Bài tập về phép cộng các phân thức đại số năm 2024

Tài liệu gồm 40 trang, phân dạng và tuyển chọn các bài tập Toán 8 chủ đề phân thức đại số.

PHÂN THỨC ĐẠI SỐ. Dạng 1: Tìm điều kiện xác định và giá trị của phân thức. Dạng 2: Chứng minh hai phân thức bằng nhau. Dạng 3: Rút gọn phân thức. Dạng 4: Quy đồng mẫu nhiều phân thức. Dạng 5: Bài toán thực tế về phân thức đại số. PHÉP CỘNG, PHÉP TRỪ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ. Dạng 1: Cộng, trừ các phân thức đại số thông thường. Dạng 2: Cộng, trừ các phân thức đại số kết hợp quy tắc đổi dấu. Dạng 3: Rút gọn phân thức và tính giá trị của biểu thức đó. Dạng 4: Toán có nội dung thực tế. PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ. Dạng 1: Thực hiện phép nhân, chia phân thức. Dạng 2: Rút gọn biểu thức. BÀI TẬP TỔNG HỢP CHƯƠNG PHÂN THỨC ĐẠI SỐ.

File WORD (dành cho quý thầy, cô): TẢI XUỐNG

• Tài Liệu Toán 8

Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected]

10 bài tập Phép cộng và phép trừ các phân thức đại số có đáp án và lời giải chi tiết đủ mức độ từ dễ đến khó

Xem lời giải Muốn cộng hai phân thức cùng mẫu thức ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức (tương tự như cộng hai phân số cùng mẫu).

2. Quy tắc cộng hai phân thức khác mẫu thức

Bước 1: Quy đồng mẫu thức

Bước 2: Cộng hai phân thức cùng mẫu vừa tìm được.

3. Tính chất của phép cộng

Cho ba phân thức AB;CD;EFvới B;D;F≠0

+ Tính giao hoán: AB+CD=CD+AB

+ Tính kết hợp: AB+CD+EF=AB+CD+EF

+ Cộng với 0: AB+0=0+AB=AB.

2. Phép trừ các phân thức đại số

1. Phân thức đối

- Hai phân thức được gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0.

- Phân thức −AB là phân thức đối của ABvới B≠0 và ngược lại phân thức AB là phân thức đối của phân thức −AB. Ta có: −AB+AB=0.

Như vậy: −AB=−AB và −−AB=AB.

2. Quy tắc trừ hai phân thức đại số

Muốn trừ phân thức AB cho phân thức CD ta lấy phân thức AB cộng với phân thức đối của CD:

AB−CD=AB+−CD với B;D≠0.

3. Phép nhân các phân thức đại số

1. Quy tắc nhân phân thức

Muốn nhân hai phân thức ta nhân tử thức với tử thức và mẫu thức với mẫu thức

AB.CD=ACBD với B;D≠0.

2. Tính chất của phép nhân:

Cho ba phân thức AB;CD;EFvới B;D;F≠0

- Tính giao hoán: AB.CD=CD.AB

- Tính kết hợp: AB.CD.EF=AB.CD.EF

- Tính phân phối: AB+CD.EF=AB.EF+CD.EF

4. Phép chia các phân thức đại số

1. Hai phân thức nghịch đảo

- Hai phân thức nghịch đảo là hai phân thức mà tích của chúng bằng 1.

- Nếu AB là một phân thức khác 0 thì AB.BA=1, do đó:

+ Phân thức nghịch đảo của ABlà BA.

+ Phân thức nghịch đảo của BA là AB.

2. Quy tắc chia hai phân thức.

Muốn chia phân thức ABcho phân thức CD CD≠0, ta nhân phân thức ABvới nghịch đảo của phân thức CD

Tức là AB:CD=AB.DC=ADBCCD≠0.

Chú ý: Thứ tự thực hiện các phép tính về phân thức cũng giống như thứ tự thực hiện các phép tính về số.

II. Các dạng bài tập

Dạng 1: Cộng các phân thức đại số

Phương pháp giải: Sử dụng kết hợp hai quy tắc cộng phân thức đại số cùng với các tính chất của phân thức đại số để giải toán

Ví dụ 1: Cộng các phân thức đại số sau:

1. 10+xx−2+x−18x−2+x+2x2−4 với x≠±2

2. 2xy2+2x−3yx2y2+3x2y với x≠0;y≠0

3. 3−3x2x+3x−12x−1+11x−52x−4x2 với x≠0;x≠12.

Lời giải:

1. 10+xx−2+x−18x−2+x+2x2−4

\=10+xx−2+x−18x−2+x+2x−2x+2

\=10+xx−2+x−18x−2+1x−2

\=10+x+x−18+1x−2

\=2x−7x−2với x≠±2.

2. 2xy2+2x−3yx2y2+3x2y

\=2xx2y2+2x−3yx2y2+3yx2y2

\=2x+2x−3y+3yx2y2

\=4xx2y2=4xy2 với x≠0;y≠0.

3. 3−3x2x+3x−12x−1+11x−52x−4x2

\=3−3x2x+3x−12x−1+−11x−54x2−2x

\=3−3x2x+3x−12x−1+−11x+52x2x−1

\=3−3x2x−12x2x−1+3x−1.2x2x2x−1+−11x+52x2x−1

\=6x−6x2−3+3x2x2x−1+6x2−2x2x2x−1+−11x+52x2x−1

\=6x−6x2−3+3x+6x2−2x+−11x+52x2x−1

\=6x−6x2−3+3x+6x2−2x−11x+52x2x−1

\=6x2−6x2+6x+3x−2x−11x+−3+52x2x−1

\=−4x+22x2x−1

\=−22x−12x2x−1

\=−1xvới x≠0;x≠12.

Ví dụ 2: Cho A = xx−2y+xx+2y+−4xy4y2−x2 với y≠±2x

1. Rút gọn A.

2. Tính A khi x = 1; y = 3.

Lời giải:

1. A=xx−2y+xx+2y+−4xy4y2−x2

A=xx−2y+xx+2y+4xyx2−4y2

A=xx−2y+xx+2y+4xyx−2yx+2y

A=xx+2yx−2yx+2y+xx−2yx−2yx+2y+4xyx−2yx+2y

A=x2+2xyx−2yx+2y+x2−2xyx−2yx+2y+4xyx−2yx+2y

A=x2+2xy+x2−2xy+4xyx−2yx+2y

A=x2+2xy+x2−2xy+4xyx−2yx+2y

A=x2+x2+2xy−2xy+4xyx−2yx+2y

A=2x2+4xyx−2yx+2y

A=2xx+2yx−2yx+2y

A=2xx−2y

2. Với x = 1; y = 3 (thỏa mãn điều kiện) thay vào A ta được:

A=2.11−2.3=21−6=−25

Vậy A=−25 khi x = 1; y = 3.

Dạng 2: Trừ các phân thức đại số

Phương pháp giải: Thực hiện theo 2 bước

Bước 1: Áp dụng quy tắc cộng với phân thức đối

Bước 2: Áp dụng quy tắc cộng cùng mẫu thức và khác mẫu thức

Ví dụ 1: Thực hiện phép tính

1. 4xy−15x2y−2xy−15x2y với x≠0;y≠0

2. x+1x−5−1−xx+5−2x1−x25−x2 với x≠±5.

Lời giải:

1. 4xy−15x2y−2xy−15x2y

\=4xy−15x2y+−2xy−15x2y

\=4xy−1−2xy−15x2y

\=4xy−1−2xy+15x2y

\=4xy−2xy+−1+15x2y

\=2xy5x2y=25xvới x≠0;y≠0

2. x+1x−5−1−xx+5−2x1−x25−x2

\=x+1x−5−1−xx+5+2x−2x2x2−25

\=x+1x−5−1−xx+5+2x−2x2x−5x+5

\=x+1x+5x−5x+5−1−xx−5x−5x+5+2x−2x2x−5x+5

\=x2+x+5x+5x−5x+5−x−x2+5x−5x−5x+5+2x−2x2x−5x+5

\=x2+x+5x+5−x−x2+5x−5+2x−2x2x−5x+5

\=x2+x+5x+5−x+x2−5x+5+2x−2x2x−5x+5

\=x2+x2−2x2+x+5x−x−5x+2x+5+5x−5x+5

\=2x+10x−5x+5

\=2x+5x−5x+5

\=2x−5với x≠±5

Ví dụ 2: Chứng minh biểu thức 1x−1x+3=3xx+3. Từ đó, hãy tính biểu thức

M=1xx+3+1x+3x+6+...+1x+12x+15 với x thỏa mãn tất cả các mẫu khác 0.

Lời giải:

* Chứng minh biểu thức:

1x−1x+3=x+3xx+3−xxx+3 \=x+3−xxx+3=3xx+3 (điểu phải chứng minh)

* Tính giá trị M:

Ta có:

1x−1x+3=x+3xx+3−xxx+3 \=x+3−xxx+3=3xx+3

⇒1xx+3=131x−1x+3

1x+3−1x+6=x+6x+3x+6−x+3x+3x+6\=x+6−x−3x+3x+6=3x+3x+6

⇒1x+3x+6=131x+3−1x+6

Chứng minh tương tự:

….

⇒1x+12x+15=131x+12−1x+15

Do đó:

M=131x−1x+3+131x+3−1x+6+...+131x+12−1x+15

M=131x−1x+3+1x+3−1x+6+...+1x+12−1x+15

M=131x−1x+15

M=13x+15xx+15−xxx+15

M=13.x+15−xxx+15

M=13.15xx+15=5xx+15

Vậy M=5xx+15.

Dạng 3: Nhân các phân thức đại số

Phương pháp giải: Vận dụng các quy tắc nhân phân thức đại số

Chú ý: Đối với phép nhân có nhiều hơn hai phân thức ta vẫn nhân các tử thức với nhau và các mẫu thức với nhau. Nếu có dấu ngoặc ta ưu tiên thực hiện phép tính trong ngoặc trước.

Ví dụ 1: Thực hiện phép tính

1. A=x2x+3.x2−9x3với x≠0;x≠−3

2. B=x+3x2−4.8−12x+6x2−x3x+3với x≠−3;x≠±2

3. C=x−12x.x3x−1−x2−x−1 với x≠0;x≠1.

Lời giải:

1. A=x2x+3.x2−9x3

A=x2.x2−9x+3.x3

A=x2x−3x+3x+3.x3

A=x−3xvới x≠0;x≠−3.

2. B=x+3x2−4.8−12x+6x2−x3x+3

B=x+3x+2x−2.2−x3x+3

B=x+32−x3x+2x−2x+3

B=−x−23x+2x−2

B=−x−22x+2với x≠−3;x≠±2.

3. C=x−12x.x3x−1−x2−x−1

C=x−12x.x3x−1−x2+x+1

C=x−12x.x3x−1−x2+x+1x−1x−1

C=x−12x.x3x−1−x3−1x−1

C=x−12xx3−x3+1x−1

C=x−12x.1x−1=12xvới x≠0;x≠1.

Ví dụ 2: Tính hợp lí biểu thức sau

M=11−x.11+x.11+x2.11+x4.11+x8.11+x16với x≠±1.

Lời giải:

M=11−x.11+x.11+x2.11+x4.11+x8.11+x16

M=11−x.11+x.11+x2.11+x4.11+x8.11+x16

M=11−x1+x.11+x2.11+x4.11+x8.11+x16

M=11−x2.11+x2.11+x4.11+x8.11+x16

M=11−x2.11+x2.11+x4.11+x8.11+x16

M=11−x21+x2.11+x4.11+x8.11+x16

M=11−x4.11+x4.11+x8.11+x16

M=11−x4.11+x4.11+x8.11+x16

M=11−x41+x4.11+x8.11+x16

M=11−x8.11+x8.11+x16

M=11−x8.11+x8.11+x16

M=11−x81+x8.11+x16

M=11−x16.11+x16=11−x16.1+x16

M=11−x32 với x≠±1.

Dạng 4: Chia các phân thức đại số

Phương pháp giải: Vận dụng quy tắc chia phân thức.

Chú ý: Đối với phép chia có nhiều hơn hai phân thức, ta vẫn nhân với nghịch đảo của các phân thức đứng sau dấu chia theo thứ tự từ trái sang phải. Ưu tiên tính toán biểu thức trong ngoặc trước.

Ví dụ 1: Làm tính chia

1. x3−15x+10:x−1x+2với x≠−2;x≠1

2. x2−4xy+4y2x2−xy+y2:4x−8y2x3+2y3 với x≠−y;x≠2y

3. x+4x+5:x+5x+6:x+6x+4 với x≠−4;x≠−5;x≠−6.

Lời giải:

1. x3−15x+10:x−1x+2

\=x3−15x+10⋅x+2x−1

\=x−1x2+x+15x+2⋅x+2x−1

\=x−1x2+x+1x+25x+2x−1

\=x2+x+15 với x≠−2;x≠1

2. x2−4xy+4y2x2−xy+y2:4x−8y2x3+2y3

\=x2−4xy+4y2x2−xy+y2⋅2x3+2y34x−8y

\=x−2y2x2−xy+y2⋅2x3+y34x−2y

\=x−2y2x2−xy+y2⋅2x+yx2−xy+y24x−2y

\=x−2y2.2x+yx2−xy+y2x2−xy+y2.4x−2y

\=x−2yx+y2 với x≠−y;x≠2y

3. x+4x+5:x+5x+6:x+6x+4

\=x+4x+5⋅x+6x+5⋅x+4x+6

\=x+4x+6x+4x+5x+5x+6

\=x+42x+52 với x≠−4;x≠−5;x≠−6.

Ví dụ 2: Tìm đa thức A biết:

2x+3yx3−y3.A=4x2+6xy3x2+3xy+3y2 với x≠y;x≠−32y.

Lời giải:

2x+3yx3−y3.A=4x2+6xy3x2+3xy+3y2

⇒A=4x2+6xy3x2+3xy+3y2:2x+3yx3−y3

⇔A=4x2+6xy3x2+3xy+3y2.x3−y32x+3y

⇔A=2x2x+3y3x2+xy+y2.x−yx2+xy+y22x+3y

⇔A=2xx−y3 với x≠y.

Dạng 5: Sử dụng kết hợp các phép toán về phân thức đại số

Phương pháp giải: Sử dụng phối hợp các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia của phân thức cùng với quy tắc dấu ngoặc.

Thứ tự thực hiện phép tính:

- Nếu phép tính chỉ có cộng, trừ hoặc chỉ có nhân, chia ta thực hiện theo thứ tự từ trái sang phải.

- Nếu phép tính có cả cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa, ta thực hiện phép tính nâng lên lũy thừa trước, rồi đến nhân, chia cuối cùng là đến, cộng trừ.

Lũy thừa →nhân và chia → cộng và trừ.

- Nếu biểu thức có dấu ngoặc: ngoặc tròn ( ), ngoặc vuông [ ], ngoặc nhọn { }, ta thực hiện theo thứ tự