1. Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền
a] Em thực hiện hoạt động sau
- Xem hình vẽ 16, chỉ ra tất cả các tam giác đồng dạng với tam giác ABH trong hình vẽ.
- Dựa vào các tỉ số đồng dạng của các tam giác tìm được, em hoàn thành các đẳng thức sau:
$AC^{2}$ = CH x ............
$b^{2}$ = ........................ ;
$AB^{2}$ = BH x ............
$c^{2}$ = ........................
Trả lời:
- Các tam giác đồng dạng với tam giác ABH là tam giác CBA, tam giác CAH.
- $AC^{2}$ = CH x CB
$b^{2}$ = b'.[b' + c'] ;
$AB^{2}$ = BH x BC
$c^{2}$ = c'.[b' + c'].
b] Đọc kĩ nội dung sau
- Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.
c] Áp dụng công thức $b^{2}$ = ab', $c^{2}$ = ac' để làm bài tập sau
Bài tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB = 6, BC = 10. Tính độ dài x, y trên hình 17. Điền vào chỗ chấm [....] để hoàn thành lời giải.
Gợi ý: Áp dụng công thức $b^{2}$ = ab', $c^{2}$ = ac' cho tam giác vuông..........., đường cao.......:
+ $AB^{2}$ = BH x ...... $\Rightarrow $ $6^{2}$ = ..... x .......
$\Rightarrow $ x =..... = ........
+ y = BC - .....= 10 - ......
Trả lời:
Áp dụng công thức $b^{2}$ = ab', $c^{2}$ = ac' cho tam giác vuông ABC đường cao AH:
+ $AB^{2}$ = BH x BC $\Rightarrow $ $6^{2}$ = x.[x + y]
$\Rightarrow $ x = $\frac{6^{2}}{10}$= 3,6
+ y = BC - 3,6 = 10 - 3,6 = 6,4.
2. Một số hệ thức liên quan tới đường cao
a] Em điền vào chỗ chấm [....] để hoàn thành chứng minh sau
$\Delta $ABH $\sim $ $\Delta $CA [g.g] [h.18]
$\Rightarrow $ $\frac{AH}{.....}$ = $\frac{BH}{......}$ $\Rightarrow $ $AH^{2}$ = .......
Trả lời:
$\Delta $ABH $\sim $ $\Delta $CAH [g.g] [h.18]
$\Rightarrow $ $\frac{AH}{HC}$ = $\frac{BH}{AH}$ $\Rightarrow $ $AH^{2}$ = BH.CH.
b] Đọc kĩ nội dung sau
- Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.
h$^{2}$ = b'.c'
Bài tập 2: Áp dụng công thức $h^{2}$ = b'.c', tính x trong hình 19. Điền vào chỗ chấm [....] để hoàn thành lời giải
Áp dụng công thức $h^{2}$ = b'.c', ta có:
$x^{2}$ = .......................................
$\Rightarrow $ x = .....................................
Trả lời:
Áp dụng công thức $h^{2}$ = b'.c', ta có:
$x^{2}$ = 4.9
$\Rightarrow $ x = 6
c] Đọc kĩ nội dung sau
- Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tich của cạnh huyền và đường cao tương ứng.
b.c = a.h
Bài tập 3: Cho tam giác vuông với hai cạnh góc vuông lần lượt là 6cm và 8cm [h.20]. Tính độ dài đường cao ứng với cạnh huyền của tam giác. Em hãy điền vào chỗ chấm[....] để hoàn thanh lời giải.
Gợi ý: Theo định lý Py-ta-go
$BC^{2}$ = .....................= .................= ..............
- Áp dụng công thức bc = ah, ta có:
ABx............= ................xAH
$\Rightarrow $ AH = $\frac{.........x........}{..........}$ = $\frac{...........}{..........}$ = ...................
Trả lời:
Theo định lý Py-ta-go
$BC^{2}$ = $AB^{2}$ + $AC^{2}$ = $6^{2}$ + $8^{2}$ = 100.
- Áp dụng công thức bc = ah, ta có:
AB.AC= BC.AH
$\Rightarrow $ AH = $\frac{AB.AC}{BC}$ = $\frac{6.8}{10}$ = 4,8 cm
d] Đọc kĩ nội dung sau
- Trong một tam giác vuông, nghịch đảo của bình phương đường cao tương ứng với cạnh huyền bằng tổng nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông.
$\frac{1}{h^{2}}=\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}$
Em hãy sử dụng công thức $\frac{1}{h^{2}}$ = $\frac{1}{b^{2}}$ + $\frac{1}{c^{2}}$ để tính độ dài đường cao trong bai tập 3 và ghi vào vở.
- So sánh kết quả trên với các làm ở trên.
Trả lời:
Áp dụng công thức $\frac{1}{h^{2}}$ = $\frac{1}{b^{2}}$ + $\frac{1}{c^{2}}$, ta có:
$\frac{1}{AH^{2}}$ = $\frac{1}{AB^{2}}$ + $\frac{1}{AC^{2}}$ = $\frac{1}{6^{2}}$ + $\frac{1}{8^{2}}$
$\Rightarrow $ AH = 4,8 cm.
- Kết quả tính AH ở hai cách làm bằng nhau.
Cập nhật lúc: 09:42 30-08-2018 Mục tin: LỚP 9
CHƯƠNG 1- HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Hệ thức về cạnh và đường cao
KIẾN THỨC CƠ BẢN
Khi giải các bài toán liên quan đến cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ngoài việc nắm vững các kiến thức về định lý Talet, về các trường hợp đồng dạng của tam giác, cần phải nắm vững các kiến thức sau:
Tam giác vuông tại , đường cao , ta có:
1] \[{a^2} = {b^2} + {c^2}\]
2] \[{b^2} = a.b';{c^2} = a.c'\]
3] \[{h^2} = b'.c'\]
4] \[\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}\]
5] \[a.h = b.c\]
6] \[\frac{{b'}}{a} = \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}\]
Chú ý: Diện tích tam giác vuông: \[S = \frac{1}{2}ab\]
Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 9 - Xem ngay
>> Học trực tuyến lớp 9 và luyện vào lớp 10 tại Tuyensinh247.com. , cam kết giúp học sinh lớp 9 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
Ví dụ 1
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.
a] Biết BH = 2cm, CH = 4cm.
Tính AH, AB, AC ;
b] Biết BH = 2cm, CA = 4cm.
Tính AH, AB, BC.
Giải :
a] Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có
= BH.CH [theo định lí 2] mà BH = 2cm, CH = 4cm [giả thiết] nên = 2.4 = 8
=> AH = 2 [cm].
Mặt khác BC = BH + CH = 2 + 4 = 6 [cm].
Ví dụ 2
Cho tam giác ABC vuông tại A [AB < AC].
Trên cạnh BC lấy M, trên tia đối của tia BC lấy N sao cho MAN = 90° .
a] Chứng minh rằng
không phụ thuộc vào vị trí của M trên BC;
b] Biết AB = 3cm, AC = 4cm, tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác AMN.
Giải:
a] Kẻ đường cao AD của tam giác ABC thì AD không đổi khi M thay đổi trên BC. Xét tam giác AMN có góc A = 90°, AD ⊥ BC nên theo hệ thức theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có
không phụ thuộc vào vị trí của M trên BC.
b] Xét tam giác ABC có góc A = 90°, AD ⊥ BC nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
=> AD = 12/5 = 2,4 [cm].
Dấu ” = ” xảy ra AM = AN tam giác AMN vuông cân tại A.
góc DAM = 45°
. Vậy diện tích tam giác AMN nhỏ nhất bằng 5, 76 .
B. Bài tập cơ bản
Bài 1.1.
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Tính độ dài mỗi đoạn thẳng trong hình vẽ biết AB = 4, BC =10.
>>Xem đáp án tại đây.
Bài 1.2.
Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Kẻ HI, HK lần lượt vuông góc với AB, AC tại I và K. Biết AB = 6cm, BC = 10 .Tính BI, HK và IK.
>>Xem đáp án tại đây.
Bài 1.3.
Cho tam giác ABC nhọn, H là trực tâm. Trên BH lấy M, trên CH lấy N sao cho AM vuông góc với CM, AN vuông góc với BN. Chứng minh rằng tam giác AMN là tam giác cân.
>>Xem đáp án tại đây.
C. Bài tập nâng cao
Bài 1.4.
Cho hình thoi ABCD có góc A = 120°, AB = Kẻ tia Ax nằm trong góc A và xAB = 15°. Ax cắt BC, CD theo thứ tự tại I, K. Tính theo a giá tri của biểu thức
>>Xem đáp án tại đây.
Bài 1.5.
Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Biết AH = , BC = . Gọi M là trung điểm của BH, N là trung điểm của AM cắt CN tại K. Chứng minh rằng KH là phân giác của góc CKM.
>>Xem đáp án tại đây.