Tóm tắt nội dung tài liệu
- ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH BÀI TẬP CHƯƠNG IV. KHÔNG GIAN VECTƠ 1. Xét tính độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính của các hệ vectơ sau: a. x1 = [1, −1, 2], x2 = [0, 2,3], x3 = [−1,1,1] b. x1 = [1, −1,0,1], x2 = [0, 2,1, −1], x3 = [2,0,1,1] c. x1 = [1,1,1,1], x2 = [1,0,1,1], x3 = [1,1,0,1], x4 = [0,1,1,1] ⎡ 1 −5⎤ ⎡ 1 1⎤ ⎡ 2 −4 ⎤ ⎡ 1 −7 ⎤ d. A1 = ⎢ , A2 = ⎢ , A3 = ⎢ , A4 = ⎢ ⎣ −4 2 ⎥ ⎦ ⎣ −1 5⎥ ⎦ ⎣ −5 7 ⎥ ⎦ ⎣ −5 1 ⎥ ⎦ e. p1 = x 2 − 2 x + 3, p2 = x 2 + 1, p2 = 2 x3 + x 2 − 4 x + 10 trong 3[x] . f.p1 = x3 + 1, p2 = x 2 + 1, p3 = −2 x 2 + x, p4 = −2 x − 4 trong 3[x] . 2. Cho hệ vectơ x1, x2 ,… , xn độc lập tuyến tính của một không gian vectơ V. Chứng minh hệ vectơ y1 = x1, y2 = x1 + x2 ,… , yn = x1 + x2 + … + xn cũng độc lập tuyến tính. 3. Chứng minh rằng nếu trong hệ vectơ x1, x2 ,… , xn không có vectơ nào biểu thị tuyến tính qua các vectơ còn lại thì x1, x2 ,… , xn độc lập tuyến tính . 4. Tìm hạng và hệ con độc lập tuyến tính tối đại của các hệ sau: a. x1 = [47, 26,16], x2 = [−67,98, −428], x3 = [35, 23,1], x4 = [201, −294,1284], x5 = [155,86,52] . b. x1 = [24, 49,73, 47], x2 = [19, 40,59,36], x3 = [36,73,98,71], x4 = [72,147, 219,141], x5 = [−38, −80, −118, −72] . c. x1 = [17, 24, 25,31, 42], x2 = [−28, −37, −7,12,13], x3 = [45,61,32,19, 29], x4 = [11,13, −18, −43, −55], x5 = [39,50, −11, −55, −68] . 5. Cho hệ vectơ x1, x2 ,… , xn biểu thị tuyến tính được qua hệ y1, y2 ,… , ym . Chứng minh: a. rank{x1, x2 ,… , xn } ≤ rank{y1, y2 ,… , ym } . b. Nếu 2 hệ này có cùng hạng thì chúng tương đương. 6. Chứng minh: rank{x1, x2 ,… , xn }=rank{u , x1, x2 ,… , xn } ⇔ u biểu thị tuyến tính được qua x1, x2 ,… , xn . 3 7. Trong , cho hệ vectơ u1 = [1, 2,1], u2 = [−1,0,1], u3 = [0,1, 2] . a. Chứng minh u1, u2 , u3 là một cơ sở của 3 . b. Tìm tọa độ của u = [ a, b, c] trong cơ sở u1, u2 , u3 .
- ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 3 8. Trong , cho 2 hệ vectơ u1 = [1,1,1], u2 = [1,1, 2], u3 = [0,1, 2] và v1 = [2,1, −3], v2 = [3, 2, −5], v3 = [1, −1,1] . a. Chứng minh 2 hệ trên là 2 cơ sở của 3 . b. Viết ma trân chuyển từ cơ sở [u] sang cơ sở [v] và ngược lại. c. Tìm tọa độ của vectơ x = −2u1 + 3u2 − u3 trong cơ sở [v]. 9. Chứng minh tập hợp: a. { } A = [ x, y, z ] ∈ 3 / x − y + 2 z = 0 là không gian con của 3 . b. B = {[ x, y, z , t ] ∈ 4 / 2x − y + z = x − t = 0 } là không gian con của 4 . ⎧ ⎡ a −b ⎤ ⎫ c. C = ⎨ ⎢ ⎥ / a, b∈ ⎬ là không gian con của M 2 [ ] . ⎩⎣b a⎦ ⎭ 10. Tìm cơ sở và số chiều của các không gian vectơ con sinh bởi: a. a1 = [1,0,0, −1], a2 = [2,1,1,0], a3 = [1,1,1,1], a4 = [1, 2,3, 4], a5 = [0,1, 2,3] . Tìm điều kiện đối với x,y,z,t để vectơ u = [ x, y, z , t ] thuộc về không gian con này. b. a1 = [1, −1,1,0], a2 = [1,1,0,1], a3 = [2,0,1,1] . Tìm điều kiện đối với x,y,z,t để vectơ u = [ x, y, z , t ] thuộc về không gian con này. c. a1 = [1, −1,1, −1,1], a2 = [1,1,0,0,3], a3 = [3,1,1, −1,7], a4 = [0, 2, −1,1, 2] Tìm điều kiện đối với x,y,z,t,u để vectơ a = [ x, y, z , t , u ] thuộc về không gian con này. 11. Tìm cơ sở và số chiều của các không gian vectơ con ở bài 9. 12. Tìm cơ sở và số chiều của các không gian vectơ con U + V , U ∩ V với: a. U = [1, 2,1], [1,1, −1], [1,3,3] và V = [2,3, −1], [1, 2, 2], [1,1, −3] . b. U = [1,1,0,0], [0,1,1,0], [0,0,1,1] và V = [1,0,1,0], [0, 2,1,1], [1, 2,1, 2] c. U = {[ x, y , z , t ] / x − 2 z + t = 0} và V = {[ x, y, z , t ] / x = t ∧ y − 2 z = 0} 13. Tìm cơ sở và số chiều của các không gian các nghiệm của hệ thuần nhất: ⎧ x1 + 2 x2 − 3 x4 − x5 = 0 ⎪ ⎪ x1 − x2 + 2 x3 − x4 =0 a. ⎨ ⎪4 x1 − 2 x2 + 6 x3 + 3 x4 − 4 x5 = 0 ⎪2 x1 + 4 x2 − 2 x3 + 4 x4 − 7 x5 = 0 ⎩
- ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ⎧ x1 − x3 =0 ⎪ ⎪ x2 − x4 =0 ⎪ x1 − x2 + x5 = 0 ⎪ b. ⎨ ⎪− x2 + x4 − x6 = 0 ⎪− x3 + x5 =0 ⎪ ⎪ x4 − x6 ⎩ =0 ⎧ x1 − x3 + x5 = 0 ⎪ ⎪ x2 − x4 + x5 = 0 ⎪ c. ⎨ x1 − x2 + x5 − x6 = 0 ⎪x − x − x = 0 ⎪ 2 3 6 ⎪ x1 − x4 + x5 = 0 ⎩ 14. Hãy tìm hệ pt thuần nhất có không gian nghiệm là: a. U = [1,1,0], [1,0, −2] b. U = [2, −1,0,1], [1,0, −1, 2], [1, −1,1, −1], [3, −1, −1,3] 3 15. Trong cho 3 cơ sở α , β , γ . Biết ⎡ 2 1 1⎤ ⎡1 0 1 ⎤ Tαβ = ⎢ −1 −1 0 ⎥ , Tγβ = ⎢1 1 −1⎥ ⎢ 1 −1 1 ⎥ ⎢1 1 0 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ và γ 1 = [1,1,1], γ 2 = [1,0,1], γ 3 = [0,1,1] . Hãy tìm cơ sở α .
Page 2
YOMEDIA
Tài liệu tham khảo dành cho giáo viên và học sinh cao đẳng đại học - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH - BÀI TẬP CHƯƠNG IV - KHÔNG GIAN VECTƠ.
20-10-2010 1909 373
Download
Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2009-2019 TaiLieu.VN. All rights reserved.
| Chương I | Chương II | Chương III | Chương IV | | Ma trận và các phép toán trên không gian các ma trận | Không gian véc tơ | Định nghĩa ánh xạ tuyến tính | Dạng song tuyến tính và dạng toàn phương | | Định thức của ma trận | Không gian con | Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính | Ma trận của dạng song tuyến tính, ma trận của dạng toàn phương | | Ma trận khả nghịch | Hệ véc tơ độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính | Ma trận của ánh xạ tuyến tính | Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc | | Hệ phương trình tuyến tính | Hạng của họ véc tơ, không gian véc tơ sinh bởi một hệ véc tơ | Chéo hóa ma trận, chéo hóa ánh xạ tuyến tính | Xác định dấu của dạng toàn phương |
Các em sinh viên nên thường xuyên theo dõi website để làm bài tập thầy giao, xem đề cương ôn thi giữa kì, thi kết thúc học phần cũng như tham khảo tài liệu bổ ích. |
5 111 KB 0 20
Nhấn vào bên dưới để tải tài liệu
Để tải xuống xem đầy đủ hãy nhấn vào bên trên
Ôn tập TVH- Cơ sở trực chuẩn Bài 1
Trong R 3 , < x, y >= x1 y1 + x1 y2 + x2 y1 + 2x2 y2 + x3 y3
a] Chứng minh biểu thức trên là 1 TVH trong R 3
b] Cho hệ véc tơ V = {v1 = [1, 0, 1], v2 = [0, 1, 2], v3 = [1, 1, 1]}, dùng
G-S trực giao hóa hệ V
c] Tìm hệ véc tơ B = {b1 , b2 , b3 } trực chuẩn sao cho L[B] = L[V ] TS. GVC. Trịnh Thị Minh Hằng [BM Toán] Ngày 17 tháng 5 năm 2020 1 / 21 Ôn tập Phép biến đổi TG- ĐX Bài 2
Cho phép biến đổi đối xứng
f : R 3 → R 3 , f [x, y , z] = [7x − 5y + 4z, −5x + 7y + 4z, 4x + 4y − 2z].
Tìm 1 cơ sở trực chuẩn gồm các véc tơ riêng của f Bài 3
Chứng minh f [x, y ] = [y , x] là phép biến đổi trực giao trong R 2 TS. GVC. Trịnh Thị Minh Hằng [BM Toán] Ngày 17 tháng 5 năm 2020 2 / 21 Chéo hóa trực giao ma trận đối xứng Bài 4
Chéo hóa trực giao ma trận sau TS. GVC. Trịnh Thị Minh Hằng [BM Toán] Ngày 17 tháng 5 năm 2020 3 / 21 Chéo hóa trực giao ma trận đối xứng Bài 4
Chéo hóa trực giao ma trận sau
2 5
A=
5 2
2
5 −4
A = 5 −7 5
−4 5
2 TS. GVC. Trịnh Thị Minh Hằng [BM Toán] Ngày 17 tháng 5 năm 2020 3 / 21 Dạng Toàn phương Bài 5
Cho ma trận
2
5 −4
A = 5 −7 5
−4 5
2
a] Viết dạng song tuyến tính trong R 3 tương ứng có ma trận là A trong cơ
sở chính tắc
b] Viết dạng toàn phương liên kết với dạng song tuyến tính trên
c] Đưa DTP về chính tắc nhờ pp LG và Phép BĐ TG.
d] Xét dấu của DTP [ Phân loại DTP] TS. GVC. Trịnh Thị Minh Hằng [BM Toán] Ngày 17 tháng 5 năm 2020 4 / 21 This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
30 393 KB 4 97
Nhấn vào bên dưới để tải tài liệu
Đang xem trước 10 trên tổng 30 trang, để tải xuống xem đầy đủ hãy nhấn vào bên trên
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH - HK2 - NĂM 2015-2016 Chương 4
ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
//www.math.hcmus.edu.vn/∼luyen/dsb1
FB: fb.com/daisob1
Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh Chương 4. Ánh xạ tuyến tính 26/04/2016 1/29 Nội dung
Chương 4. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
1. Định nghĩa
2. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính
3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính Chương 4. Ánh xạ tuyến tính 26/04/2016 2/29 4.1. Định nghĩa
1 Ánh xạ 2 Ánh xạ tuyến tính Chương 4. Ánh xạ tuyến tính 26/04/2016 3/29 4.1.1. Ánh xạ
Định nghĩa. Một ánh xạ f từ tập X vào tập Y là một phép liên kết
từ X vào Y sao cho mỗi phần tử x của X được liên kết với duy nhất
một phần tử y của Y, ký hiệu: y = f [x]
f : X −→ Y
x 7−→ y = f [x]. Khi đó X được gọi là tập nguồn, Y được gọi là tập đích.
Chương 4. Ánh xạ tuyến tính 26/04/2016 4/29 Không là ánh xạ
Ví dụ.
• f : R → R xác định bởi f [x] = x2 + 2x − 1 là ánh xạ.
• g : R3 → R2 xác định bởi g[x, y, z] = [2x + y, x − 3y + z] là ánh xạ.
• h : Q → Z xác định bởi h[ m
n ] = m không là ánh xạ.
Chương 4. Ánh xạ tuyến tính 26/04/2016 5/29 4.1.2. Ánh xạ tuyến tính
Định nghĩa. Cho V và W là hai không gian vectơ trên R. Ta nói ánh
xạ f : V −→ W là một ánh xạ tuyến tính nếu thỏa hai điều kiện
sau:
i] f [u + v] = f [u] + f [v] với mọi u, v ∈ V ;
ii] f [αu] = αf [u] với mọi α ∈ R và với mọi u ∈ V.
Nhận xét. Điều kiện i] và ii] trong định nghĩa có thể được thay thế
bằng một điều kiện :
f [αu + v] = αf [u] + f [v], ∀α ∈ R, ∀u, v ∈ V.
Ký hiệu.
• L[V, W ] là tập hợp các ánh xạ tuyến tính từ V vào W.
• Nếu f ∈ L[V, V ] thì f được gọi là một toán tử tuyến tính trên V.
Viết tắt f ∈ L[V ].
Chương 4. Ánh xạ tuyến tính 26/04/2016 6/29 Ví dụ. Cho ánh xạ f : R3 −→ R2 xác định bởi
f [x, y, z] = [x + 2y − 3z, 2x + z].
Chứng tỏ f là ánh xạ tuyến tính.
Giải. Với mọi u = [x1 , y1 , z1 ], v = [x2 , y2 , z2 ] ∈ R3 . Ta có
f [u + v] = f [x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 ]
= [[x1 + x2 ] + 2[y1 + y2 ] − 3[z1 + z2 ], 2[x1 + x2 ] + [z1 + z2 ]]
= [x1 + x2 + 2y1 + 2y2 − 3z1 − 3z2 , 2x1 + 2x2 + z1 + z2 ]
= [x1 + 2y1 − 3z1 , 2x1 + z1 ] + [x2 + 2y2 − 3z2 , 2x2 + z2 ]
= f [u] + f [v].
Tính chất ∀α ∈ R, f [αu] = αf [u] được kiểm tra tương tự.
Ví dụ.[tự làm] Cho ánh xạ f : R3 −→ R3 xác định bởi
f [x, y, z] = [x + y + z, x − 2y, y − 3z].
Chứng tỏ f là ánh xạ tuyến tính.
Chương 4. Ánh xạ tuyến tính 26/04/2016 7/29 Mệnh đề. Cho f : V → W là ánh xạ tuyến tính. Khi đó
[i] f [0] = 0;
[ii] Với mọi u ∈ V, ta có f [−u] = −f [u];
[iii] Với mọi u1 , . . . , um ∈ V và với mọi α1 , . . . αm , ta có
f [α1 u1 + · · · + αm um ] = α1 f [u1 ] + · · · + αm f [um ].
Ví dụ. Cho f ∈ L[R3 , R2 ] và
f [1, 2, 1] = [2, 1]; f [−1, 2, 3] = [4, −3].
Tính f [5, 2, −3]?
Giải. Ta có [5, 2, −3] = 3[1, 2, 1] − 2[−1, 2, 3]. Suy ra
f [5, 2, −3] = 3[2, 1] − 2[4, −3] = [−2, 9]. Chương 4. Ánh xạ tuyến tính 26/04/2016 8/29 Định lý. Cho V và W là hai không gian vectơ, B = {u1 , u2 , . . . , un } là
cơ sở của V. Khi đó, nếu S = {v1 , v2 , . . . , vn } là một tập hợp của W thì
tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính f : V → W sao cho
f [u1 ] = v1 , f [u2 ] = v2 , . . . , f [un ] = vn .
α1
α2
Hơn nữa, nếu [u]B = . thì
..
αn
f [u] = α1 f [u1 ] + α2 f [u2 ] + · · · + αn f [un ].
Ví dụ. Trong không gian R3 cho các vectơ:
u1 = [1, −1, 1]; u2 = [1, 0, 1]; u3 = [2, −1, 3].
a] Chứng tỏ B = [u1 , u2 , u3 ] là một cơ sở của R3 .
b] Tìm ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 thỏa:
f [u1 ] = [2, 1, −2]; f [u2 ] = [1, 2, −2]; f [u3 ] = [3, 5, −7].
Chương 4. Ánh xạ tuyến tính 26/04/2016 9/29 Giải. a] Chứng tỏ B = [u1 , u2 , u3 ] là một cơ sở của R3 .
u1
1 −1 1
0 1. Ta có |A| = 1, suy ra B độc lập tuyến
Lập A = u2 = 1
u3
2 −1 3
tính. Vì dimR3 = 3 bằng số vectơ của B nên B là một cơ sở của R3 . b] Tìm ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 thỏa:
f [u1 ] = [2, 1, −2]; f [u2 ] = [1, 2, −2]; f [u3 ] = [3, 5, −7].
Cho u = [x, y, z] ∈ R3 , ta sẽ tìm [u]B . Lập ma trận mở rộng
1 0 0 x−y−z
1 1
2 x
> > >
−1 0 −1 y → 0 1 0 2x + y − z .
[u>
1 u2 u3 |u ] =
1 1
3 z
0 0 1 −x + z
Chương 4. Ánh xạ tuyến tính 26/04/2016 10/29 This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Video liên quan