Bài toán áp dụng hệ thức viet vào 10 năm 2024
Ở Đ Ầ U Trong m ộ t vài năm tr ở l ạ i đây thì trong các đ ề thi vào l ớ p 10 trung h ọ c ph ổ thông , các bài toán v ề ph ươ ng trình b ậ c hai có s ử d ụ ng t ớ i h ệ th ứ c Vi- Et xu ấ t hi ệ n khá ph ổ bi ế n . Trong khi đ ó n ộ i dung và th ờ i l ượ ng v ề ph ầ n này trong sách giáo khoa l ạ i r ấ t ít, l ượ ng bài t ậ p ch ư a đ a d ạ ng . Ta c ũ ng th ấ y đ ể gi ả i đ ượ c các bài toán có liên qua đ ế n h ệ th ứ c Vi – Et, h ọ c sinh c ầ n tích h ợ p nhi ề u ki ế n th ứ c v ề đ ạ i s ố , thông qua đ ó h ọ c sinh có cách nhìn t ổ ng quát h ơ n v ề hai nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình b ậ c hai v ớ i các h ệ s ố . V ậ y nên nhóm toán chúng tôi xây d ự ng chuyên đ ề này ngoài m ụ c đ ích giúp h ọ c sinh nâng cao ki ế n th ứ c còn giúp các em làm quen v ớ i m ộ t s ố d ạ ng toán có trong đ ề thi vào l ớ p 10 trung h ọ c ph ổ thông N ộ i dung chính c ủ a chuyên đ ề g ồ m : I. Ứ ng d ụ ng 1 II. Ứ ng d ụ ng 2 III. Ứ ng d ụ ng 3 IV. Ứ ng d ụ ng 4 V. Ứ ng d ụ ng 5 VI. Ứ ng d ụ ng 6 VII. Ứ ng d ụ ng 7 VIII. Ứ ng d ụ ng 8 Nh ẩ m nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình b ậ c hai m ộ t ẩ n L ậ p ph ươ ng trình b ậ c hai Tìm hai s ố bi ế t t ổ ng và tích c ủ a chúng Tính giá tr ị c ủ a bi ể u th ứ c nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình Tìm h ệ th ứ c liên h ệ gi ữ a hai nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình sao cho hai nghi ệ m này không ph ụ thu ộ c vào tham s ố Tìm giá tr ị tham s ố c ủ a ph ươ ng trình th ỏ a mãn bi ể u th ứ c ch ứ a nghi ệ m Xác đ ị nh d ấ u các nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình b ậ c hai Tìm giá tr ị l ớ n nh ấ t, giá tr ị nh ỏ nh ấ t c ủ a bi ể u th ứ c nghi ệ m
Ộ I DUNG CHUYÊN Đ Ề : Ứ NG D Ụ NG C Ủ A H Ệ TH Ứ C VI- ÉT TRONG GI Ả I TOÁN Cho ph ươ ng trình b ậ c hai: ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (*) Có hai nghi ệ m 1 2 b xa − − ∆\= ; 2 2 b xa − + ∆\= Suy ra: 12 222 b b b b x xa a a − − ∆ − + ∆ − −+ \= \= \= 212222 ()()4444 b b b ac c x xa a a a − − ∆ − + ∆ −∆\= \= \= \= V ậ y đ ặ t : - T ổ ng nghi ệ m là S : S \= 12 b x xa −+ \= - Tích nghi ệ m là P : P \= 12 c x xa \= Nh ư v ậ y ta th ấ y gi ữ a hai nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình (*) có liên quan ch ặ t ch ẽ v ớ i các h ệ s ố a, b, c . Đ ây chính là n ộ i dung c ủ a Đ ị nh lí VI-ÉT, sau đ ây ta tìm hi ể u m ộ t s ố ứ ng d ụ ng c ủ a đ ị nh lí này trong gi ả i toán.
Ẩ M NGHI Ệ M C Ủ A PH ƯƠ NG TRÌNH : 1. D ạ ng đ ặ c bi ệ t: Xét ph ươ ng trình (*) ta th ấ y : a) N ế u cho x \= 1 thì ta có (*) a.1 2 + b.1 + c \= 0 a + b + c \= 0 Nh ư vây ph ươ ng trình có m ộ t nghi ệ m 1 1 x \= và nghi ệ m còn l ạ i là 2 c xa \=
ế u cho x \= − 1 thì ta có (*) a.( − 1) 2 + b( −
− b + c = 0 Nh ư v ậ y ph ươ ng trình có m ộ t nghi ệ m là 1 1 x \= − và nghi ệ m còn l ạ i là 2 c xa −\= Ví d ụ : Dùng h ệ th ứ c VI-ÉT đ ể nh ẩ m nghi ệ m c ủ a các ph ươ ng trình sau: 1) 2 2530 x x + + \= (1) 2) 2 38110 x x + − \= (2) Ta th ấ y : Ph ươ ng trình (1) có d ạ ng a − b + c \= 0 nên có nghi ệ m 1 1 x \= − và 2 32 x −\= Ph ươ ng trình (2) có d ạ ng a + b + c = 0 nên có nghi ệ m 1 1 x \= và 2 113 x −\= Bài t ậ p áp d ụ ng: Hãy tìm nhanh nghi ệ m c ủ a các ph ươ ng trình sau: 1. 2 353720 x x − + \= 2. 2 75005070 x x + − \= 3. 2 49500 x x − − \= 4. 2 43212143000 x x + − \= 2. Cho ph ươ ng trình , có m ộ t h ệ s ố ch ư a bi ế t, cho tr ướ c m ộ t nghi ệ m tìm nghi ệ m còn l ạ i và ch ỉ ra h ệ s ố c ủ a ph ươ ng trình : Víd ụ :
ươ ng trình 2 250 x px − + \= . Có m ộ t nghi ệ m b ằ ng 2, tìm p và nghi ệ m th ứ hai. b) Ph ươ ng trình 2 50 x x q + + \= có m ộ t nghi ệ m b ằ ng 5, tìm q và nghi ệ m th ứ hai. c) Cho ph ươ ng trình : 2 70 x x q − + \= , bi ế t hi ệ u 2 nghi ệ m b ằ ng 11. Tìm q và hai nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình. d) Tìm q và hai nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình : 2 500 x qx − + \= , bi ế t ph ươ ng trình có 2 nghi ệ m và có m ộ t nghi ệ m b ằ ng 2 l ầ n nghi ệ m kia. Bài gi ả i:
1 2 x \= v à ph ươ ng trình ban đ ầ u ta đ ư ợ c : 144504 p p − + \= ⇒ \= T ừ 12 5 x x \= suy ra 21 552 x x \= \=
1 5 x \= v à ph ươ ng trình ban đ ầ u ta đ ư ợ c 2525050 q q + + \= ⇒ \= − T ừ 12 50 x x \= − suy ra 21 5050105 x x − −\= \= \= −
ủ a x 1 và x 2 bình đ ẳ ng nên theo đ ề bài gi ả s ử 12 11 x x − \= và theo VI-ÉT ta có 12 7 x x + \= , ta gi ả i h ệ sau: 121122 11972 x x x x x x − \= \= ⇔ + \= \= − Suy ra 12 18 q x x \= \= −
ủ a x 1 và x 2 bình đ ẳ ng nên theo đ ề bài gi ả s ử 12 2 x x \= và theo VI-ÉT ta có 12 50 x x \= . Suy ra 2222222 525055 x x x x \= − \= ⇔ \= ⇔ \= V ớ i 2 5 x \= − th ì 1 10 x \= − V ớ i 2 5 x \= th ì 1 10 x \= II. L Ậ P PH ƯƠ NG TRÌNH B Ậ C HAI 1. L ậ p ph ươ ng trình b ậ c hai khi bi ế t hai nghi ệ m 12 ; x x Ví d ụ : Cho 1 3 x \= ; 2 2 x \= l ậ p m ộ t ph ươ ng trình b ậ c hai ch ứ a hai nghi ệ m trên Theo h ệ th ứ c VI-ÉT ta có 1212 56 S x xP x x \= + \= \= \= v ậ y 12 ; x x là nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình có d ạ ng: 22 0560 x Sx P x x − + \= ⇔ − + \= Bài t ậ p áp d ụ ng: 1. x 1 \= 8 vµ x 2 \= -3 2. x 1 \= 3a vµ x 2 \= a 3. x 1 \= 36 vµ x 2 \= -104 4. x 1 \= 12 + vµ x 2 \= 12 − 2. L ậ p ph ươ ng trình b ậ c hai có hai nghi ệ m tho ả mãn bi ể u th ứ c ch ứ a hai nghi ệ m c ủ a m ộ t ph ươ ng trình cho tr ướ c: V í d ụ : Cho ph ươ ng trình : 2 320 x x − + \= có 2 nghi ệ m phân bi ệ t 12 ; x x . Không gi ả i ph ươ ng trình trên, hãy l ậ p ph ươ ng trình b ậ c 2 có ẩ n là y tho ả mãn : 121 1 y x x \= + và 212 1 y x x \= + Theo h ệ th ứ c VI- ÉT ta c ó: 1212211212121212 111139()()322 x xS y y x x x x x x x x x x x x +\= + \= + + + = + + + \= + + \= + \= 1221121212 11119()()1121122 P y y x x x x x x x x \= \= + + \= + + + \= + + + \= V ậ y ph ươ ng trình c ầ n l ậ p có d ạ ng: 2 0 y Sy P − + \= hay 22 990299022 y y y y − + \= ⇔ − + \= Bài t ậ p áp d ụ ng: 1/ Cho ph ươ ng trình 2 3560 x x + − \= có 2 nghi ệ m phân bi ệ t 12 ; x x . Không gi ả i ph ươ ng trình, Hãy l ậ p ph ươ ng trình b ậ c hai có các nghi ệ m 112 1 y x x \= + và 221 1 y x x \= + ( Đ áp s ố : 2 51062 y y + − \= hay 2 6530 y y + − \= ) |