Cho hình chóp S. ABCD. Gọi \[A_1\] là trung điểm của cạnh SA và \[A_2\] là trung điểm của đoạn \[AA_1\]. Gọi [α] và [β] là hai mặt phẳng song song với mặt phẳng [ABCD] và lần lượt đi qua \[A_1, A_2\]. Mặt phẳng [α] cắt các cạnh \[ SB, SC, SD\] lần lượt tại \[B_1, C_1, D_1\] . Mặt phẳng [β] cắt các cạnh \[SB, SC, SD\] lần lượt tại \[B_2, C_2, D_2\]. Chứng minh:
a] \[B_1, C_1, D_1\] lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC, SD.
b] \[B_1B_2 = B_2B, C_1C_2 = C_2C, D_1D_2 = D_2D.\]
c] Chỉ ra các hình chóp cụt có một đáy là tứ giác ABCD.
Gợi ý:
Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác và đường trung bình của hình thang.
a] Vì \[\left[ \alpha \right]//[\beta] //\left[ ABCD \right]\] nên
\[\begin{align} & {{A}_{1}}{{B}_{1}}//{{A}_{2}}{{B}_{2}}//AB;\,\,{{B}_{1}}{{C}_{1}}//{{B}_{2}}{{C}_{2}}//BC \\ & {{C}_{1}}{{D}_{1}}//{{C}_{2}}{{D}_{2}}//CD;\,\,{{A}_{1}}{{D}_{1}}//{{A}_{2}}{{D}_{2}}//AD \\ \end{align} \]
Mà \[A_1\] là trung điểm của SA nên \[A_1B_1\] là đường trung bình của tam giác SAB. Do vậy \[B_1\] là trung điểm của SB.
Tương tự ta có \[C_1, D_1\] là trung điểm của SC và SD.
b]
Vì \[A_2\] là trung điểm của \[A_1A\] và \[A_2B_2//A_1B_1//AB\] nên \[A_2B_2\] là đường trung bình của hình thang \[A_1B_1BA\] nên \[B_1B_2=B_2B.\]
Tương tự ta cũng có: \[C_1C_2=C_2C; D_1D_2=D_2D\]
c] Các hình chóp cụt có một đáy là tứ giác ABCD là: \[A_2B_2C_2D_2.ABCD, A_1B_1C_1D_1.ABCD\]