Các dạng bài tập nguyên hàm và cách giải

Nguyên hàm là một khái niệm khá mới mẻ trong chương trình toán THPT, vì vậy hôm nay Kiến Guru xin chia sẻ đến các bạn Hướng dẫn giải bài tập toán đại 12 chuyên đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng. Bài viết sẽ kết hợp giải bài tập toán từ sách giáo khoa, đồng thời sẽ nêu những kiến thức cần ghi nhớ cũng như nhận xét định hướng lời giải, giúp các bạn vừa nhớ lại khái niệm vừa rèn luyện khả năng giải quyết bài tập của bản thân. Hy vọng bài viết sẽ là một tài liệu ôn tập ngắn gọn, hữu dụng và thân thiện với bạn đọc. Mời các bạn cùng tham khảo:

I. Giải bài tập Toán đại 12: Bài 1 trang 126

1. Hãy nêu định nghĩa nguyên hàm của hàm số cho trước f(x) trên một khoảng.

2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần là gì? Đưa ra ví dụ minh họa cho cách tính đã nêu.

Hướng dẫn giải:

1. Xét hàm số f(x) xác định trên tập xác định A.

Như vậy, hàm số F(x) gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên A khi F(x) thỏa mãn: F’(x)= f(x) ∀ x ∈ A.

Cách tính nguyên hàm từng phần:

Cho hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên A, khi đó:

∫u(x).v’(x)dx = u(x).v(x) - ∫v(x).u’(x)dx

Ta có thể viết gọn lại: ∫udv = uv - ∫vdv.

Ví dụ minh họa:

Tính nguyên hàm sau:

Ta đặt:

Từ đó ta có:

Kiến thức cần nhớ:

Nguyên hàm của một hàm số f(x) xác định trên tập A là một hàm số F(x) thỏa: F’(x)=f(x) với mọi x thuộc tập A. Có vô số hàm thỏa mãn đều kiện trên, tập hợp chúng sẽ thành họ nguyên hàm của f(x).

Khi sử dụng công thức nguyên hàm từng phần, nên lưu ý lựa chọn hàm u, v. Một số dạng thường gặp:

II. Giải bài tập Toán đại 12: Bài 2 trang 126

1. Nêu định nghĩa tích phân hàm số f(x) trên đoạn [a;b]

2. Tính chất của tích phân là gì? Ví dụ cụ thể.

Hướng dẫn giải:

1. Xét hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b], gọi F(x) là nguyên hàm của f(x) trên [a;b]

Khi đó, tích phân cần tìm là hiệu F(b)-F(a), kí hiệu:

2. Tính chất của tích phân:

Kiến thức bổ sung:

+ Để tính một số tích phân hàm hợp, ta cần đổi biến, dưới đây là một số cách đổi biến thông dụng:

+ Nguyên tắc sử dụng đặt u, v khi dùng công thức tính phân từng phần, ưu tiên thứ tự sau khi chọn u: Logarit -> Đa thức -> Lượng giác = Mũ.

III. Giải bài tập Toán đại 12: Bài 3 trang 126

Tìm nguyên hàm của các hàm số đã cho dưới đây:

1. f(x)=(x-1)(1-2x)(1-3x)

2. f(x)= sin(4x).cos2(2x)

4. f(x) = (ex - 1)3

Hướng dẫn giải:

1. Ta có:

(x-1)(1-2x)(1-3x) = 6x3 - 11x2 + 6x - 1

Suy ra

2. Ta có:

Suy ra:

3. Ta có:

Suy ra:

4. Đối với bài này, bạn đọc có thể theo cách giải thông thường là khai triển hằng đẳng thức bậc 3 rồi áp dụng tính nguyên hàm cho từng hàm nhỏ, tuy nhiên Kiến xin giới thiệu cách đặt ẩn phụ để giải tìm nguyên hàm.

Đặt t=ex

Suy ra: dt=exdx=tdx, vì vậy

Ta sẽ có:

Với C’=C-1

Kiến thức cần nhớ:

Một số nguyên hàm thông dụng cần nhớ:

IV. Giải bài tập Toán đại 12: Bài 4 trang 126

Tính một số nguyên hàm sau:

Hướng dẫn giải:

Kiến thức bổ sung:

Một số công thức nguyên hàm thường gặp:

Đề THPT Chuyên KHTN lần 4:

Cho các số nguyên a, b thỏa mãn:

Tính tổng P=a+b?

Hướng dẫn giải:

Bài này là sự kết hợp tính tích phân của 1 hàm là tích của hai hàm khác dạng, kiểu (đa thức)x(hàm logarit). Vì vậy, cách giải quyết thông thường là sử dụng tích phân từng phần.

Ta có:

Đề thi thử Sở GD Bình Thuận:

Cho F(x) là một nguyên hàm của f(x). Biết rằng F(3)=3, tích phân: . Hãy tính:

Hướng dẫn giải:

Đây là một dạng tính tích phân dạng hàm ẩn, tích phân cần tính lại là dạng 1 hàm số cụ thể nhân với 1 hàm chưa biết, như vậy cách giải quyết thường gặp sẽ là đặt ẩn phụ cho hàm, đồng thời sử dụng công thức tính tích phân từng phần.

Ở đây các bạn sẽ đặt: t=x+1, khi đó:

Lại có:

Kiến thức bổ sung:

+ Như vậy ở đây, một cách để nhận biết khi nào sẽ sử dụng tích phân từng phần là bài toán yêu cầu tính tích phân của hàm có dạng f(x).g(x), trong đó f(x) và g(x) là những hàm khác dạng nhau, có thể là hàm logarit, hàm đa thức, hàm mũ hoặc hàm lượng giác. Một số kiểu đặt đã được đề cập ở mục phía trước, bạn có thể tham khảo lại ở phía trên.

+ Một số công thức tính nguyên hàm của hàm vô tỷ:

Trên đây là những tóm tắt mà Kiến muốn chia sẻ đến các bạn. Hy vọng qua phần hướng dẫn giải bài tập toán đại 12 chương nguyên hàm và ứng dụng, các bạn có thể tự tin ôn tập tại nhà môt cách hiệu quả nhất. Ngoài việc làm những ví dụ cơ bản, các bạn nên tham khảo thêm nhiều đề thi để có cái nhìn thật tổng quan và tập làm quen với những dạng đề trắc nghiệm, phục vụ cho kì thi THPT Quốc Gia sắp tới. Bạn đọc cũng có thể tham khảo thêm những bài viết khác trên trang của Kiến để trang bị cho mình những kiến thức bổ ích khác. Chúc các bạn