Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhẩm nghiệm
A- ÔN TẬP VỀ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬI- KIẾN THỨC CẦN NHỚ Show Các pp phân tích đa thức thành nhân tử thường dùng:
– Đặt nhân tử chung. – Dùng hằng đẳng thức. – Nhóm nhiều hạng tử. – Tách (hoặc thêm bớt) hạng tử. – Phương pháp đổi biến (Đặt ẩn phụ). – Phương pháp nhẩm nghiệm của đa thức. II- BÀI TẬP Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a/. 36 – 12x + x2 b/. xy + xz + 3y + 3z c/. x2 – 16 – 4xy + 4y2 d/. x2 – 5x – 14 (ĐS: 7; 2) Nhắc lại: * Phân tích đa thức ax2 + bx + c thành nhân tử. Ta tách hạng tử bx thành b1x + b2x như sau: + Bước 1: Tìm tích ac. + Bước 2: Biến đổi ac thành tích của hai số nguyên bằng mọi cách. + Bước 3: Chọn 2 thừa số mà tổng bằng b $ \Rightarrow $ Hai thừa số đó chính là b1; b2 . Ví dụ: ở câu d, trên b1 = 2; b2 = -7 x2 – 5x – 14 = x2 + 2x – 7x – 14 = x(x +2) – 7(x + 2) = (x + 2) (x – 7) áp dụng: Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a/. x2 + 2x – 15 (ĐS: 3; -5) b/. 3x2 – 5x – 2 (ĐS: 1/3; 2) c/. 2x2 – 6x + 4 (ĐS: 4; 2) d/. x2 – x – 2004. 2005 (ĐS: 2004; 2005) e/. 5x2 + 6xy + y2 (ĐS: 3y; 2y) * Áp dụng định lý Bơdu để phân tích đa thức F(x) thành nhân tử. Bước 1: Chọn một giá trị x = a nào đó và thử xem x = a có phải là nghiệm của F(x) không (a là một trong các ước của hạng tử tự do). Bước 2: Nếu F(a) = 0 thì theo định lý Bơdu ta có: F(x) = (x – a) P(x) Để tìm P(x) ta thực hiện phép chia F(x) cho x – a . Bước 3: Tiếp tục phân tích P(x) thành nhân tử nếu còn phân tích được, sau đó viết kết quả cho hợp lý. Bài 3: Phân tích thành nhân tử: F(x) = x3 – x2 – 4 Giải: Ta thấy 2 là nghiệm của F(x) vì F(2) = 0 Theo hệ quả của định lý Bơdu thì F(x) $ \vdots $ x – 2 Dùng sơ đồ Hoocne để tìm đa thức thương khi chia F(x) cho x – 2
Vậy F(x) = (x – 2)(x2 + x + 2) Bài 4: Phân tích thành nhân tử: B = x3 – 5x2 + 3x + 9 (ĐS: (x + 1)(x – 3)2 ) Bài 5: Chứng minh với mọi số nguyên n thì : a/. (n + 2)2 – (n – 2)2 chia hết cho 8 b/. n2(n + 1) + 2n(n + 1) chia hết cho 6. Bài 6 (khuyến khích) Dùng pp thêm bớt để phân tích: a/. x7 + x5 + 1 = x7 + x6 –x6 + x5 +1 = … = (x2 + x + 1)(x5 +x4 – x3 – 1) = …= = (x + 1)2(x – 1)(x3 + x2 + x – 1) b/. x11 + x + 1 = x11 – x2 + x2 + x + 1 = x2(x9 – 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)( x9 – x8 + x6 – x5 + x3 – x2 + 1) B- MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TRONG GIẢI TOÁNI – Chứng minh quan hệ chia hết Bài 1: Chứng minh A = n4 + 6n3 + 11n2 + 6n $ \vdots $ 24 với mọi n $ \in $ N Giải: Phân tích thành nhân tử A = n(n3 + 6n2 +11n + 6) Dùng pp nhẩm ngiệm để phân tích n3 + 6n2 +11n + 6 thành nhân tử A = n(n + 1)( n2 +5n + 6) = n(n + 1)(n + 2)(n+ 3) Đây là tích của 4 số nguyên liên tiếp. Trong 4 số nguyên liên tiếp n; n + 1; n + 2; n + 3 luôn có một số chia hết cho 2; một số chia hết cho 4 $ \Rightarrow $ A$ \vdots $ 8 Mặt khác, trong 3 số tự nhiên liên tiếp luôn tồn tại 1 số chia hết cho 3 nên A$ \vdots $ 3 Mà ƯCLN(3; 8) = 1 nên A $ \vdots $ 3.8 hay A$ \vdots $ 24 . Bài 2: Chứng minh rằng: A = 2222 + 5555 $ \vdots $ 7 Giải: Cách 1: A = (2222 – 122) + (5555 + 155) = (22 – 1)(2221 + 2220 + … + 1 )(55 + 1)(5554 – 5553 + … + 1)$ $ M N = 21M + 56 N Mà 21M $ \vdots $ 7 ; 56N $ \vdots $ 7 $ \Rightarrow $ A$ \vdots $ 7 Cách 2: Dùng đồng dư: Ta đã biết : $ \left. \begin{array}{l}56\equiv 0(\bmod 7)\\1\equiv 1(\bmod 7)\end{array} \right\}\Rightarrow 55\equiv -1(\bmod 7)$ Mặt khác $ \left. \begin{array}{l}22\equiv 1(\bmod 7)\\55\equiv -1(\bmod 7)\end{array} \right\}\Rightarrow {{22}^{{22}}}+{{55}^{{55}}}\equiv 0(\bmod 7)$ Hay 2222 + 5555 $ \vdots $ 7 Bài 3: Chứng minh rằng A = a3 + b3 + c3 – 3abc chia hết cho a + b + c Giải: áp dụng hằng đẳng thức: (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) ⇒ a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b). Thay biểu thức này vào A ta được : A = (a + b)3 – 3ab(a + b) + c3 – 3abc = [ ( a + b)3 + c3 ] – 3ab(a + b + c) = (a + b + c) [ (a + b)2 – (a + b)c + c2– 3ab] = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) Ta thấy đa thức này chứa một nhân tử là a + b + c ⇒ A chia hết cho a + b + c II – Tìm điều kiện xác định và rút gọn một phân thức Bài 4: Tìm ĐKXĐ sau đó rút gọn phân thức sau: A = $ \frac{{{{x}^{3}}-5{{x}^{2}}-2x+24}}{{{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-10x-8}}$ Giải: *Phân tích mẫu của A thành nhân tử: x3 – x2 – 10x – 8 = (x + 1)(x + 2)(x – 4) Vậy ĐKXĐ: x $ \ne $ – 1; x $ \ne $ – 2; x $ \ne $ 4 *Phân tích thành nhân tử: x3 – 5x2 – 2x + 24 = (x + 2)(x – 3)(x – 4) Rút gọn A = $ \frac{{(x+2)(x-3)(x-4)}}{{(x+2)(x+1)(x-4)}}=\frac{{x-3}}{{x+1}}$ Bài 5: Tìm điều kiện xác định sau đó rút gọn phân thức sau: A = $ \frac{{{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-x+3}}{{{{x}^{3}}-{{x}^{2}}}}$ Giải: B = $ \frac{{{{x}^{2}}(x-3)-(x-3)}}{{{{x}^{2}}(x-1)}}$ = $ \frac{{(x-3)(x-1)(x+1)}}{{{{x}^{2}}(x-1)}}$ ĐKXĐ: x$ \ne $ 1 Rút gọn: B = $ \frac{{(x-3)(x+1)}}{{{{x}^{2}}}}$ Bài 6: Chứng minh A = n3 + 6n2 + 8n $ \vdots $ 24 với mọi n $ \in $ N chẵn. Giải: A = n(n + 2)(n + 4) Thay n=2k $ \vdots $ A=8k (k+1)(k+2) Mà k(k+1)(k+2) là 3 số tự nhiên liên tiếp⇒$ \vdots $ 3 ƯCLN (8,3) = 1⇒ A$ \vdots $ 24 Bài 7: cho a+b+c = 0 chứng minh a3 +b3+c3 = 3abc Giải: Từ KQ bài 3 trên , nếu a+ b+ c = 0 ⇒ a3 +b3+c3 – 3abc = 0 ⇒ a3 +b3+c3 = 3abc Bài 8: Rút gọn các phân thức: a/. $ \frac{{{{{\left( {2x+3} \right)}}^{2}}-{{x}^{2}}}}{{{{x}^{2}}-1}}$ (ĐS: $ \frac{{3\left( {x+3} \right)}}{{x-1}}$ ) b/. $ \frac{{{{{\left( {3x+2} \right)}}^{2}}-{{{(x+2)}}^{2}}}}{{{{x}^{3}}-{{x}^{2}}}}$ (ĐS : $ \frac{{8\left( {x+1} \right)}}{{x(x-1)}}$ ) III – Giải phương trình, bất phương trình Bài 9: (Bài 1 – đề thi cấp 3 năm 2007) 1/. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: B = b + by + y + 1 2/. Giải phương trình: x2 – 3x + 2 = 0 Bài 10: Giải phương trình: (x2 – 1)(x2 + 4x + 3) = 192 Giải: Biến đổi phương trình đã cho được: (x – 1)(x + 1)2(x + 3) = 192 ⇔(x + 1)2(x – 1) (x + 3) = 192 ⇔ (x2 + 2x + 1)(x2 + 2x – 3) = 192 Đặt x2 + 2x – 1 = y Phương trình đã cho thành: (y + 2) (y – 2) = 192 ⇒ y = ± 14 Với y = 14 giải ra x = 3 hoặc x =- 5 Với y = – 14 giải ra vô nghiệm. Vậy S = {3;-5} Bài 11: Giải bất phương trình sau: x2 – 2x – 8 < 0 Giải: Biến đổi bất phương trình đã cho về bất phương trình tích: x2 – 2x – 8 < 0 ⇔ x2 – 4x + 2x – 8 < 0 ⇔ (x – 2)(x + 2) < 0 Lập bảng xét dấu:
Vậy nghiệm của bất phương trình là: – 2 < x < 4 . Bài tập về nhà: Làm bài 80 – 88(42, 43) ÔTĐ8.
Tài liệu Cách phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhẩm nghiệm Toán lớp 8 sẽ tóm tắt kiến thức trọng tâm về bài học từ đó giúp học sinh ôn tập để nắm vững kiến thức môn Toán lớp 8.  + Giả sử đa thức có nghiệm là x = a. Ta dùng phương pháp thêm ( bớt) , tách hạng tử và nhóm các hạng tử thích hợp để xuất hiện nhân tử chung là x – a. + Chú ý: • A.B + A.C = A.(B + C) • Đa thức bậc hai ax2 + bx + c có hai nghiệm là x1; x2. Khi đó: ax2 + bx + c = a.(x = x1).(x - x2) Ví dụ 1. Phân tích đa thức 3x2 + bx + c thành nhân tử? A. 3(x+ 1). (x – 9) B. 3(x + 1). (x – 3) C. 3(x – 1).(x + 9) D. 3(x – 1). (x+ 3) Lời giải + Nhẩm nghiệm: Ta thấy x = 1 là 1 nghiệm của đa thức đã cho nên ta phân tích như sau: 3x2 + 6x - 9 = (3x2 - 3) + (6x - 6) = 3(x + 1).(x - 1) + 6(x - 1) = 3(x - 1).[(x + 1) + 2] = 3(x - 1).(x + 3) Chọn D. Ví dụ 2. Phân tích đa thức (x2 + x)2 + 4x2 + 4x - 12 thành nhân tử? A. (x - 1).(x2 + x + 2) B. (x + 1).(x2 - x + 2) C. (1 - x).(x2 + x - 2) D. Đáp án khác Lời giải + Nhẩm nghiệm: Đa thức đã cho nhận x = 1 làm nghiệm. Do đó, ta sẽ nhóm thích hợp để xuất hiện nhân tử chung x – 1 như sau: + x3 + x - 2 = (x3 - 1) + (x - 1) = (x - 1).(x2 + x + 1) + 1.(x - 1) = (x - 1).(x2 + x + 1 + 1) = (x - 1).(x2 + x + 2) Chọn A. Ví dụ 3. Phân tích đa thức x4 - 3x3 + x2 - 5 thành nhân tử? A. (x - 1).(x3 + 4x2 + 5x - 5) B. (x + 1).(x3 - 4x2 + 5x - 5) C. (x + 1).(x3 - 4x2 - 5x + 5) D. Đáp án khác Lời giải + Nhẩm nghiệm: Đa thức đã cho nhân x = -1 là nghiệm. Ta nhóm các hạng tử để xuất hiện x + 1 là nhân tử chung như sau: + Ta có: x4 - 3x3 + x2 - 5 = (x4 + 2x3 + x2) - (5x3 + 5) = x2.(x2 + 2x + 1)-5(x3 + 1) = x2.(x + 1)2 - 5(x + 1).(x2 - x + 1) = (x + 1).[x2.(x + 1) - 5(x2 - x + 1)] = (x + 1).(x3 + x2 - 5x2 + 5x - 5) = (x + 1).(x3 - 4x2 + 5x - 5) Chọn B. Ví dụ 4. Phân tích đa thức -7x2 + 12x + 4 thành nhân tử A. ( 2x + 2). (-7x -1) B. ( - 7x + 3).(x+ 2) C.( x- 2).(- 7x + 2) D. ( - 7x – 2). (x- 2) Lời giải + Nhẩm nghiệm: Đa thức đã cho nhận x = 2 là nghiệm. Chúng ta nhóm các hạng tử để xuất hiện x – 2 như sau: -7x2 + 12x + 4 = -7x2 + 14x - 2x + 4 = -7x.(x - 2) - 2(x - 2) = (-7x - 2).(x - 2) Chọn D. Câu 1. Phân tích đa thức -8x2 + 24x - 16 thành nhân tử? A. ( - 8x + 16). (x- 1) B. ( 8x – 1).( x + 16) C. ( 4x – 1). (- 2x + 16) D. ( 2x – 2).(- 4x + 8)
+ Nhẩm nghiệm: Đa thức đã cho nhận x = 1 là nghiệm. Ta biến đổi làm xuất hiện nhân tử chung x- 1 như sau: -8x2 + 24x - 16 = (-8x2 + 8x) + (16x - 16) = - 8x(x - 1) + 16.(x - 1) = (-8x + 16).(x - 1) Chọn A Câu 2. Phân tích đa thức (x + 1).(x + 2).(x + 3).(x + 4) + 1thành nhân tử? A. (x- 2). ( 20x – 3) B. ( x- 2).( 20x + 30). C. (x+ 2). ( 20x + 3) D. (2x + 4). (10x – 15)
+ Nhẩm nghiệm: Đa thức đã cho nhận x = 2 làm nghiệm. Ta nhóm để xuất hiện x – 2 như sau: 20x2 - 10x - 60 = 20x2 - 80 - 10x + 20 = (20x2 - 80) - (10x - 20) = 20.(x2 - 4) - 10(x - 2) = 20.(x + 2).(x - 2) - 10.(x - 2) = (x - 2).[20(x + 2) - 10] = (x - 2).(20x + 40 - 10) = (x - 2).(20x + 30) Chọn B. Câu 3. Phân tích đa thức -8x3 + 10x2 + 4x - 6 thành nhân tử? A. (x + 1)2.(8x - 6) B. (1 - x)2.(-8x + 6) C. (x - 1)2.(-8x - 6) D. Đáp án khác
+ Nhẩm nghiệm: Đa thức đã cho nhận x = 1 là nghiệm. Ta nhóm để xuất hiện x – 1 làm nhân tử chung như sau: -8x3 + 10x2 + 4x - 6 = -8x3 + 8x2 + 2x2 - 2x + 6x - 6 = (x - 1).(-8x2 + 2x + 6) = (x - 1).[(-8x2 + 8x) - (6x - 6)] = (x - 1).[-8x.(x - 1) - 6(x - 1)] = (x - 1).(x - 1).(-8x - 6) = (x - 1)2.(-8x - 6) Chọn C. Câu 4. Phân tích đa thức -x5 + 8x2 + 2x + 9 thành nhân tử A. (1 - x).(-x4 - x3 - x2 + 7x + 9) B. (x + 1).(-x4 - x3 + x2 + 7x + 9) C. (1 - x).(-x4 - x3 - x2 - 7x + 9) D. (x - 1).(-x4 - x3 - x2 + 7x + 9)
+ Nhẩm nghiệm: Đa thức đã cho nhận x = 1 là nghiệm. Ta nhóm để xuất hiện x – 1 như sau: -x5 + 8x2 + 2x - 9 = (-x5 + x2) + (7x2 - 7) + (2x - 2) = -x2.(x3 - 1) + 7(x2 - 1) + 2.(x - 1) = -x2.(x - 1).(x2 + x + 1) + 7(x + 1).(x - 1) + 2(x - 1) = (x - 1).[-x2.(x2 + x + 1) + 7(x + 1) + 2] = (x - 1).(x4 -x3 - x2 + 7x + 7 + 2) = (x - 1).(-x4 - x3 - x2 + 7x + 9) Chọn D Câu 5. Phân tích đa thức 4x4 + x3 - 4x - 1 thành nhân tử A. (4x + 1).(x - 1).(x2 + x + 1) B. (2x + 2).(x - 1).(x2 + x - 1) C. (4x - 1).(x + 1).(x2 + x + 1) D. Đáp án khác
+ Nhẩm nghiệm: Đa thức đã cho nhận x= 1 làm nghiệm. Ta nhóm làm xuất hiện x – 1 như sau: 4x4 + x3 - 4x - 1 = (4x4 - 4x) + (x3 - 1) = 4x(x3 - 1) + (x3 - 1) = (4x + 1).(x3 - 1) = (4x + 1).(x - 1).(x2 + x + 1) Chọn A. Câu 6. Phân tích đa thức 6x3 - 4x2 - 3x + 7 thành nhân tử A. (x + 1).(6x2 + 8x + 7) B. (x - 1).(6x2 + 9x + 7) C. (x + 1).(6x2 - 10x + 7) D. Đáp án khác
+ Nhẩm nghiệm: Đa thức đã cho nhận x= -1 làm nghiệm. Ta nhóm để xuất hiện x + 1 như sau: 6x3 - 4x2 - 3x + 7 = (6x3 + 6) - (4x2 + 4x) + (x + 1) = 6(x3 + 1) - 4x(x + 1) + 1.(x + 1) = 6(x + 1).(x2 - x + 1) - 4x.(x + 1) + 1.(x + 1) = (x + 1).[6.(x2 - x + 1) - 4x + 1] = (x + 1).(6x2 - 6x + 6 - 4x + 1) = (x + 1).(6x2 - 10x + 7) Chọn C. Câu 7. Phân tích đa thức -x3 + 2x2 + 9x - 18 thành nhân tử A. (3+ x). (3- x). ( 4- x) B. (3 + x). (3- x). (x- 2) C. (x + 2). ( x- 2). ( 6 -x) D. (2 – x). ( x +1). ( x – 9)
-x3 + 2x2 + 9x - 18 = (-x3 + 2x2) + (9x - 18) = -x2.(x - 2) + 9(x - 2) = (-x2 + 9).(x - 2) = (9 - x2).(x - 2) = (3 + x).(3 - x).(x - 2) Chọn B. Câu 8. Phân tích đa thức -10x2 + 5x + 75 thành nhân tử A.( -10x – 25). (x – 3) B. (5x + 5).(-2x + 15) C.( - 5x + 15).( 2x + 6) D. ( -10x + 20).( x + 3)
+ Nhẩm nghiệm: Đa thức đã cho nhận x= 5 là nghiệm. Ta nhóm làm xuất hiện x - 5: -10x2 + 5x + 75 = (-10x2 + 90) + (5x - 15) = -10.(x2 - 9) + 5.(x - 3) = -10.(x + 3).(x - 3) + 5.(x - 3) = (x - 3).[-10.(x + 3) + 5] = (x - 3).(-10x - 25) Chọn A. Câu 9. Phân tích đa thức 17x2 - 13x - 94 thành nhân tử A. (x+ 2). ( 17x – 47) B. (x + 5). ( 17x – 2) C. (17x – 1).(x + 94) D. Đáp án khác
+ Nhẩm nghiệm: Đa thức đã cho nhận x = - 2 làm nghiệm ta nhóm để xuất hiện x + 2: 17x2 - 13x - 94 = 17x2 - 68 - 13x - 26 = 17.(x2 - 4) - 13.(x + 2) = 17.(x + 2).(x - 2) - 13.(x + 2) = (x + 2).[17(x - 2) - 13] = (x + 2).(17x - 47) Chọn A. Câu 10. Phân tích đa thức -2x3 + 8x - 30 thành nhân tử A. (x + 3). (- x + 1).(2x + 10) B. (x + 3).(-2x2 + 6x - 10) C. (x+ 3). ( 2x + 2). (x – 5) D. (-x + 3).(2x2 - 6x - 10)
+ Nhẩm nghiệm: Đa thức đã cho nhận x = -3 là nghiệm. Ta làm xuất hiện nhân tử chung x + 3 như sau: -2x3 + 8x - 30 = -2x3 + 8x + 24 - 54 = (-2x3 - 54) + (8x + 24) = -2(x3 + 27) + 8.(x + 3) = -2.(x + 3).(x2 - 3x + 9) + 8.(x + 3) = (x + 3).[-2(x2 - 3x + 9) + 8] = (x + 3).(-2x2 + 6x - 18 + 8) = (x + 3).(-2x2 + 6x - 10) Chọn B. |
