S \right)\).

+) \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = R\) thì \(\left( P \right)\) tiếp xúc \(\left( S \right)\).

+) \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) > R\) thì \(\left( P \right)\) không cắt \(\left( S \right)\).

Sử dụng công thức \({R^2} = {d^2} + {r^2}\) với \(R\) là bán kính mặt cầu, \(r\) là bán kính đường tròn, \(d\) là khoảng cách từ \(I\) đến \(\left( P \right)\).

Giải chi tiết:

\(d(I,(P)) = \dfrac{{\left| {2.\left( { - \dfrac{3}{2}} \right) - 3.\left( { - 2} \right) + 4.\dfrac{5}{2} - 5} \right|}}{{\sqrt {4 + 9 + 16} }}\)\( = \dfrac{8}{{\sqrt {29} }} < \dfrac{{\sqrt {26} }}{2}\)

Vậy \(d(I, (P)) < r\)

Suy ra mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn tâm H bán kính r.

H chính là hình chiếu vuông góc của I xuống mặt phẳng (P).

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng qua I và vuông góc với (P). Ta có vecto chỉ phương của \(\Delta \) là

\(\overrightarrow {{a_\Delta }} = \overrightarrow {{n_{(P)}}} = (2; - 3;4)\)

Phương trình tham số của \(\Delta \) : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - \dfrac{3}{2} + 2t}\\{y = - 2 - 3t}\\{z = \dfrac{5}{2} + 4t}\end{array}} \right.\)

\(\Delta \) cắt (P) tại \(H\left( { - \dfrac{3}{2} + 2t; - 2 - 3t;\dfrac{5}{2} + 4t} \right)\). Ta có:

\(H \in (\alpha )\)\( \Leftrightarrow 2\left( { - \dfrac{3}{2} + 2t} \right) - 3( - 2 - 3t)\) \( + 4\left( {\dfrac{5}{2} + 4t} \right) - 5 = 0\)

\( \Leftrightarrow 29t + 8 = 0 \Leftrightarrow t = - \dfrac{8}{{29}}\)

Suy ra tọa độ \(H\left( { - \dfrac{3}{2} - \dfrac{{16}}{{29}}; - 2 + \dfrac{{24}}{{29}};\dfrac{5}{2} - \dfrac{{32}}{{29}}} \right)\) hay \(H\left( {\dfrac{{119}}{{58}};\dfrac{{ - 34}}{{29}};\dfrac{{81}}{{58}}} \right)\)

Ta có \(r{'^2} = {r^2} - {d^2}\left( {I,(P)} \right)\)\( = \dfrac{{26}}{4} - \dfrac{{64}}{{29}} = \dfrac{{249}}{{58}}\).

Suy ra \(r' = \sqrt {\dfrac{{249}}{{58}}} \).