Trong chương trình toán cao cấp môn đại số và hình học giải tích, bài viết này TTnguyen sẽ chia sẻ một số kiến thức cơ bản cùng với các dạng bài tập hệ phương trình tuyến tính thường gặp trong quá trình học. Chúc các bạn học tập tốt!
1.Dạng tổng quát
2.Dạng ma trận bổ sung
3.Hệ Cramer
Hệ Cramer:
- số ẩn = số phương trình
- định thức ≠ 0
4.Biện luận nghiệm của hệ phương trình tuyến tính
Cho hệ phương Ax=b là hệ có n ẩn
Cho hệ phương Ax=0 là hệ có n ẩn
- Hệ có nghiệm duy nhất[nghiệm tầm thường]: rank[A]=n
- Hệ có vô số nghiệm[nghiệm không tầm thường]: rank[A] vô số nghiệm
5. Bài tập hệ phương trình tuyến tính
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình tuyến tính sau:
Giải
Ma trận bổ sung của hệ là:
Vậy hệ phương trình có nghiệm là z=x=14; y=-11
Ví dụ 2: Biện luận nghiệm của hệ sau:
Giải
Ma trận bổ sung của hệ
Thay đổi hàng 1 và hàng 3
+ Với a=1 ta có
r[A]=1
Ví dụ 3: Tìm m để hệ phương trình tuyến tính có nghiệm duy nhất
Giải
Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì detA ≠0=> m≠0
Tài liệu "Bài tập và bài giải đại số tuyến tính phần 1 Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss" có mã là 603621, file định dạng pdf, có 4 trang, dung lượng file 138 kb. Tài liệu thuộc chuyên mục: Tài liệu chuyên ngành > Các Môn Đại Cương > Đại Số Tuyến Tính. Tài liệu thuộc loại Đồng
Nội dung Bài tập và bài giải đại số tuyến tính phần 1 Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss
Trước khi tải bạn có thể xem qua phần preview bên dưới. Hệ thống tự động lấy ngẫu nhiên 20% các trang trong tài liệu Bài tập và bài giải đại số tuyến tính phần 1 Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss để tạo dạng ảnh để hiện thị ra. Ảnh hiển thị dưới dạng slide nên bạn thực hiện chuyển slide để xem hết các trang.
Bạn lưu ý là do hiển thị ngẫu nhiên nên có thể thấy ngắt quãng một số trang, nhưng trong nội dung file tải về sẽ đầy đủ 4 trang. Chúng tôi khuyễn khích bạn nên xem kỹ phần preview này để chắc chắn đây là tài liệu bạn cần tải.
Xem preview Bài tập và bài giải đại số tuyến tính phần 1 Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss
Nếu bạn đang xem trên máy tính thì bạn có thể click vào phần ảnh nhỏ phía bên dưới hoặc cũng có thể click vào mũi bên sang trái, sang phải để chuyển nội dung slide.Nếu sử dụng điện thoại thì bạn chỉ việc dùng ngón tay gạt sang trái, sang phải để chuyển nội dung slide.
59 440 KB 255 1.4k
Nhấn vào bên dưới để tải tài liệu
Đang xem trước 10 trên tổng 59 trang, để tải xuống xem đầy đủ hãy nhấn vào bên trên
Chương 1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Bài tập
1.1 Đưa cácma trận sauvề dang bậc
thang:
1 −3 2
2 5 6
A = 3 −4 1
B= 1 2 5
2 −5 3
1 3 2
1 2 −3 0
2 −2 2
1
6 0 −1
D = 2 4 −2 2 E = −3
3 6 −4 3
1 −7 10
2
Bài tập
1.2 Đưa các ma trậnsau về dang
2 2 −1 6 4
2
1 10 13 B = 3
A= 4 4
6 6
0 20 19
4
1
3 −1 2
1
0 11 −5 3
E= 2
D=
2 −5
3 1
3
4
1
1 5
Bài tập
1.3 Xác định
hạng của
3 5 7
A= 1 2 3
1 3 5
1 2 3 4
D= 2 4 6 8
3 6 9 12
1 −1
5 −1
21
1 −2
3
G=
3 −1
8
1
1
3 −9
7
−4 1 −6
C = 1 2 −5
6 3 −4 bậc thang rút gọn:
3 −2
5 1
−1
2
0 4
−5
6 −5 7
2 −1
2 1
4
1 −2 3
6
2 −6 5 ma trận
sau:
1 1 3
B= 2 1 4
1 2 5
4 3 2 2
E= 0 2 1 1
0 0 3 3
1
3 −2 −1
2
5 −2
1
H=
1
1
6 13
−2 −6
8 10 Bài tập 1.4 Xác định sự tồn tại nghiệm của mỗi hệ sau:
1 1 −2 3
1
1 4 −1
C= 1
2
5 9 −2
0 1
3 −2
0 4 −1
3
F =
0 0
1
1
0 5 −3
4
1 1 −3
C = −1 0
2
−3 5
0
1 2 3 6
F = 2 3 1 6
3 1 2 6
2
3
8
Chương 1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 2
x1
2x1
a.
6x
1
x1
3x1
b.
5x1
x1
c.
−x1
x1
d.
2x1
2x1 + 2x2 −
+ 4x2 −
+ 13x2 −
+ x2 +
+ 2x2 +
x2 +
+ 4x2 +
− 6x2
x2 −
+ 6x2 +
− x2 +
2x2 −
+ 2x2 −
+ 5x2 −
+ 4x2 − 3x3
= −5
6x3 + x4 = −8
17x3 + 4x4 = −21
x3 + x4 + x5 = 7
x3 + x4 − 3x5 = −2
2x3 + 2x4 + 6x5 = 23
3x3 + 3x4 − x5 = 12
=5
4x3 + x4 = 0
x3 + 5x4 = 3
5x3 + 4x4 = 0
2x3
+ 2x5 = 2
3x3 + x4 + 4x5 = 1
7x3 + 3x4 + 10x5 = 5
5x3 + 3x4 + 8x5 = 3 Bài tập 1.5 Biện luận các hệ phương trình cho bởi ma trận đầy đủ sau đây theo tham
số a, b, c, d.
2 4 −3 6
7 2
a. 0 b
0 0
a a
1 −1 4 −2 5
0
1 2
3 4
b.
0
0 d
5 7
0
0 0 cd c
Bài tập 1.6 Viết ra nghiệm của hệ có ma trận đầy đủ tương đương hàng với mỗi ma
trận sau:
1 −2 0 0
7 −3
1 0 −5
0 −8 3
0
0 1
1 0 0 −3
4 −1
0 6
1
a. A =
b. B =
0
0 0 1
5 −4
0 0
0
0
1 0
0
0 0 0
0
0 0
0
0
0 0
0
1 0 −2
0
0
0
1 0 0
8 −3
0 1
0 1 0
6 −3 −2
7
4 −6
c. C =
d.
D
=
0 0
0 0 1 −7
0
1
0 −5
5
0 0
0
0
1
0 0 0
0
0
0
Bài tập
1.7
2x1
3x1
a.
9x1
2x1
4x1
b.
4x1
2x1 Giải các hệ phương trình sau bằng phương
pháp Gauss:
+ 7x2 + 3x3 + x4 = 6
x1 + x2 −
+ 5x2 + 2x3 + 2x4 = 4
2x1 + 3x2 +
e.
+ 4x2 + x3 + 7x4 = 14
5x1 + 7x2 +
+ 5x2 + x3 + 3x4 = 2
x1 + 2x2 +
+ 6x2 + 3x3 + 5x4 = 4
2x1 + x2 +
f.
+ 14x2 + x3 + 7x4 = 4
3x1 + 2x2 +
− 3x2 + 3x3 + 3x4 = 7
4x1 ‘ + 3x2 + 2x3
3x3
4x3
3x3
2x3
x3
2x3 +
−
+
+
+
+
+ 3x4
x4
x4
4x4
3x4
2x4
x4 =
=
=
=
=
=
= 4
3
5
5
1
1
−5 3
2x1
3x1
c.
5x1
2x1
−x1
2x1
d.
5x1
4x1 Bài tập 1.8
ax1
x1
a.
x1 + x2
− 2x2
+ x2
− x2 − x3
+ 2x3
− x3
+ x3 + x4
− 3x4
+ 2x4
− 3x4 = 0
= 2
= −2
= 4 + x2
+ x2
+ 3x2
+ 3x2 + x3
+ 2x3
+ 3x3
+ 2x3 + x4
+ 3x4
+ 5x4
+ x4 = 4
= 1
= 2
= −5
x1
3x1
x1
g.
2x
1
x1
2x1
x1
h.
x1
2x1 +
+
+
+
+
+
+
+
+ 2x2
2x2
x2
3x2
x2
x2
3x2
x2
3x2 Biện luận theo a, b, c, d số nghiệm của hệ
phương trình
x + 2y
+ x2 + x3 + x4 = 1
2x − y
+ ax2 + x3 + x4 = a
b.
3x + y
+ x2 + ax3 + x4 = b
x − 3y Bài tập 1.9 Xác định m để hệ phương trình sau có
x1 − 2x2 + x3 +
2x1 + x2 − x3 +
x1 − x2 + 2x3 −
4x1 − 2x2 + 2x3 + 3x3
+ x3
+ x3
− x3
+ x3
+ x3
+ 5x3
− 3x3
+
+
−
+ 2z
z
z
5z = 14
= 10
= 6
= 5
= 3
=
2
=
5
= −7
= 14 =a
=b
=c
=d nghiệm: x4 = 1
2x4 = 0
3x4 = −2
=m Bài tập 1.10 Giải các hệ thuần nhất sau:
3x1
x1 + 2x2 − 3x3 = 0
2x1
2x1 + 5x2 − 2x3 = 0
a.
b.
x1
3x1 − x2 − 4x3 = 0
x1
x1 + 2x2 − x3 = 0
x1
2x1 + 5x2 + 2x3 = 0
3x1
d.
c.
x1 + 4x2 + 7x3 = 0
4x1
x1 + 3x2 + 3x3 = 0 − 2x2 − 5x3
− 3x2 + x3
+ 2x2
− x2 − 4x3 + x4
+ 5x4
− 4x4
+ 9x4 =
=
=
= 0
0
0
0 − 2x2 + 3x3 − 2x4 = 0
− 7x2 − 2x3 + 4x4 = 0
+ 3x2 + 5x3 + 2x4 = 0 4 Chương 1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Chương 2 MA TRẬN
Bài tập 2.1 Thực hiện các phép tính:
1 −1 2
1 2 3
và B =
a. A + B với A =
0 3 −5
4 5 6
1 −2
3
b. 3A và −5A với A =
4
5 −6
3 0 2
1 −2
3
và B =
c. 2A − 3B với A =
−7 1 8
4
5 −6
d. 5A − 2B; 2A + 3B; A[BC]; [AB]C; AT ; B T ; AT B T ; A2 ; AC biết
1 −3
4
5 0
1
2
; C=
; B=
A=
2
6 −5
−6 7
3 −4
1
2 0
e. AA và A A biết A =
3 −1 4
x y
x 6
4
x+y
Bài tập 2.2 Tìm x, y, z, w biết: 3
=
+
z w
−1 2w
z+w
3
1 2
tìm ma trận B ∈ M2×3 sao cho AB = 0
Bài tập 2.3 Cho A =
3 6
T T Bài tập 2.4 Cho các ma trận
1 −3 0
1 1 −2
2 0 −2
A= 4
5 1 ,B = 3 0
4 , C = 4 7 −5
3
8 0
−1 3
2
1 0 −1 Gọi D = [dij ] = 2AB +C 2 không tính toàn bộ ma trận D mà hãy tính cụ thể mỗi phần tử:
a. d11
b. d21
c. d32
5 Chương 2. MA TRẬN 6 Bài tập 2.5 Cho A = 1 5
−1 3 ;B = −1 3 4
3 5 2
1
4
4 3 2 1
3 ; D = −1 0 1 2
;C = 1
4 −3
2 1 0 3 a. Hãy tính các tích sau đây hoặc giải thích tại sao chúng không tồn tại:
AB; BA; AC; DC; CD; C T D
b. Kiểm tra rằng A[BC] = [AB]C và [AB]T = B T AT .
c. Không thực hiện phép tính, hãy tìm D T C
Bài tập 2.6
3
3 −5
3
−6
15
Cho A = 0 −1 −1 và x = −1 , y = 0 , z = 3
−2 −4 −4
−4
4
9 a. Tính các tích Ax, Ay, Az b. Dùng kết quả câu a] để tính tích A x y z Bài tập 2.7 Tìm ma trận nghịch đảo của mỗi ma trận sau:
1 3 −2
A = 2 8 −3 ; B =
1 7
1
1
1 1 1 1
0
0 1 1 1
D=
0 0 1 1 ; E = 1
1
0 0 0 1
1 −1
1 −2 0
2 −3 ; C = 2 −3 1
2
1
1
1 5
2
1 0
1
0
3
2 0
−1
1
; F =
1
1 3
1 −2
2 −1 2
−2
4
a b
Bài tập 2.8 Tìm ma trận nghịch đảo của A =
c d
3 5
1 1
Ứng dụng: A =
; B=
.
2 3
2 3
−1 −5 −7
5
6 là ma trận khả nghịch.
Bài tập 2.9 Cho A = 2
1
3
4
−1
Không tìm toàn bộ ma trận A chỉ tìm
2
5
0
2
1
3
4 a. c3 [A−1 ]
b. đồng thời hai cột, c1 [A−1 ] và c2 [A−1 ]
2
x1
−1
c. h2 [A ], từ đó suy ra giá trị x2 của hệ A x2 = 1
1
x3
0
0
4
3 7
Bài tập 2.10 Tìm điều kiện của tham số để các ma trận sau khả nghịch, sau đó tìm ma
trận nghịch đảo tương ứng của nó:
1 −3
2
1 0 p
a.
3 −7 m + 5 ; b.A = 1 1 0
−m 2m
1
2 1 1
2 −1
1
1
1 . Hãy tìm B −1 , từ đó giải hệ phương
Bài tập 2.11 Cho ma trận B = 0
1 −1 −1
2
2
4
trình Bx = d với i]d = 3 , ii]d = 3 3 , iii]d = −2
−1
−1
3 Bài tập 2.12 Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp ma trận nghịch
x1 + x2 + x3 + x4
x1 + x2 − 3x3 = −2
x1 + x2 − x3 − x4
x1 + 2x2 − 3x3 = 6
a.
b.
x
1 − x2
2x1 + 4x2 − 5x3 = −6
x3 − x4
x1 + x2 + x3 + x4 = −1
x1 + x2 − x3 − x4 = 1
c.
x
1 − x2 + x3 − x4 = −1
x1 − x2 − x3 + x4 = 1 Bài tập
trình
phương
2.13 Giải các
3 5
1 2
.X =
a.
5 9
3 4
14
5 6
3 −1
=
.X.
c.
9
7 8
5 −2
13 −8 −12
1 2
e. X. 12 −7 −12 = 4 5
6 −4 −5
7 8 ma trận sau đây:
b. X.
1
16
3
d.
10
2
3
6
9 3 −2
5 −4 =
−1 2
−5 6
đảo: = 1
= 1
= −1
= −1
2 −3
1 −3 0
2 −4 .X = 10 2 7
−1 0
10 7 8 8 Chương 2. MA TRẬN Chương 3 ĐỊNH THỨC
Bài tập 3.1 Không khai triển, hãy sử dụng tính chất để tính định thức của mỗi ma trận
sau:
1 3 0
5 7
1
2
1
−5
0
1 5
1
0 3 1
2 3
2 −1 1 −1
1
; C = 2 4 0
0
0
4
1
0
;
B
=
A=
3 0 1
6
0
1 0
1
0 0 0 −1 8
1 2 1 −5
3 −2 4 −2
0 0 0
0 3
1
3 4 −5 7
3
3 1
2 0
0 0
D=
2 −1 4
5
3 0
0 0
−2
0 0
0 0 Bài tập 3.2 Tính các định thức sau bằng cách khai triển theo hàng hay theo cột được
chọn một cách hợp lí nhất:
6
3
2 4
1 −2
5 2
9
0 −4 1
8
1 6
2 3 2
0
0
3 0
6 7
0 2 ; D3 =
; D4 = 8 −5
D1 = 3 0 1 ; D2 = 4
5
0
4 4
3
0
0 0
3 −2 5
9 6 3
2 −6 −7 5
4
2
3 2
Bài tập 3.3 Viết ra ma trận phụ hợp C = Cof [A] của mỗi ma trận A sau đây rồi kiểm
tra lại công thức: AC T = [detA]I
3 2 1
2 3 4
2 −1 −2
0
3
a. A = 4 5 2 ;
b. A = 5 6 7 ;
c.A = 1
2 1 4
8 9 1
3 −1
0
Bài tập 3.4 Chứng minh rằng:
′ ′ ′ a11 + a11 a12 + a12 · · · a1n + a1n
a21
a22
···
a2n
..
..
..
..
.
.
.
.
an1
an2
···
ann ′ = ′ ′ a11 a12 · · · a1n
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
a21 a22 · · · a2n
.. + ..
..
..
..
..
..
..
.
.
.
.
.
.
.
.
an1 an2 · · · ann
an1 an2 · · · ann
9 0
0
1
0
0 Chương 3. ĐỊNH THỨC 10
Bài tập 3.5 Tính định thức của mỗi ma trận sau:
a.A =
d.D = 1
2
3
4 2
3
4
1
a
b
a+b
4
1
;
2
3
b
a+b
a+b
a
a
b 1
2
b.B =
4
−5
a
e.E = a + x
a+y 3
4
1
2 Bài tập 3.6 Tính các định thức sau đây:
a. 1−λ
3
2
2
1−λ
3
3
2
1−λ b.
−2
0
2
−5
3
2
1
1
0
0 −4 −4
b
c
b + x c + x ;
b+y c+y
c.C =
f.F =
2 −3
1 0
−5
8
2 1
1 −4 −2 0
2 −1
4 0
a + b ab a2 + b2
b + c bc b2 + c2
c + a ca c2 + a2 2−λ
0
0
2−λ
5
−1
; c. −2 3 − λ −1
2
−1 − λ
5
3
−2 2 − λ
2
2
2−λ Bài tập 3.7 Tìm t để ma trận sau khả nghịch bằng cách tính định thức
t−2
4
3
t−1
3
−3
t + 3 −1
1
t + 1 −2 ; b. −3 t + 5 −3 ; c. 7
t−5
1
a. 1
0
0
t−4
−6
6
t−4
6
−6 t + 2 Bài tập 3.8 Chứng minh rằng: a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3 a. a1 b1 a1 x + b1 y + c1
a2 b2 a2 x + b2 y + c2
a3 b3 a3 x + b3 y + c3 = b. a1 + b1 x a1 − b1 x c1
a2 + b2 x a2 − b2 x c2
a3 + b3 x a3 − b3 x c3 a1 b1 c1
= −2x a2 b2 c2
a3 b3 c3 1 a bc
c. 1 b ca
1 c ab = [b−a][c−a][c−b] Bài tập 3.9 Tìm các ma trận nghịch đảo bằng 2 cách [ phương pháp lập ma trận khối
1
[A|In ] và phương pháp ma trận phụ hợp A−1 =
[Cof [A]]T ]:
detA
1 1
1
1
1 1
1
1
2
2 3
1 2 3
1 1 −1 −1
; D = 1 1 −1 −1
A = 1 −1 0 ; B = 2 3 4 ; C =
1 −1 1 −1
1 −1 0
0
2 −1 0
1 5 7
1 −1 −1 1
0 0
1 −1 Bài tập
3.10
2x1
x1
a.
x1
2x1
2x1
5x1
c.
3x1
2x1 Không giải hệ phương trình, tìm nhanh
x2 bằng hai cách
5x1 − x2 +
+ x2 + x3 = 2
3x1 − 2x2 +
+ 3x2 + x3 = 5
b.
3x
+ x2 + 5x3 = −7
1 + 2x2 +
2x1 − x2 +
+ 3x2 − 3x3 = 14
− x2 + x3 − 3x4 = 4
−x1 + x2 +
− x2 + x3 − 2x4 = 2
2x1 + 2x2 +
d.
+ 2x2 + 2x3 − 3x4 = 2
3x1 + x2 +
− 3x2 + 3x3 − 7x4 = 8
4x1 + 2x2 + x3
2x3
2x3
x3 −
−
+
− 2x4
3x4
5x4
3x4 = 2
= 2
= −6
= 4 x3
x3
2x3
3x3 + x4
+ 3x4
+ 2x4
+ x4 = 4
= 1
= 1
= −5 This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Video liên quan