Bằng phương pháp quy nạp hãy chứng minh rằng với mọi thì n3+2n chia hết cho 3
|
Show
(Trích đề thi vào lớp 10 chuyên, ĐHKHTN – ĐHQGHN năm 1996) Hướng dẫn giải:Ta có: n³ + 5n = n³ – n + 6n = n(n² – 1) + 6n = n.(n – 1).(n + 1) + 6n. Vì n là số nguyên dương nên suy ra: Tích của ba số nguyên dương liên tiếp: n – 1, n , n + 1 chia hết cho 2 và 3 => n.(n – 1)(n + 1) chia hết cho 6. Mà 6n chia hết cho 6 nên suy ra: n.(n – 1)(n + 1) + 6n chia hết cho 6. => n³ + 5n chia hết cho 6 (đpcm). Cơ sở lý thuyết.Đây là dạng bài tập nâng cao mà các bạn được học trong chương trình Toán lớp 6. Dạng bài tập này sẽ được học xuyên suốt trong chương trình Toán học trung học cơ sở. Và dạng bài tập này đã có vài lần được ra trong đề thi vào 10 các trường chuyên. Vì vậy, toàn bộ kiến thức học trong trung học cơ sở để có thể có trong đề thi vào lớp 10 kể cả kiến thức Toán 6. Để làm được dạng bài tập này, đầu tiên các bạn phải học vững kiến thức về dấu hiệu chia hết. Về dấu hiệu chia hết, đã được chúng tôi tổng quan lại, các bạn có thể tham khảo. Dựa vào các dấu hiệu chia hết này, các bạn hãy sẽ có những gợi ý để giải bài tập. Sau đó, các bạn phân tích biểu thức để nhận thấy dấu hiệu chia hết rồi suy ra điều phải chứng minh. Để hiểu rõ hơn, các bạn hãy tham khảo ví dụ bên dưới. Bài tập ví dụ.Cho n là số tự nhiên và n không chia hết cho 3. Chứng minh rằng 32n + 3n +1 chia hết cho 13. Lời giải:n là số tự nhiên và không chia hết cho 3 nên ta đặt n = 3a + b (a∈N;b∈{1;2}) Suy ra ta có: A = 32n + 3n + 1= 32(3a + b) + 33a+b +1 = 93a + b + 33a + b +1 =729a . 9b + 27a . 3b +1 = 9b (729a – 1) + 3b. (27a – 1) + 9b + 3b + 1 = 728x + 26y + 9b + 3b +1. Trường hợp 1: r=1 suy ra A = 728x + 26y + 13 = 13. (56x + 2y +1) Suy ra A chia hết cho 13 (1) Trường hợp 2: r = 2 suy ra A = 728x + 26y + 91 = 13. (56x + 2y +7) Suy ra A chia hết cho 13 (2) Vậy từ (1) và (2) ta có điều cần chứng minh. Thu Hoài Tải tài liệu miễn phí ở đây
 Quy nạp toán học là phương pháp dùng để chứng minh một mệnh đề về bất kỳ tập hợp nào được xếp theo thứ tự. Nó thường được dùng để chứng minh mệnh đề của tập hợp tất cả các số tự nhiên. Quy nạp toán học là phương pháp chứng minh trực tiếp, chúng ta sẽ có những bước giả sử, giả thuyết để có thể chứng minh được các bài toán khác nhau. Vậy để chứng minh được, hãy cùng Toppy đến với bài giảng: Phương pháp quy nạp toán học, được đội ngũ giáo viên Toppy biên soạn bám sát chương trình nhằm giúp các em nắm chắc được kiến thức. Cùng vào bài học ngay nào! Bài giảng bao gồm 3 phần chính
Tổng hợp lý thuyết về Phương pháp quy nạpPhương pháp quy nạp toán họcĐể chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n∈N∗ là đúng với mọi n mà không thể thử trực tiếp được thì có thể làm như sau : Bước 1 : Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1. Bước 2 : Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n = k≥1 (gọi là giả thiết quy nạp), chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k+1 Đó là phương pháp quy nạp toán học, hay còn gọi tắt là phương pháp quy nạp. 🍀 Giả sử P(n) Là một mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n. Nếu cả hai điều kiện (i) và (ii) dưới đây được thỏa mãn thì P(n) đúng với mọi n≥m là số tự nhiên cho trước). (i)P(m) đúng. (ii) Với mỗi số tự nhiên k≥m, nếu P(k+1) đúng. 🍀Phương pháp chứng minh dựa trên nguyên lý quy nạp toán học gọi là phương pháp quy nạp toán học (hay gọi tắt là phương pháp quy nạp). CHÚ Ý: 🍀 Để chứng minh một mệnh đề P(n) phụ thuộc vào số tự nhiên n đúng với mọi n≥m là số tự nhiên cho trước), ta thực hiện theo hai bước sau: Bước 1: Chứng minh rằng P(n) đúng khi n=m . Bước 2: Với k là một số tự nhiên tùy ý, k≥m . Giả sử P(n) đúng khi n=k, ta sẽ chứng minh P(n) cũng đúng khi n=k+1 . Theo nguyên lý quy nạp toán học, ta kết luận rằng P(n) đúng với mọi số tự nhiên n≥m. Ví dụ áp dụngVí dụ 1: Chứng minh rằng với n∈N∗ thìa. 1.4+2.7+...+n(3n+1)=n(n+1)2 Giải a. 1.4+2.7+...+n(3n+1)=n(n+1)2 (1) Bước 1: Với n=1: Vế trái của (1) =1.4=4 ; Vế phải của (1) =1(1+1)2=4 . Suy ra Vế trái của (1) = Vế phải của (1). Vậy (1) đúng với n=1. Bước 2: Giả sử (1) đúng với n=k . Có nghĩa là ta có: 1.4+2.7+...+k(3k+1)=k(k+1)2 (2) Ta phải chứng minh (1) đúng với n=k+1 . Có nghĩa ta phải chứng minh: 1.4+2.7+...+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)2 Thật vậy 1.4+2.7+⋯+k(3k+1)=k(k+1)2+(k+1)(3k+4)=k(k+1)2+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)2 (đpcm) Vậy (1) đúng khi n=k+1 . Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi n∈N∗. Ta phải chứng minh (2) đúng với n=k+1 . Có nghĩa ta phải chứng minh: Vậy (2) đúng khi n=k+1 . Do đó theo nguyên lí quy nạp, (2) đúng với mọi n∈N∗. Ví dụ 2: Chứng minh rằng với n∈N∗ thì 9^n−1 luôn chia hết cho 8.Giải Bước 1: Với n=1: Ta có u1=9^1−1 chia hết cho 8. Bước 2: Giả sử với n=k≥1 ta có uk=9^k−1 chia hết cho 8. Ta cần chứng minh uk+1=9^k+1−1 chia hết cho 8 Thật vậy, ta có uk+1=9^k+1−1=9.9^k−1=9(9^k−1)+8=9uk+8 . Vì 9uk và 8 đều chia hết cho 8, nên uk+1 cũng chia hết cho 8. Vậy với mọi n∈N∗ thì un chia hết cho 8. Giải bài tập SGK Đại số 11 Phương pháp quy nạpBài 1 (trang 82 SGK Đại số 11):Chứng minh rằng với n ∈ N*, ta có các đẳng thức: Lời giải: a. + Với n = 1, ta có: VT = 3 – 1 = 2 ⇒ VT = VP ⇒ (1) đúng với n = 1 + Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1 nghĩa là: 2 + 5 + 8 + …+ (3k – 1) = k(3k + 1)/2. (*) Ta cần chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tức là : Thật vậy : Ta có : b) + Với n = 1 : Vậy (2) đúng với n = 1 + Giả sử đẳng thức đúng với n = k, tức là: Cần chứng minh (2) đúng với n = k + 1, tức là: Thật vậy, ta có : c. + Với n = 1 : ⇒ (3) đúng với n = 1 + Giả sử đẳng thức (3) đúng với n = k nghĩa là : Cần chứng minh (3) đúng khi n = k + 1, tức là: Thật vậy: Bài 2 (trang 82 SGK Đại số 11):Chứng minh rằng với n ∈ N* a. n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3. b. 4n + 15n – 1 chia hết cho 9 c. n3 + 11n chia hết cho 6. Lời giải: a. Cách 1: Quy nạp Đặt An = n3 + 3n2 + 5n + Ta có: với n = 1 A1 = 1 + 3 + 5 = 9 chia hết 3 + giả sử với n = k ≥ 1 ta có: Ak = (k3 + 3k2 + 5k) chia hết 3 (giả thiết quy nạp) Ta chứng minh Ak + 1 chia hết 3 Thật vậy, ta có: Ak + 1 = (k + 1)3 + 3(k + 1)2 + 5(k + 1) = k3 + 3k2 + 3k + 1 + 3k2 + 6k + 3 + 5k + 5 = (k3 + 3k2 + 5k) + 3k2 + 9k + 9 Theo giả thiết quy nạp: k3 + 3k2 + 5k ⋮ 3 Mà 3k2 + 9k + 9 = 3.(k2 + 3k + 3) ⋮ 3 ⇒ Ak + 1 ⋮ 3. Cách 2: Chứng minh trực tiếp. Có: n3 + 3n2 + 5n = n.(n2 + 3n + 5) = n.(n2 + 3n + 2 + 3) = n.(n2 + 3n + 2) + 3n = n.(n + 1)(n + 2) + 3n. Mà: n(n + 1)(n + 2) ⋮ 3 (tích của ba số tự nhiên liên tiếp) 3n ⋮ 3 ⇒ n3 + 3n2 + 5n = n(n + 1)(n + 2) + 3n ⋮ 3. Vậy n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3 với mọi ∀n ∈ N* >> Xem thêm các bài giảng khác tại: Toppy.b. 4n + 15n – 1 chia hết cho 9 Đặt An = 4n + 15n – 1 với n = 1 ⇒ A1 = 4 + 15 – 1 = 18 chia hết 9 + giả sử đúng với n = k ≥ 1 nghĩa là: Ak = (4k + 15k – 1) chia hết 9 (giả thiết quy nạp) Ta cần chứng minh: Ak + 1 chia hết 9 Thật vậy, ta có: Ak + 1 = 4k+1 + 15(k + 1) – 1 = 4.4k + 15k + 15 – 1 = 4.(4k + 15k – 1) – 45k+ 4+ 15 – 1 = 4.(4k +15k- 1) – 45k + 18 = 4. Ak + (- 45k + 18) Ta có: Ak⋮ 9 và ( – 45k+ 18) = 9(- 5k + 2)⋮ 9 Nên Ak + 1 ⋮ 9 Vậy 4n + 15n – 1 chia hết cho 9 ∀n ∈ N* c. Đặt Un = n3 + 11n + Với n = 1 ⇒ U1 = 12 chia hết 6 + giả sử đúng với n = k ≥ 1 ta có: Uk = (k3 + 11k) chia hết 6 (giả thiết quy nạp) Ta cần chứng minh: Uk + 1 = (k + 1)3 + 11(k + 1) chia hết 6 Thật vậy ta có: Uk+1 = (k + 1)3 + 11(k +1) = k3 + 3k2 + 3k + 1 + 11k + 11 = (k3 + 11k) + 3k2 + 3k + 12 = Uk + 3(k2 + k + 4) Mà: Uk ⋮ 6 (giả thiết quy nạp) 3.(k2 + k + 4) ⋮ 6. (Vì k2 + k + 4 = k(k + 1) + 4 ⋮2) ⇒ Uk + 1 ⋮ 6. Vậy n3 + 11n chia hết cho 6 ∀n ∈ N*. Bài 3 (trang 82 SGK Đại số 11):Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có các bất đẳng thức: a.3n > 3n + 1 b.2n+1 > 2n + 3 Lời giải: a. Chứng minh: 3n > 3n + 1 (1) + Với n = 2 thì (1) ⇔ 9 > 7 (luôn đúng). + Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 2, tức là 3k > 3k + 1. Ta chứng minh đúng với n= k+1 tức là chứng minh: 3k+ 1 > 3(k+1) + 1 Thật vậy, ta có: 3k + 1 = 3.3k > 3.(3k + 1) (Vì 3k > 3k + 1 theo giả sử) = 9k + 3 = 3k + 3 + 6k = 3.(k + 1) + 6k > 3(k + 1) + 1.( vì k ≥ 2 nên 6k ≥ 12> 1) ⇒ (1) đúng với n = k + 1. Vậy 3n > 3n + 1 đúng với mọi n ≥ 2. b. 2n + 1 > 2n + 3 (2) + Với n = 2 thì (2) ⇔ 8 > 7 (luôn đúng). + Giả sử (2) đúng khi n = k ≥ 2, nghĩa là 2k+1 > 2k + 3. Ta chứng minh đúng với n= k+ 1 tức là chứng minh: 2k+2 > 2(k+ 1)+ 3 Thật vậy, ta có: 2k + 2 = 2.2k + 1 > 2.(2k + 3) = 4k + 6 = 2k + 2 + 2k + 4. > 2k + 2 + 3 = 2.(k + 1) + 3 ( Vì 2k + 4 >3 với mọi k ≥ 2) ⇒ (2) đúng với n = k + 1. Vậy 2n + 1 > 2n + 3 với mọi n ≥ 2. Bài 4 (trang 83 SGK Đại số 11):a.Tính S1, S2, S3 b.Dự đoán công thức tính tổng Sn và chứng minh bằng quy nạp. Lời giải:
b. Dự đoán: Ta chứng minh đẳng thức (1) bằng quy nạp + Với n = 1 thì (1) đúng. + Giả sử (1) đúng với n = k, tức là Khi đó: ⇒ (1) đúng với n = k + 1, do đó đúng với mọi n ∈ N* Bài 5 (trang 83 SGK Đại số 11):Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là n(n-3)/2 Lời giải: Đa giác lồi n cạnh có n đỉnh. Chọn 2 điểm bất kì trong số các đỉnh của một đa giác ta được 1 cạnh hoặc 1 đường chéo của đa giác. ⇒Tổng số cạnh và đường chéo của đa giác bằng: ⇒ số đường chéo của đa giác lồi có n cạnh là: Bài tập tự luyện Phương pháp quy nạpLàm thành thạo các bài tập tự luyện sẽ giúp các em hiểu và nhớ kiến thức lâu hơn! Phần câu hỏiCâu 1: Chứng minh rằng với moi số nguyên n, ta có: 1.4+2.7+⋯+n(3n+1)=n(n+1)^2 Câu 2: Chứng minh rằng với moi số nguyên n, ta có: Lời giải: Lời kếtCác em đã hiểu thế nào là phương pháp quy nạp toán học và cách chứng minh các dạng toán có liên quan chưa nào? Có thắc mắc hoặc vấn đề nào các em chưa hiểu hãy bình luận phía bên dưới để đội ngũ giáo viên Toppy có thể hỗ trợ các em ngay nhé! Hy vọng sau bài này, các em sẽ có một cách tư duy mới mẻ hơn khi giải các bài toán khó, bởi toán học không chỉ là những công thức, mà là tư duy sáng tạo, logic. Toppy là công ty Edtech về giáo dục trực tuyến, cung cấp trải nghiệm học tập cá nhân cho hàng trăm nghìn học sinh, sinh viên và nhà trường để giải đáp những yêu cầu trong việc học tập thông qua mạng lưới các chuyên gia và giáo viên khắp toàn cầu mà Toppy gọi là các gia sư học thuật quốc tế. Với kho tàng kiến thức khổng lồ theo từng chủ đề, bám sát chương trình sách giáo khoa, các thầy cô Toppy luôn nỗ lực mang đến cho các em những bài giảng hay, dễ hiểu nhất, giúp các em tiến bộ hơn từng ngày. Cùng học tốt với Toppy nhé! >> Xem thêm các bài giảng khác tại: Toppy. |
