Phương pháp giải:
Với bài toán xét sự đồng biến và nghịch biến của hàm số ta thực hiện bốn bước sau:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Tính đạo hàm \[f'[x]=0\]. Tìm các điểm \[x_i\] [i= 1 , 2 ,..., n] mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
Bước 3: Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Bên cạnh đó các em cần ôn lại các định lý về dấu của nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai đã học ở lớp 10 để xét dấu đạo hàm của các hàm số một cách chính xác nhất.
Lời giải:
Với các bước làm như trên chúng ta làm câu a, b, c, d bài 1 như sau:
Câu a:
Xét hàm số \[y = 4 + 3x - x^2\]
Tập xác định: \[D=\mathbb{R};\] \[y' = 3 - 2x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow 3-2x=0\Leftrightarrow x = \frac{3}{2}\].
Với \[x=\frac{3}{2}\Rightarrow y=\frac{25}{4}\]
Bảng biến thiên:
.png]
Từ bảng biến thiên ta thấy: Hàm số đồng biến trên khoảng \[[ 0 ; \frac{2}{3} ]\] và nghịch biến trên các khoảng \[[-\infty; 0], [ \frac{2}{3}; +\infty].\]
Bài 1 trang 9 sách sgk giải tích 12
Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
- \[y = 4 + 3x - x^2\] ; b] \[y ={1 \over 3}x^3\] + \[3x^2-7x - 2\] ;
- \[y = x^4\] - \[2x^2\] +\[ 3\] ; d] \[y = -x^3\]+ \[x^2\] - \[5\].
Giải:
1. a] Tập xác định : \[D =\mathbb R\];
\[y' = 3 - 2x => y' = 0 ⇔ x =\] \[{3 \over 2}\].
Bảng biến thiên :
Hàm số đồng biến trên khoảng \[\left[ { - \infty ;{3 \over 2}} \right]\]; nghịch biến trên khoảng \[\left[ { {3 \over 2}};+\infty \right]\]
- Tập xác định \[D=\mathbb R\]; \[y'= x^2\]+ \[6x - 7 \Rightarrow y' = 0 ⇔ x = 1, x = -7\].
Bảng biến thiên :
Hàm số đồng biến trên các khoảng \[[-∞ ; -7], [1 ; +∞]\] ; nghịch biến trên các khoảng \[[-7 ; 1]\].
- Tập xác định : \[D=\mathbb R\].
\[y' = 4x^3\]-\[4x = 4x[x^2-1]\] \[\Rightarrow y' = 0 ⇔ x = -1, x = 0, x = 1\].
Bảng biến thiên :
Hàm số đồng biến trên các khoảng \[[-1 ; 0], [1 ; +∞]\] ; nghịch biến trên các khoảng \[[-∞ ; -1], [0 ; 1]\].
- Tập xác định :\[ D=\mathbb R\].
\[y' = -3x^2\] +\[ 2x \Rightarrow y' = 0 ⇔ x = 0, x =\] \[{2 \over 3}\].
Bảng biến thiên :
Hàm số đồng biến trên khoảng \[[ 0 ; {2 \over 3} ]\] ; nghịch biến trên các khoảng \[[-∞ ; 0]\], \[[{2 \over 3}; +∞]\].
Bài 2 trang 10 sách sgk giải tích 12
Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:
- \[y=\frac{3x+1}{1-x}\] ; b] \[y=\frac{x^{2}-2x}{1-x}\] ;
- \[y=\sqrt{x^{2}-x-20}\] ; d] \[y=\frac{2x}{x^{2}-9}\].
Giải
- Tập xác định : \[D =\mathbb R \setminus\]{ 1 }.
\[y'=\frac{4}{[1-x]^{2}}\]> 0, \[∀x \neq 1\].
Hàm số đồng biến trên các khoảng : \[[-∞ ; 1], [1 ; +∞]\].
- Tập xác định : \[D =\mathbb R\setminus\]{ 1 }.
\[y'=\frac{-x^{2}+2x-2}{[1-x]^{2}}< 0\], \[∀x \neq 1\].
Hàm số nghịch biến trên các khoảng: \[ [-∞ ; 1], [1 ; +∞]\].
- Tập xác định :\[ D = [-∞ ; -4] ∪ [5 ; +∞]\].
\[y'=\frac{2x-1}{2\sqrt{x^{2}-x-20}}\] \[∀x ∈ [-∞ ; -4] ∪ [5 ; +∞]\].
Với \[x ∈ [-∞ ; -4]\] thì \[y’ < 0\]; với \[x ∈ [5 ; +∞]\] thì \[y’ > 0\]. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \[[-∞ ; -4]\] và đồng biến trên khoảng \[[5 ; +∞]\].
- Tập xác định : \[D =\mathbb R\setminus \]{ -3 ; 3 }.
\[y'=\frac{-2[x^{2}+9]}{\left [x^{2}-9 \right ]^{2}} < 0, ∀x \neq ±3\].
Hàm số nghịch biến trên các khoảng : \[[-∞ ; -3], [-3 ; 3], [3 ; +∞]\].
Bài 3 trang 10 sách sgk giải tích 12
Chứng minh rằng hàm số \[y={{1 - {x^2}} \over {{{[{x^2} + 1]}^2}}}\] đồng biến trên khoảng \[[-1 ; 1]\] và nghịch biến trên các khoảng \[[ - \infty ; - 1]\] và \[[1 ; +∞]\].