Các dạng toán nâng cao về nội tiếp lớp 9

Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) (AB < 2.CD). M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB. MC, MD lần lượt cắt AB tạỉ E, F. Các đường thẳng MC, AD cắt nhau tại I ; MD, BC cắt nhau tại K.

1. Chứng minh rằng IKCD, EFDC là các tứ giác nội tiếp.

2. Chứng minh rằng IK // AB.

Giải:

1. Vì M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB (gt) nên MA = MB

\=>góc ADM = góc MCB (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau).

Mà 2 góc này cùng nhìn IK và D, C cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ IK nên I, K, C,

D cùng thuộc một đường tròn.

\=> Tứ giác IKCD nội tiếp (theo định nghĩa) – đpcm.

nên góc EFD + góc ECD = 180°, mà 2 góc này là hai góc đối diện của tứ giác FECD nên FECD là tứ giác nội tiếp (định lí dấu hiệu nhận biết).

Vì tứ giác IKCD nội tiếp nên :

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên AB // IK (đpcm).

B. Bài tập cơ bản

Hãy khoanh tròn vào chữ cái đứng trước phương án đúng (7.1; 7.2).

Bài 7.1.

Trong các nhận xét sau, nhận xét nào không đúng ?

1. Một tam giác bất kì nội tiếp một đường tròn.

2. Hình chữ nhật là tứ giác nội tiếp.

3. Hình thang nội tiếp được đường tròn.

4. Tứ giác có hai góc đối là góc vuông nội tiếp được đường tròn.

5. Tứ giác có 2 đỉnh kề nhau nhìn cạnh nối 2 đỉnh còn lại với hai góc bằng nhau thì nội tiếp được đường tròn.

Bài 7.2.

Cho hình vẽ bên, biết :

góc ECB = x ; góc BDF = 2x. Khi đó FÂB có số đo là :

(A) 120° (B) 60°

(C) 90° (D) Không tính được.

Bài 7.3.

Cho ∆ABC nội tiếp (O) có Â = 60°. Hai đường phân giác của góc B, góc C cắt nhau tại I.

Chứng minh rằng : tứ giác có 4 đỉnh B, I, O, C là tứ giác nội tiếp.

Bài 7.4.

Cho góc xOy khác góc bẹt. Trên tia Ox lấy hai điểm A, B. Trên Oy lấy hai điểm C, D sao cho : OA.OB = OC.OD. Chứng minh rằng : A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ giác nội tiếp.

Bài 7.5.

Cho tứ giác ABCD nội tiếp. Các đường thẳng AB, CD cắt nhau tại E ; AD cắt BC tại F. Đường tròn ngoại tiếp ∆ABF cắt đường tròn ngoại tiếp ∆BCE tại G. Chứng minh rằng : E, F, G thẳng hàng.

C. Bài tập nâng cao

Bài 7.6.

Cho đường tròn (O), điểm A ở ngoài đường tròn. Từ A kẻ tiếp tuyến AB, AC của (O) (B, c là tiếp điểm). M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC. Gọi I, H, K lần lượt là hình chiếu của M lên CB, BA, AC. IH cắt BM tại D, MC cắt IK tại E. Chứng minh rằng DE ⊥ MI.

Bài 7.7.

Cho hai đường tròn (O ; R) và (O’ ; R’) cố định cắt nhau tại hai điểm A, B. Qua B kẻ cát tuyến bất kì EBG (E ∈ (O), G ∈ (O’)). Qua A kẻ cát tuyến CAD vuông góc với AB (C ∈ (O), D ∈ (O’)). Gọi I, H lần lượt là trung điểm của CD và EG.

Tứ giác nội tiếp và các bài tập liên quan chắc chắn sẽ xuất hiện trong đề thi tuyển sinh vào 10 môn Toán. Đây là câu hỏi ở mức 7 điểm, thường là ý thứ 3 của bài hình tổng hợp 4 câu. Cùng ôn tập lại toàn bộ kiến thức về tứ giác nội tiếp để ăn chắc 8 điểm Toán thi vào 10 nhé.

Contents

TÓM TẮT LÝ THUYẾT TỨ GIÁC NỘI TIẾP

1. Định nghĩa – Tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên đường tròn đó. – Trong Hình 1, tứ giác ABCD nội tiếp (O) và (O) ngoại tiếp tứ giác ABCD.

2. Định lí – Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180°. – Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đổi diện bằng 180° thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.

3. Một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp – Tứ giác có tổng hai góc đổi bằng 180°. – Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện. – Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm cố định (mà ta có thể xác định được). Điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác. -Tứ giác có hai đinh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α. Chú ý: Trong các hình đã học thì hình chữ nhật, hình vuông, hình thang cân nội tiếp được đường tròn.

BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN VỀ TỨ GIÁC NỘI TIẾP

Dạng 1. Chứng minh tứ giác nội tiếp

Phương pháp giải: Để chứng minh tứ giác nội tiếp, ta có thể sử dụng một trong các cách sau:

Cách 1. Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đôì bằng 180°. Cách 2. Chứng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α. Cách 3. Chứng minh tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện. Cách 4. Tìm được một điểm cách đều 4 đỉnh của tứ giác.

Bài 1.1: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BM và CN cắt nhau tại H. Chứng minh các tứ giác AMHN và BNMC là những tứ giác nội tiếp. Bài 1.2: Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O), qua A kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Chứng minh tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp. Bài 2.1: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), M là điểm chính giữa của cung AB. Nối M với D, M với C cắt AB lần lượt ở E và P. Chứng minh PEDC là tứ giác nội tiếp. Bài 2.2: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). M là điểm thuộc đường tròn. Vẽ MH vuông góc với BC tại H, vẽ MI vuông góc với AC. Chứng minh MIHC là tứ giác nội tiếp

Hướng dẫn giải

Dạng 2: Sử dụng tứ giác nội tiếp để chứng minh các góc bằng nhau, các đoạn thẳng bằng nhau, các đường thẳng song song hoặc đồng quy, các tam giác đồng dạng…

Phương pháp: Sử dụng tính chất của tứ giác nội tiếp

Bài tập 3.1. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi H là điểm nằm giữa O và B. Kẻ dây CD vuông góc với AB tại H. Trên cung nhỏ AC lấy điểm E, kẻ CK vuông góc AE tại K. Đường thẳng DE cắt CK tại F. Chứng minh:

1. Tứ giác AHCK là tứ giác nội tiếp;
2. AH.AB = AD2
3. Tam giác ACE là tam giác cân.

Đáp án

Bài tập 3.2. Cho nửa (O) đường kính AB. Lấy M thuộc OA (M không trùng O và A). Qua M vẽ đường thẳng d vuông góc với AB. Trên d lấy N sao cho ON > R. Nối NB cắt (O) tại C. Kẻ tiếp tuyến NE với (O) (E là tiếp điểm, E và A cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ d). Chứng minh:

1. Bốn điểm O, E, M, N cùng thuộc một đường tròn;
2. NE2 = NC.NB;
3. góc NEH = góc NME (H là giao điểm của AC và d);
4. NF là tiếp tuyến (O) với F là giao điểm của HE và (O)

Bài tập 4.1. Cho đường tròn (O) đường kính AB, gọi I là trung điểm của OA, dây CD vuông góc với AB tại I. Lấy K tùy ý trên cung BC nhỏ, AK cắt CD tại H.

1. Chứng minh tứ giác BIHK là tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh AHAK có giá trị không phụ thuộc vị trí điểm K.
3. Kẻ DN vuông góc CB, DM vuông góc AC. Chứng minh các đường thẳng MN, AB, CD đồng quy.

Bài tập 4.2. Cho đường tròn (O; R) và điểm A cố định ngoài đường tròn. Qua A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN tới đường tròn (M, N là hai tiếp điểm). Một đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn (O; R) tại B và C (AB < AC). Gọi là trung điểm BC.

1. Chứng minh năm điểm A, M, N, O, I thuộc một đường tròn.
2. Chứng minh AM2 = AB.AC.
3. Đường thẳng qua B, song song với AM cắt MN tại E. Chứng minh IE song song MC.
4. Chứng minh khi d thay đổi quanh quanh điểm A thì trọng tâm G của tam giác MBC luôn nằm trên một đường tròn cố định.

Sách tham khảo lớp 9 môn Toán giúp củng cố kiến thức và bài tập

Để bứt phá trong học kì 2 chuẩn bị thi vào 10, việc ôn tập lại những kiến thức của học kì 1 là vô cùng quan trọng. Với môn Toán các em cần đọc lại toàn bộ các công thức và hiểu cặn kẽ cách áp dụng công thức vào bài toán. Do đó, khi tìm sách tham khảo lớp 9 môn Toán, em nên chọn những cuốn sách có phần tóm tắt kiến thức cả năm học để tiện tra cứu khi cần

Ôn tập lý thuyết

Trong sách Bí quyết chinh phục điểm cao lớp 9 môn Toán, phần kiến thức trọng tâm được chia thành 2 cột. Trong cột bên trái, toàn bộ lí thuyết được trình bày súc tích, cô đọng.

Tương ứng với cột bên trái, cột bên phải là tổng hợp những ví dụ cụ thể giúp em hiểu ngay lưu ý trong quá trình học, các mẹo giải nhanh rút ra từ bài hay những lỗi sai dễ mắc cần phải tránh,…Kết thúc mỗi bài học là sơ đồ hệ thống hóa kiến thức. Được thiết kế trực quan và logic, sơ đồ sẽ giúp em ôn tập, tổng hợp kiến thức dễ dàng sau mỗi bài, mỗi chương.

Luyện nhuần nhuyễn 100% dạng bài tập sẽ thi

Để giải đề thi nhanh chóng, em cần luyện thật kĩ toàn bộ các dạng bài sẽ thi. Do đó, khi tìm sách tham khảo lớp 9 môn Toán em phải chọn những saach có nhiều dạng bài tập. Bí quyết chinh phục điểm cao lớp 9 sẽ giúp em hệ thống lại toàn bộ các dạng toán sẽ thi. Mỗi dạng bài tập lại được chia thành nhiều kiểu hỏi khác nhau. Đi cùng với đó là phương pháp giải chi tiết cho từng kiểu hỏi và các ví dụ minh họa cho kiểu hỏi đó, cực kì dẽ thuộc

Sách tham khảo ôn tập cho kì thi vào 10 môn Toán

Đột phá 9+ môn Toán kì thi vào lớp 10 THPT có đầy đủ kiến thức được chia làm 2 phần với tổng số 11 chuyên đề. Trong mỗi chuyên đề đều hệ thống lại các nội dung kiến thức lý thuyết trọng tâm, có các dạng toán kèm phương pháp giải nhanh.